期望值 Expected Value 的含義

• 21/11/2010

計算期望值 Expected Value 並不困難,但問題是得到的數字到底包含什麼意義? 又如何運用期望值於現實生活? 這些才是困難所在。

我個人認為把 Expected Value 翻譯成「期望值」並不理想,更貼切的翻譯是「預期值」。而期望值的意義就是當某隨機事件重複發生多次,預期平均每次出現的結果。

期望值最有用的地方就是分析賭博的遊戲規則,但礙於一般教育工作者對賭博的潔癖,教科書上對賭博隻字不提。其實期望值正是教導學生遠離賭博的最佳工具。

期望值的意義
以賭大小(骰寶)這賭博來說明期望值的意義,勝出的概率是 ##\frac{35}{72}##,賠率是 1:1。而這賭博的期望值是:

$$\begin{align*}
&(1)\times \frac{35}{72} + (-1)\times \frac{37}{72}\\
=& -\frac{1}{36}\\
\approx &-0.02778
\end{align*}$$

那麼 -0.02778 的意義是什麼? 就是如果我們玩這賭博很多次,每次下注一元,我們可預期平均每一次會輸掉 0.02778元。

期望值的應用
期望值可幫助我們在隨機事件中作出「最佳」的選擇。但要留意由於事件是隨機發生,最終是勝或是敗都是隨機的。

以百家樂這賭博為例,這賭博有三個選擇:1)莊勝 2)閒勝 3)和。根據维基百科,百家樂的期望值是:

下注莊勝: -0.010579
下注閒勝: -0.012351
下注和: -0.143596

所有期望值都是負數。理性的決擇是不應下注,因為長遠必輸。但如果真的下注,理論上下注莊勝是最佳的選擇,因為莊勝的期望值是最大(負最少)。

其實所有賭場中的賭博的期望值皆為負數,最佳的選擇就是永遠不要賭博,這就是期望值給我們最重要的訊息。

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分類: 誤差、概率及統計學


回應 (10)

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  1. wonh yh 說:

    can you make a youtube for variance ?

    • gamber 說:

      variance更能解釋為何我們於賭場會輸多於EV的金錢嗎?是這樣解釋嗎?

      • Thomas Fok 說:

        無錯! 想像有很多很多的人同時參與某賭博,他們當中有部份人會贏,亦即是得到多於期望值的金錢,而同時有人會輸多於期望值的金錢。只要參與的人數夠多,整體而言,他們所得(或所失)的總值應符合期望值所預測的數值。

        但有些賭博如六合彩,贏輸的結果很極端。某極小數人所贏得的金錢是超多,亦即是大部份人要輸多於期望值的金錢。換句話說,大部份人輸多於期望值,而極小部份人取得很大很大的獎金。而這些賭博的標準差 standard deviation 亦較大。

        總括而言,期望值只能作參考,特別是當其標準差 standard deviation 的數值較大時,就更要小心!

  2. AK 說:

    非常有用, Thx!

  3. rc 說:

    好清楚! Really nice

  4. Addie Sam 說:

    就是在超過expected value時割禾青.

  5. Billy 說:

    有D情況好似用唔到期望值
    例如你抽野 因為佢每抽一張都會減少基數
    所以樣本每一次都一定要獨立
    同堆我想問如果同時做3次 例如題目咁一次過擲3個銀仔
    個期望值就咁加?

    • Thomas Fok 說:

      不明白你的問題。同時擲3個銀仔,那麼求什麼的期望值?

      • Billy 說:

        即係你去冒險樂園玩擲彩紅 最大個格紅色4獎 最小個格紫色一等獎
        原來規則你只可以每次擲1個硬幣
        但你依家一次過擲3個硬幣
        應該點計期望值?期望值都係一樣?

        • Thomas Fok 說:

          要視乎求甚麼的期望值。

          假設擲一個硬幣所得到的回報的期望值是 $10。如果改為每次擲三個硬幣。

          每次擲硬幣所得到的回報的期望值= $30
          (但每次卻付出了三個硬幣作為代價)

          每個硬幣所得到的回報的期望值= $10

          單說「期望值是什麼?」是無意義的,必須界定清楚甚麼的期望值。

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