HKDSE 2012 Maths Paper II 題解

• 26/05/2015

HKDSE 2012 Maths Paper II Answers and Solutions
文憑試 2012 數學卷二答案+題解,括號內數字為答對百分率。

因版權關係,無法在網上刊登題目。請自行購買,或到公共圖書館借閱。

資料來源:香港考試及評核局─考試報告及試題專輯

請按 + 開啟各題的詳解
01. C (94%)
$$\begin{align*}
&\frac{(2x^4)^3}{2x^5}\\[3pt] =&\frac{8x^{12}}{2x^5}\\[3pt] =&4x^7
\end{align*}$$

02. D (74%)
$$\begin{align*}
&(4x +y)^2 -(4x -y)^2\\[1pt] =& \big[(4x +y) +(4x -y)\big] \cdot \big[(4x +y) -(4x -y)\big]\\[1pt] =& (8x)(2y)\\
=& 16xy
\end{align*}$$

03. C (59%)
題目給予的是恆等式 Identity,因此 x 是任何數值,該等式均成立。

When x=−2,

$$\begin{align*}
(-2)^2 +p &= (-2 +2)(-2 +q)+10\\
4 +p &= 10\\
p &= 6
\end{align*}$$

04. B (75%)
Let 設 f(x)=x3+4x2+kx−12 

f(x) is divisible by x+3 
   f(x) 可被 x+3 整除。
f(−3)=0

$$\begin{align*}
(-3)^3 +4(-3)^2 +k(-3) -12 &= 0\\
-27 +36 -3k -12 &=0\\
-3k &= 3\\
k &= -1
\end{align*}$$

05. B (78%)
$$\begin{cases}
m +2n +6 = 7\\
2m -n = 7
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
m +2n = 1\\
2m -n = 7
\end{cases}$$

Solving the equations,
解聯立方程

m=3, n=−1 

06. D (53%)
$$\begin{align*}
y &= a(x+b)^2\\
&= a(x+b)^2 +0
\end{align*}$$

由於圖像中的拋物線開口向下 open downward, 所以 a 是負數。

Vertex 頂點 = (−b,0) 

從圖像得知,頂點 x坐標 x-coordinate of vertex 是正數。
$$\begin{align*}
\therefore -b &\gt 0\\
b &\lt 0\\
\end{align*}$$

07. C (59%)

$$\begin{align*}
15+4x &\lt 3 & \text{or}&\ & 9-2x &\gt 1\\
4x &\lt -12 & \text{or}&\ & -2x &\gt -8\\
x &\lt -3 & \text{or}&\ & x &\lt 4
\end{align*}$$

x<4

08. D (84%)
$$\begin{align*}
&37.5\% \times 80\% + (1-37.5\%) \times 60\%\\
=& 0.375 \times 0.8 + .625 \times 0.6\\
=& 0.675\\
=& 67.5\%
\end{align*}$$

09. A (75%)
$$\begin{align*}
\frac{6x +5y}{3y -2x} &=7\\[2pt] 6x +5y &= 7(3y -2x)\\
6x +5y &= 21y -14x)\\
6x + 14x &= 21y -5y\\
20x &= 16y\\
\frac{x}{y} &= \frac{16}{20}\\[2pt] \frac{x}{y} &= \frac{4}{5}\\
x:y &= 4:5
\end{align*}$$

10. D (63%)
$$y = k_1 x^2 + k_2 \cdot \frac{1}{x}$$

When x=1, y=−4,
##\begin{align*}
-4 &= k_1(1)^2 + k_2 \cdot \frac{1}{1}\\
k_1 + k_2 &= -4\ \cdots (1)
\end{align*}##

When x=2, y=5,
##\begin{align*}
5 &= k_1(2)^2 + k_2 \cdot \frac{1}{2}\\
4k_1 + \frac{k_2}{2} &= 5\\
8k_1 + k_2 &= 10\ \cdots (2)
\end{align*}##

(1)−(2),

$$\begin{align*}
-7k_1 &= -14\\
k_1 &= 2
\end{align*}$$

Sub. k1=2 into (1)
k1=2 代入 (1)
$$\begin{align*}
2 + k_2 &= -4\\
k_2 &=-6
\end{align*}$$

$$\therefore y=2x^2 -6 \cdot \frac{1}{x}$$

When x=−2,
$$\begin{align*}
y &= 2(-2)^2 -6 \cdot \frac{1}{-2}\\
&= 8 +3\\
&= 11
\end{align*}$$

