期望值 Expected Value 的含義

• 21/11/2010

計算期望值 Expected Value 並不困難,但問題是得到的數字到底包含什麼意義? 又如何運用期望值於現實生活? 這些才是困難所在。

我個人認為把 Expected Value 翻譯成「期望值」並不理想,更貼切的翻譯是「預期值」。而期望值的意義就是當某隨機事件重複發生多次,預期平均每次出現的結果。

期望值最有用的地方就是分析賭博的遊戲規則,但礙於一般教育工作者對賭博的潔癖,教科書上對賭博隻字不提。其實期望值正是教導學生遠離賭博的最佳工具。

期望值的意義
以賭大小(骰寶)這賭博來說明期望值的意義,勝出的概率是 ##\frac{35}{72}##,賠率是 1:1。而這賭博的期望值是:

$$\begin{align*}
&(1)\times \frac{35}{72} + (-1)\times \frac{37}{72}\\
=& -\frac{1}{36}\\
\approx &-0.02778
\end{align*}$$

那麼 -0.02778 的意義是什麼? 就是如果我們玩這賭博很多次,每次下注一元,我們可預期平均每一次會輸掉 0.02778元。

期望值的應用
期望值可幫助我們在隨機事件中作出「最佳」的選擇。但要留意由於事件是隨機發生,最終是勝或是敗都是隨機的。

以百家樂這賭博為例,這賭博有三個選擇:1)莊勝 2)閒勝 3)和。根據维基百科,百家樂的期望值是:

下注莊勝: -0.010579
下注閒勝: -0.012351
下注和: -0.143596

所有期望值都是負數。理性的決擇是不應下注,因為長遠必輸。但如果真的下注,理論上下注莊勝是最佳的選擇,因為莊勝的期望值是最大(負最少)。

其實所有賭場中的賭博的期望值皆為負數,最佳的選擇就是永遠不要賭博,這就是期望值給我們最重要的訊息。

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分類: 誤差、概率及統計學

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  1. wonh yh 說:

    can you make a youtube for variance ?

    • gamber 說:

      variance更能解釋為何我們於賭場會輸多於EV的金錢嗎?是這樣解釋嗎?

      • Thomas Fok 說:

        無錯! 想像有很多很多的人同時參與某賭博,他們當中有部份人會贏,亦即是得到多於期望值的金錢,而同時有人會輸多於期望值的金錢。只要參與的人數夠多,整體而言,他們所得(或所失)的總值應符合期望值所預測的數值。

        但有些賭博如六合彩,贏輸的結果很極端。某極小數人所贏得的金錢是超多,亦即是大部份人要輸多於期望值的金錢。換句話說,大部份人輸多於期望值,而極小部份人取得很大很大的獎金。而這些賭博的標準差 standard deviation 亦較大。

        總括而言,期望值只能作參考,特別是當其標準差 standard deviation 的數值較大時,就更要小心!

  2. AK 說:

    非常有用, Thx!

  3. rc 說:

    好清楚! Really nice

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