求形心 (Centroid)坐標的方法

• 02/01/2015

還顧舊試題的內容,形心 (Centroid) 是較少出現在試題中。雖然如此,我們亦應該了解形心的性質而及找其坐標的方法。

形心(Centroid)性質

1) 中線 (Median) 把三角形分成兩個小三角形。而這兩個三角形的面積相同。

M點是 AB的中點 (Mid-Point),所以 AM = MB。而 AMCMBC的高(即是藍色線)及底邊的長度均相等。所以它們的面積相同。

Centroid

2) 形心(Centroid)把各條中線(Median)分成兩段。而線段的長度比是 1:2。

centroid2a

即是
$$\begin{align*}
MG:GC &= 1:2\\
NG:GA &= 1:2\\
PG:GB &= 1:2
\end{align*}$$

證明:

參考下圖, P點和 N點分別是 ACBC 的中點(mid-point)。根據中點定理 (Mid-point theorem), ##PN // AB## 及 ##PN=\frac{1}{2}AB##
centroid3a

由此,我們可以證明 GNP ~ GAB

$$\begin{align*}
\therefore \frac{NG}{GA}&=\frac{PG}{GB}=\frac{PN}{AB}\\[4pt] \frac{NG}{GA}&=\frac{PG}{GB}=\frac{1}{2}\\
\end{align*}$$

MG:GC=1:2 亦可用相同的方法來證明。

3) 形心坐標公式

設三角形頂點坐標為 ##(x_{\small A},y_{\small A})##,##(x_{\small B},y_{\small B})## 及 ##(x_{\small C},y_{\small C})##

$$G=\Big(\frac{x_{\small A}+x_{\small B}+x_{\small C}}{3},\frac{y_{\small A}+y_{\small B}+y_{\small C}}{3}\Big)$$

證明:
centroid4a

M 點是 AB 的中點(mid-point)

$$\therefore M=\Big(\frac{x_{\small A}+x_{\small B}}{2},\frac{y_{\small A}+y_{\small B}}{2}\Big)$$

已知 ##MG:GC = 1:2##

運用分點公式
Using section formula,

$$\begin{align*}
G &= \Big(\frac{2 \cdot \frac{x_{\small A}+x_{\small B}}{2}+1 \cdot x_{\small C}}{1+2},\frac{2 \cdot \frac{y_{\small A}+y_{\small B}}{2}+1 \cdot y_{\small C}}{1+2}\Big)\\[4pt] &=\Big(\frac{x_{\small A}+x_{\small B}+x_{\small C}}{3},\frac{y_{\small A}+y_{\small B}+y_{\small C}}{3}\Big)
\end{align*}$$

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分類: 幾何、坐標及三角學

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