11. C (79%)
$$\begin{align*}
&\frac{3 \times 63 \times 60 + 4 \times 56 \times 60}{7 \times 60}\\[3pt] = &\frac{24780}{420}\\[3pt] = &59
\end{align*}$$

12. B (74%)
根據題目的文字描述,可得知:

T(n+1) = T(n) + n
 
從圖像得知 T(4) = 7
$$\begin{eqnarray}
T(5) &= T(4) +4 &= 7 +4 &= 11\\
T(6) &= T(5) +5 &= 11 +5 &= 16\\
T(7) &= T(6) +6 &= 16 +6 &= 22\\
T(8) &= T(7) +7 &= 22+7 &= 29
\end{eqnarray}$$

13. D (79%)
D 是正確。以下列出各選項的正確近似值。

A. 0.0323 (correct to 3 significant figures)
B. 0.0323 (correct to 4 decimal places)
C. 0.032252 (correct to 5 significant figures)

14. B (49%)
Range of the length of the whole string = 24.5−25.5m 
整條繩的長度的範圍 = 24.5−25.5m 

Range of the each piece after cutting = 4.5−5.5cm 
分割後每段繩的長度的範圍 = 4.5−5.5cm 

前者取最大值,後者取最小值。
$$\begin{align*}
n &= \frac{25.5\ m}{4.5\ cm}\\[3pt] &= \frac{2550}{4.5}\\[3pt] &= 566.6
\end{align*}$$

n 的最大可取值是 566

相當文章: 重溫量度誤差 Measurement Error

15. A (89%)
In ΔADC,

$$\begin{align*}
AC^2 &= AD^2 + CD^2\\
AC^2 &= 6^2 + 8^2\\
AC^2 &= 100\\
AC &= 10
\end{align*}$$

In ΔCBA,

$$\begin{align*}
BC^2 &= AB^2 + AC^2\\
26^2 &= AB^2 + 10^2\\
AB^2 &= 576\\
AB &= 24
\end{align*}$$

   The required area 所需面積

$$
=\frac{24 \cdot 10}{2} + \frac{6 \cdot 8}{2}\\[2pt] =144
$$
16. B (82%)

Arc Length 弧長 = ##2\pi r \times \large \frac{\theta}{360\deg}##

$$\begin{align*}
\overset{\displaystyle\frown}{AB} &= 2\pi(OA) \times \frac{\angle AOB}{360\deg}\\[2pt] 12\pi &= 2\pi(30) \times \frac{\angle AOB}{360\deg}\\
\angle AOB &= 72\deg\\\\
\overset{\displaystyle\frown}{CD} &= 2\pi(OC) \times \frac{\angle AOB}{360\deg}\\[2pt] 16\pi &= 2\pi(OC) \times \frac{72\deg}{360\deg}\\
OC &= 40\\\\
AC &= OC -OA\\
&= 40 -30\\
&= 10
\end{align*}$$

17. B (43%)
dse2012-p2-q17已知 DF:FC=3:4ABCD 是平行四邊形。

DF=3, FC=4, AB=7

From area of ΔGDF,
ΔGDF 面積,
$$\begin{align*}
\frac{h_1 \cdot 3}{2} &= 3\\[2pt] h_1 &= 2
\end{align*}$$

已知 ΔGDF∼ΔGAEGD=DA 

$$\begin{align*}
\frac{GD}{GA} &= \frac{h_1}{h_1 + h_2}\\[2pt] \frac{1}{2} &= \frac{2}{2 + h_2}\\[2pt] h_2 &= 2
\end{align*}$$

   ABCD 面積
= h2 × AB
= 2 × 7
= 14
 

18. A (70%)
In ΔBCD,

$$\begin{align*}
\sin\alpha &= \frac{BD}{BC}\\[2pt] \sin\alpha &= \frac{BD}{l}\\[2pt] BD &= l \cdot \sin\alpha
\end{align*}$$

