進階對數 Advanced Logarithm

• 19/04/2013

已知 a = log 2b = log 3, 試以 ab 表示 log 12

這類題目相信大家都遇過,本文探討這題型所涉及的技巧。


技巧一: 短除法

例子: 已知 a = log 2b = log 3,求 log 432

這類題目就是要我們把 432 寫成以數字 23 相乘。但問題是 432 到底是由多少個 23 相乘而成?

解決方法是大家都懂的短除法。只要把 432 不斷用 23 相除,會得到:

factorize432

從而得到 432 = 24×33

題解:

$$\begin{align*}
&\log 432\\
=&\log (2^4 \times 3^3)\\
=&4\cdot \log 2\ + \ 3\cdot \log 3\\
=&4a+3b
\end{align*}$$

技巧二: 運用底數 (Base)

除了題目所提供的數字,其實大家還可以運用 log 的底數來組成題目要求的數字。 而 log 10 的值是 1, 或更準確地說, logaa = 1

例: 已知 a = log83b = log85,求 log82880

除了 35 ,大家還可以運用底數 8 來組成 2880

題解:

$$\begin{align*}
&\log_8 2880\\
=&\log_8 (3^2\cdot 5\cdot 8^2)\\
=&2\cdot \log_8 3\ + log_8 \ 5 + \ 2\cdot \log_8 8\\[2pt] =&2a+b+2
\end{align*}$$

技巧三: 小數轉成分數

若遇到小數,大家只須先轉成分數,並運用 ##log\frac{a}{b} = log\ a\ -\ log\ b## 把該分數拆開。

例子: 已知 a = log 2b = log 3,求 log 0.45

題解:

$$\begin{align*}
&\log 0.45\\
=&\log\frac{9}{20}\\
=&\log\frac{3^2}{2\cdot 10}\\[3pt] =&2\cdot \log 3\ -\ \log 2\ – \log 10\\[3pt] =&2b-a-1
\end{align*}$$

技巧四: 無中生有; 運用 2×5=10

這是最重要的技巧。先看看題目:

例子: 已知 a = log 2b = log 3,求 log 135

運用短除法,會得到 135 = 33⋅5。 但題目並沒有提供 log 5的值,應怎麼辦?

雖然題目沒有提供 log 5的值,但是卻提供了 log 2的值,而 5×2 = 10。若果我們強行在數字 5 之後乘上 2,把它變 10。問題便可解決。亦即是

$$\begin{align*}
&\log 135\\[3pt] =&\log (3^3\cdot 5)\\
=&\log\frac{3^3\cdot 5\cdot 2}{2}\\[3pt] =&\log\frac{3^3\cdot 10}{2}\\
\end{align*}$$

我們在分子分母同時乘 2,然後把分子的 5×2 變成 10。整個題解如下:

題解:
$$\begin{align*}
&\log 135\\[3pt] =&\log (3^3\cdot 5)\\
=&\log\frac{3^3\cdot 5\cdot 2}{2}\\[3pt] =&\log\frac{3^3\cdot 10}{2}\\[3pt] =&3\cdot \log 3\ +\ \log 10\ -\ \log 2\\[3pt] =&3b+1-a
\end{align*}$$

若果大家覺得這種無中生有法難以掌握,可以嘗試以下方法。就是把 5 變成 ##\frac{10}{2}##,或者 2 變成 ##\frac{10}{5}##。題解如下:

題解:
$$\begin{align*}
&\log 135\\[3pt] =&\log (3^3\cdot 5)\\
=&\log\Big(3^3\cdot \frac{10}{2}\Big)\\[3pt] =&3\cdot \log 3\ +\ \log 10\ -\log 2\\[3pt] =&3b +1 -a
\end{align*}$$

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分類: 代數及百分數

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  1. Monster 說:

    技巧四中的答案, log2怎麼=2了?

  2. Kaleidoscope 說:

    Very useful!

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