代數分式的陷阱

• 02/03/2011

同學大都很怕計算含有代數符號的分數,覺得很麻煩,亦很易錯。代數分式的運算的確充滿陷阱。



情況一: 代數式以負號開始

錯誤示範:

$$\begin{align*}
&-\frac{2y}{x}+\frac{3y}{x}\\[4pt] =&-\frac{2y+3y}{x}\\[4pt] =&-\frac{5y}{x}
\end{align*}$$

就正如我們計算 -3 + 5 時,不可以無視負號的存在,直接把 3 和 5 加起來,得到結果 -8,這是錯誤的。所有數式都是由左邊讀到右邊,一開始便是負號,即是先扣減 3 ,然後再加 5。

正確答案:

$$\begin{align*}
&-\frac{2y}{x}+\frac{3y}{x}\\[4pt] =&\frac{\color{red}{-2y}+3y}{x}\\[4pt] =&\frac{y}{x}
\end{align*}$$

情況二: 減號的處理

錯誤示範:

$$\begin{align*}
&1-\frac{a-2}{5a}\\[4pt] =&\frac{5a}{5a}-\frac{a-2}{5a}\\[4pt] =&\frac{5a-a-2}{5a}\\[4pt] =&\frac{4a-2}{5a}
\end{align*}$$

簡單地說,分子和分母都各自擁有一對隱形的括號。我們要先處理好分子和分母內的計算,然後再計算分數的加減。只要在運算時在分子、分母都加上括號,就能避免這些錯誤。

正確答案:

$$\begin{align*}
&1-\frac{a-2}{5a}\\[4pt] =&\frac{5a}{5a}-\frac{\color{red}(a-2\color{red})}{5a}\\[4pt] =&\frac{5a-\color{red}(a-2\color{red})}{5a}\\[4pt] =&\frac{5a-a\color{red}+2}{5a}\\[4pt] =&\frac{4a+2}{5a}
\end{align*}$$

情況三: 通分母

初中學生以至於高中學生往往都無法掌握通分母,其實通分母根本不用強記任何方法。只要記得什麼是擴分。亦即是當分子和分母都同時乘上相同的數值,該分數的值並不會改變。

即是
$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$$

例如:

$$\begin{align*}
&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\[4pt] =&\frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2}\\[4pt] =&\frac{3}{6} + \frac{2}{6}\\[4pt] =&\frac{3+2}{6}\\[4pt] =&\frac{5}{6}
\end{align*}$$

而涉及代數符號的分數亦是透過擴分使得所有分母變成相同。

$$\begin{align*}
&\frac{1}{y-5}-\frac{2}{3y}\\[4pt] =&\frac{1 \times 3y}{(y-5) \times 3y}-\frac{2 \times (y-5)}{3y \times (y-5)}\\[4pt] =&\frac{3y}{3y(y-5)} – \frac{2(y-5)}{3y(y-5)}
\end{align*}$$

兩個分數都各自擴分,令到兩個分母都是變成相同。之後便可作加減運算。

$$\begin{align*}
=&\frac{3y-2(y-5)}{3y(y-5)}\\[4pt] =&\frac{3y-2y+10}{3y(y-5)}\\[4pt] =&\frac{y+10}{3y(y-5)}
\end{align*}$$

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分類: 代數及百分數

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