In ΔBDA,

$$\begin{align*}
\cos\beta &= \frac{BD}{AB}\\[3pt] \cos\beta &= \frac{l \cdot \sin\alpha}{AB}\\[3pt] AB &= \frac{l \cdot \sin\alpha}{\cos\beta}
\end{align*}$$
19. C (51%)
方法一:
$$\begin{align*}
&\frac{\cos 60\deg}{1 -\cos(90\deg-\theta)} + \frac{\cos 240\deg}{1 -\cos(270\deg-\theta)}\\[3pt] =&\frac{\frac{1}{2}}{1 -\sin \theta} + \frac{\frac{-1}{2}}{1 -(-\sin \theta)}\\[3pt] =&\frac{1}{2} \cdot \bigg[\frac{1}{1 -\sin \theta} +\frac{-1}{1+\sin \theta}\bigg]\\[3pt] =&\frac{1}{2} \cdot \bigg[ \frac{(1+\sin \theta)-(1 -\sin \theta)}{(1 -\sin \theta)(1+\sin \theta)}\bigg]\\[3pt] =&\frac{1}{2} \cdot \bigg[ \frac{2\sin \theta}{1 -\sin^2 \theta}\bigg]\\[3pt] =&\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}\\[3pt] =&\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta}\\[3pt] =&\frac{\tan \theta}{\cos \theta}
\end{align*}$$

方法二: 隨意選擇一個數值代入 θ。例如 θ = 10° 
$$\begin{align*}
&\frac{\cos 60\deg}{1 -\cos(90\deg-\theta)} + \frac{\cos 240\deg}{1 -\cos(270\deg-\theta)}\\[3pt] =&\frac{\cos 60\deg}{1 -\cos 80\deg} + \frac{\cos 240\deg}{1 -\cos 260\deg}\\[3pt] =&\color{red}{0.179}
\end{align*}$$

再把同一數值代入各選項中:
$$\begin{eqnarray}
A.& \small \frac{1}{\cos^2 10\deg} &= 1.03\\[2pt] B.& \small \frac{\cos 10\deg}{\tan 10\deg} &=5.585\\[2pt] C.& \small \frac{\tan 10\deg}{\cos 10\deg} &= \color{red}{0.179}\\[2pt] D.& \small \frac{1}{\cos 10\deg \tan 10\deg} &= 5.76
\end{eqnarray}$$

選項 C 的數值 (0.179) 和問題中的代數式的值相同,所以選項 C 是正確答案。

相關文章:文憑試實戰篇#1 選擇題: 化簡涉及 sin/cos 的代數式

20. C (71%)
dse2012-p2-q20$$\begin{align*}
\angle BAD + \angle BCD &= 180\deg\\
28\deg +x +114\deg &= 180\deg\\
x &=38\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle ABC + \angle ADC &= 180\deg\\
\angle ABC + x +42\deg &= 180\deg\\
\angle ABC + 38\deg +42\deg &=180\deg\\
\angle ABC &= 100\deg
\end{align*}$$

21. D (45%)
dse2012-p2-q21OD=OC=DC=6
∴∠DOC=60°
 

  紅色部份面積

##=\pi (6)^2 \cdot \large \frac{60\deg}{360\deg} -\large\frac{1}{2}\normalsize(6)(6)\sin 60\deg\\[2pt] =6\pi -9\sqrt{3}##

  所需面積

##=\large \frac{1}{2} \normalsize \pi (6)^2\ – (6\pi -9\sqrt{3})\\
= 18\pi -6\pi +9\sqrt{3}\\
= 12\pi +9\sqrt{3}##

相關文章: 弓形面積計算 Area of circular segments

22. A (43%)
Sum of interior angles 內角和 = (n−2)×180° 
Sum of exterior angles 外角和 = 360° 

I)
  Exterior Angle 外角

$$=\frac{360\deg}{12}\\[6pt] =30\deg$$

II)
  Interior Angle 內角

$$=\frac{(12 -2)\times 180\deg}{12}\\[2pt] =150\deg$$

III) The number of axes of reflectional symmetry of all regular polygon is equal to number of sides (i.e. 12).
所有正多邊形的反射對稱軸數目等於邊數(即是 12)。

