二項式定理 Binomial Theorem ─ 通項運用

• 19/12/2010

運用二項式展式中的通項 General Term 找係數 Coefficient 和常數項 Constant Term,在舊制會考的A.Maths中經常出現。而在課本上這技巧往往只以一個簡單例子來說明,絕不起眼。

先看看以下題目:

Find the constant term and the coefficient of ##x^9## in the expansion of ##\Big (2x+\frac{1}{x^2} \Big )^{15}##.

若大家遇到這類題目,大家應運用 General Term 來找答案。而這技巧是所有 M1/M2 的同學必須掌握的。

二項式定理 Binomial Theorem

首先要知道二項式定理的通項 (General Term of Binomial Theorem) 是什麼。以下把該定理以 符號形式寫出來。

$$\large (x+y)^n\ =\ \sum_{r=0}^{n} C_{r}^{n} \cdot x^{n-r}y^r$$

符號之後的就是我們需要的通項。

題解

要說明如何運用這技巧,首先看看此題的題解:

$$\begin{align*}
\textrm{The (r+1)th term} &= C_{r}^{15} \cdot (2x)^{15-r} \Big (\frac{1}{x^2}\Big )^r\\
&= C_{r}^{15} \cdot 2^{15-r} \cdot x^{15-r} \cdot x^{-2r}\\
&= C_{r}^{15} \cdot 2^{15-r} \cdot x^{15-3r}\\
\end{align*}$$

$$\textrm{For constant term,}\\
\begin{align*}
\ \ 15-3r &= 0\\
3r &= 15\\
r &=5\\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore \ \textrm{constant term} &= C_{5}^{15} \cdot 2^{15-5}\\
&= 3075072
\end{align*}$$

$$\textrm{For coefficient of } x^9,\\
\begin{align*}
\ \ 15-3r &= 9\\
3r &= 6\\
r &=2\\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore \ \textrm{coefficient of } x^9 &= C_{2}^{15} \cdot 2^{15-5}\\
&= 860160
\end{align*}$$

思路分析

若把 ##\Big (2x+\frac{1}{x^2} \Big )^{15}## 展開,會得到 16 項。問題是那一項才是常數項 constant term 呢? 方法是從通項入手。

$$\textrm{General Term} = C_{r}^{n} \cdot x^{n-r}y^r$$

首先把已知的變數代入,然後化簡。會得到:

$$\textrm{General Term} = C_{r}^{15} \cdot 2^{15-r} \cdot x^{15-3r}$$

只要仔細觀察通項中 x 的指數,當 r = 3時,整項便會成為常數項。最後把 r = 3 代入通項中的係數部份,便可得到常數項的值。

至於 x9 的係數 coefficient,方法亦是一樣,只要把 x 的指數設為 9,得出對應 r 的值。 再把該值代入通項中的係數部份。

解答步驟

Step 1)
先列出通項,等式的左方須寫 「第(r+1)項」‘The (r+1)th term’,然後代簡。化解時必須把常數和變數分開,數字歸數字,xx。若果 x 出現在分母,應把它轉成負指數。

為什麼要寫 (r+1)th term 這麼奇怪? 原因是 r 的值是由 0 開始,即是第一項中 r 的值是 0,如此類推,所以項數和 r 的值相差 1。如果還是不明白,同學亦無必要深究這問題,機械式地寫下 The (r+1)th term 便可。

Step 2)
x 的指數設成題目要求的值。若果題目求 x9 的係數,就設為 9。若求常數項則設為 0。然後找出 r 的值。

若果得出 r 不是正整數,就代表展式中根本不存在該項。以往在公開試中亦曾經考過這概念。

Step 3)
把剛得到的值代入通項中的係數部份,只要數字部份,不要寫出 x 部份。即是:

$$\textrm{coefficient of } x^9 = C_{2}^{15} \cdot 2^{15-5}$$

計算該值,最後得到答案。緊記係數只是一個數字,不存在任何變數。所以計算是必須把通項中的變數部份捨去,只抽取當中的係數部份。而答案亦有可能是分數而不是整數。

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分類: M1專區, M2專區

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回應 (4)

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  1. 周家寶 說:

    十分感謝,很喜歡你的教學內容和模式

  2. Alan 說:

    hi Fok sir ,
    我想問上面 nCr ,summation果D式係用咩程式打出黎?
    (例如MathType)

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