求垂心 (Orthocentre)坐標的方法

• 03/12/2014

已知三角形的頂點坐標,如何找到這個三角形的垂心(orthocentre)的坐標?

三角形垂心(orthocentre)

先重溫三角形的垂心。三角形的垂心就是三角形高線(altitude)的交點。而高線就是穿過一個頂點並與其對邊互相垂直的直線。

Altitude of a triangle

三角形高線(altitude)

每個三角形都有三條高線,而它們必定相交於一點,該點就是三角形的垂心(orthocentre)。

orthocentre2b

三角形垂心(orthocentre)

上圖的 H1H2 便是三角形的垂心。留意如果該三角形是鈍角三角形,其垂心位於三角形之外。

求垂心坐標

求垂心坐標的方法,就是從高線的性質入手。而高線就是與三角形的其中一條邊互相垂直。參考下圖,假設 H 點是三角形的垂心。藍線的斜率就是線段 CH 的斜率。而該線與線段 AB 互相垂直。因此它們的斜率的積是 −1。 即是

$$m_{\small CH} \cdot m_{\small AB} = -1$$
orthocentre3a

由於每個三角形有三條高線,用同樣方式,可得到三條方程:

$$\begin{cases} m_{\small CH} \cdot m_{\small AB} = -1 \\ m_{\small BH} \cdot m_{\small AC} = -1 \\ m_{\small AH} \cdot m_{\small BC} = -1 \end{cases}$$

只要設垂心的坐標為 (h, k),任意選取以上方程的其中兩條,建立兩條聯立方程,解方程後便能找到其垂心的坐標。

例子:

已知三點 A(2, 1), B(6, 2)C(4, 4),求 ΔABC 的垂心的坐標。

題解:

設垂心坐標為 H(h, k)

$$\begin{align*}
m_{\small AH} \cdot m_{\small BC} &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} \cdot \frac{4-2}{4-6} &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} \cdot \frac{2}{-2} &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} \cdot (-1) &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} &= 1\\
k-1 &= h-2\\
h &= k+1 …. (1)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
m_{\small BH} \cdot m_{\small AC} &= -1\\
\frac{k-2}{h-6} \cdot \frac{4-1}{4-2} &= -1\\
\frac{k-2}{h-6} \cdot \frac{3}{2} &= -1\\
\frac{k-2}{h-6} &= \frac{-2}{3}\\
3k-6 &= -2h +12\\
2h+3k &= 18 …. (2)
\end{align*}$$

解方程 (1) 及 (2),得到

$$h=\frac{21}{5},\ k = \frac{16}{5}$$

∴ 垂心的坐標 = ##\large (\frac{21}{5},\frac{16}{5})##

orthocentre4a

附註

  1. 如果該三角形是鈍角三角形,這方法同樣適用。
  2. 如果三角形的其中一條邊是垂直線,該邊的斜率是無定義(undefined);同樣如其中一條邊是水平線,其斜率是零。在這兩個情況下,均無法建立其相關的方程。因此須要運用另外兩條方程來求取答案。
  3. 如下圖所示,該三角形同時擁有垂直線和水平線,應怎樣處理? 答案其實很簡單, A點就是該三角形的垂心。
    Orthocentre of triangle

總結

H(h, k)為三角形的垂心(Orthocentre)

$$\begin{cases} m_{\small CH} \cdot m_{\small AB} = -1 \\ m_{\small BH} \cdot m_{\small AC} = -1 \\ m_{\small AH} \cdot m_{\small BC} = -1 \end{cases}$$

以上的聯立方程便是求取垂心坐標的方法。留意這方程其實很簡單,不須要死背,第一個斜率就是三角形其中一頂點與垂心之線段的斜率,而第二個斜率就是餘下兩個頂點之線段的斜率。

相關試題

  • 2015P2Q42
  • 2012練習卷P2Q42
  • 2008P2Q52

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分類: 幾何、坐標及三角學

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回應 (2)

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  1. ycm 說:

    \begin{align*}
    m_{\small AH} \cdot m_{\small BC} &= -1\\
    \frac{k-1}{h-2} \cdot \frac{4-2}{4-6} &= -1\\
    \frac{k-1}{h-2} \cdot \frac{2}{-2} &= -1\\
    \frac{k-1}{h-2} \cdot (-1) &= -1\\
    \frac{k-1}{h-2} &= 1\\
    k-1 &= h-2\\
    h &= k+1 …. (1)
    \end{align*}

    ur coding is unfinsh??

    • Thomas Fok 說:

      Does it work now? I found some mistakes in the code but it worked ok on Chrome and Firefox. So, I cannot notice the problem. May I ask which browser you are using?

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