相關文章:文憑試實戰篇 #7 多邊形性質

23. D (42%)
dse2012-p2-q23Step 1) 把 P 點轉換成極坐標 Polar Coordinates

可以直接用計數機,或依照以下方法轉換。
$$\begin{align*}
r^2 &= (-3)^2 + (-3\sqrt{3})^2\\
r^2 &= 9 +27\\
r^2 &= 36\\
r &= 6
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\tan \theta &= \frac{3\sqrt{3}}{3}\\[3pt] \theta &= 60\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
P &=(6, 180\deg +60\deg)\\
&=(6, 240\deg)
\end{align*}$$

Step 2) 把極坐標作旋轉 rotation 只須把其角度作加減運算,逆時針方向是加,順時針方向是減。
$$\begin{align*}
P』 &= (6, 240\deg + 90\deg)\\
&= (6,330\deg)
\end{align*}$$

相關文章: 文憑試實戰篇#2 Polar Coordinates 極坐標

24. A (72%)
dse2012-p2-q24

25. C (40%)
首先把這兩條直線的斜率 slope、x截距 x-intercept 及 y截距 y-intercept 找出來。

L1:
   斜率 slope = a 
   x截距 x-intercept = ##\large \frac{b}{a}##
   y截距 y-intercept = b 

L2:
   斜率 slope = c 
   x截距 x-intercept = ##\large \frac{d}{c}##
   y截距 y-intercept = d 

I) 從圖像得知,L1 的斜率是正數。因此 a 必定是負數。所以選項 I 正確。

II) L2 比較斜,即是 L2 的斜率比 L1 的大。

$$\begin{align*}
-a &\lt -c\\
a &\gt c
\end{align*}$$

∴ 選項 II 錯誤。

III) L1y截距 y-intercept 比 L2 的大。

b > d
 
因此選項 III 正確。

IV) L2x截距 x-intercept 比 L1 的大。

$$\begin{align*}
\frac{d}{c} &\gt \frac{b}{a}\\[2pt] d &\lt \frac{bc}{a}\ \ (\because c \lt 0)\\[2pt] ad &\gt bc\ \ (\because a \lt 0)
\end{align*}$$

∴ 選項 IV 正確。

26. A (56%)
dse2012-p2-q26留意以下各點:

  1. h 是負數,而 kr 是正數。
  2. 如不計算正負號k 的數值比 h 大。
    即是 |k| > |h|
  3. r < k 

I) h 是負數,而 k是正數,但由於上述第二點,相加後結果是正數。因此選項 I 正確。

II) r 是正數,而 h是負數,由於「減負數」亦即是加數,所以結果必定是正數。因此選項 II 正確。

III) kr 是正數,但 r < k。即是細數減大數,所以結果必定是負數。因此選項 III 錯誤。

註: 如仍不明白,想像 h=−2, k=5, r=3,便可推斷各選擇是否正確。

27. A (50%)
只要該數的個位是 50,它便可被 5 整除。

$$\begin{align*}
\therefore P &= \frac{2}{10}\\[2pt] &= \frac{1}{5}
\end{align*}$$

註: 不用考慮十位的數值。

28. B (59%)
「74」是否符合「不小於74」"not under the age of 74"? 答案是 Yes!!

共有 20 個數據,符合條件的有 6 個,包括 {74,74,76,77,79,91}

$$\begin{align*}
\therefore P &= \frac{6}{20}\\[2pt] &= 0.3
\end{align*}$$

29. B (71%)
圖表的意思是數據「0」有兩個,數據「1」有 8 個,如此類推。計數機進入 SD 模式後,應輸入:

dse2012-p2-q29

然後再按正常的按鍵方法讀取標準差 standard deviation。

30. D (47%)
I) 共有 11 個數據,所以中位數 median 是第 6 個數據。已知中位數是 14,亦即是小於或等於 14 的數據必定是 5個。數據中已有 5 個數據是小於 14,即是 {10,12,12,13,13},所以 mn 都必定大於或等於 14。

m ≥ 14 and n ≥ 14

∴ 選項 I 正確。

II) 已知平均值 mean 是 14。

$$
\small \frac{19+10+12+…+19+m+n}{11} = 14\\[2pt] \begin{align*}m+n &= 30\ \cdots (1)\\
m &= 30 -n
\end{align*}$$

已知 m ≥ 14

$$\begin{align*}
m &\geq 14\\
30 -n &\geq 14\ \ (\because m=30-n)\\
30 -14 &\geq n\\
n &\leq 16
\end{align*}$$

亦可用文字來解釋: 由於 m+n=30,當 m 減少時, n 增加。但 m 的最小值是 14。所以 n 的最大值是 16。

因此選項 II 正確。

III) 上述方程 (1) 已證明選項 III 正確。

31. B (55%)
$$\begin{eqnarray}
2a^2b^4c= & 2^1 & a^2 & b^4 & c^1 \\
4a^4b^2c^6= & 2^2 & a^4 & b^2 & c^6 \\
??= & 2^m & a^n & b^o & c^p \\
\hline
\text{HCF}= & \ & a^1 & b^2 & \ \\
\text{LCM}= & 2^2 & a^4 & b^5 & c^6
\end{eqnarray}$$

比較各指數,可判斷 mnop 的值。

m = 0
n = 1
o = 5
p = 0

∴ 第三個數式是 ab5

32. C (43%)
dse2012-p2-q32B 點的坐標是(0,4),但由於重直軸 vertical axis 不是 y 而是 log3 y,因此正確的理解是:
「當 x = 0log3 y = 4

When x = 0,

$$\begin{align*}
\log_3 y &= 4\\
y &= 3^4\\
y &= 81
\end{align*}$$

x = 0, y = 81 代入方程。

$$\begin{align*}
y &= mn^x\\
81 &= m \cdot n^0\\
m &= 81
\end{align*}$$

用同一方法處理 A 點。

When x = −2,

$$\begin{align*}
\log_3 y &= 0\\
y &= 3^0\\
y &= 1
\end{align*}$$

x = −2, y = 1, m = 81 代入方程。

$$\begin{align*}
y &= mn^x\\
1 &= (81)(n)^{-2}\\
1 &= 81 \times \frac{1}{n^2}\\
n^2 &= 81\\
n &= 9
\end{align*}$$

註: 由於 n 不會是負數,因此不用考慮 n = −9 這情況。

相關文章: HKDSE 2014 Paper I Q15 題解

33. A (64%)
緊記最右方第一個數字的位值 place value 是 160 而非 161

dse2012-p2-q33

$$\begin{align*}
&\text{AD0000002012}_{16}\\
=&10\times16^{11} +13\times16^{10} +2\times16^{3} +1\times16^{1} +2\times16^{0}\\
=&10\times16^{11} +13\times16^{10} +8192 +16 +2\\
=&10\times16^{11} +13\times16^{10} +8210
\end{align*}$$

34. C (49%)
由於只知頂點 vertex 坐標,而不知開口方向,因此要考慮兩個不同情況,即是下圖所示的紅色線和綠色線。

dse2012-p2-q34a

A) 紅色線雖然和 x軸相交,但無法確定其根是否整數。加上綠色線沒有實根 real roots,因此選項 A 錯誤。

B) f(x)−3 的意思是把曲線向下移三個單位。結果和上述選項 A 相同,即是綠色線沒有實根 real roots,因此選項 B 錯誤。

C) f(x)+4 把曲線向上移 4 個單位。結果如下圖所示。從圖像得知,不論紅色線和綠色線都有實根 real roots,亦即是 x=3。所以選項 C 正確。

dse2012-p2-q34b

D) f(x)+5 把曲線向上移 5 個單位。結果如下圖所示。從圖像得知,雖然紅色線沒有實根 real roots,但綠色線卻與 x軸相交,即是綠色線有實根 real roots。所以選項 D 錯誤。

dse2012-p2-q34c

35. A (55%)

##\begin{align*}
i &= \sqrt{-1}\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

$$\begin{align*}
&i^3(\beta i -3)\\
=& -i(\beta i -3)\\
=& -\beta i^2 +3i\\
=& -\beta (-1) +3i\\
=& \beta +3i
\end{align*}$$

36. D (37%)
題目所示的圖像,背後是三條二元一次不等式 linear inequality in two unknowns。第一步是要從圖像還原這三條不等式出來。方法如下:

下圖藍色線是 y = x + 3 的圖像。

dse2012-p2-q36

和題目的圖像比較,需要的區域是紅色部分。在紅色部分內任意取一點,如 (0,0),再代入方程中,右方 x+3 的值比左方 y 大,因此其對應的不等式是

yx +3
 
用相同方法,便可還原這三條不等式。
$$\begin{cases}
y \geq 3\\
y \leq x+3\\
y \leq 6-2x
\end{cases}$$

由於 (h,k) 同時符合這三條不等式,所以可把它代入這些不等式中。

$$\begin{cases}
k \geq 3\\
k \leq h+3\\
k \leq 6-2h
\end{cases}$$

再移項後,

$$\begin{cases}
k \geq 3\\
-3 \leq h -k\\
2h +k \leq 6
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
k \geq 3\\
h -k \geq -3\\
2h +k \leq 6
\end{cases}$$

∴ D 是正確答案。

37. A (43%)
首先找 ad 的值。

$$\begin{eqnarray}
a_{18} &= a + (18-1)d &= 26\\
a_{23} &= a + (23-1)d &= 61
\end{eqnarray}$$

$$\begin{cases}
a +17d = 26\\
a +22d = 61
\end{cases}$$

Solving the equations,
解聯立方程,

a = −93, d = 7 

I)

$$\begin{align*}
a_{14} &= a + (14-1)d\\
&= -93 + 13 \times 7\\
&= -2
\end{align*}$$

∴ 選項 I 正確。

II)

$$\begin{align*}
a_{2} &= a + (2-1)d\\
&= -93 + 1 \times 7\\
&= -86
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
a_1 -a_2 &= -93 -(-86)\\
&= -7
\end{align*}$$

∴ 選項 II 正確。

III)

$$\begin{align*}
S(n) &= \Big [ 2a + (n -1)d \Big ] \cdot \frac{n}{2}\\
S(27) &= \Big [ 2(-93) + (27 -1)7 \Big ] \cdot \frac{27}{2}\\
&= -54
\end{align*}$$

∴ 選項 III 錯誤。

38. C (63%)
f(x−2)+1 即是把 f(x) 向右移兩個單位,然後再向上移一個單位。觀察各曲線頂點 vertex 的相對位置,選項 C 是正確答案。

39. D (53%)
方法一: 利用函數變換 Transformation of function 求答案。在此不加解釋了。

方法二: 如下圖所示,題目給予的曲線上有三點的坐標是知道的。只要把這些坐標代入各選項中,倘若出現等式左右雙方數值不符的情況,這選項必定錯誤。

dse2012-p2-q39

B 點坐標是 (90,1),把 x = 90 代入各選項的右方,並測試其值是否等於 1

$$\begin{array}{ll}
A.\ 1+3\cdot cos\ \large \frac{90\deg}{2} &= 3.12\\
B.\ 1+3\cdot cos(2\cdot90\deg) &= -2\\
C.\ 4+3\cdot cos\ \large \frac{90\deg}{2} &= 6.12\\
D.\ 4+3\cdot cos(2\cdot90\deg) &= 1\\
\end{array}$$

只有選項 D 的值是 1,其餘三個選項必定錯誤。所以可確定選項 D 是正確答案。

註:運用此方法只可在數值不符時把某選項斷定為錯誤,相反當等式左右雙方數值相同時,不可憑此推斷該選項為正確答案。例如,把 A(0,7) 代入選項 C,並沒有出現等式左右雙方數值不符的情況,但選項 C 不是正確答案。

相關文章:文憑試實戰篇 #14 sin/cos 圖像變換

40. D (30%)
正四面體 Regular Tetrahedron 性質:

  • 每條邊長度相同
  • 每個面都是等邊三角形 equilateral triangle

設邊長為 2 ,而 M 點為 BC 的中點 mid-point。

dse2012-p2-q40a

In ΔABM,

$$\begin{align*}
AB^2 &= BM^2 + AM^2\\
2^2 &= 1^2 + AM^2\\
AM^2 &= 3\\
AM &= \sqrt{3}\\
\end{align*}$$

集中研究 ΔAMD,需要的角是 AMD。由於每個面均全等,很明顯 ##AM=MD=\sqrt{3}##。

dse2012-p2-q40b

$$\begin{align*}
\cos \theta &= \frac{(\sqrt{3})^2 +(\sqrt{3})^2 -2^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\\
\cos \theta &= \frac{1}{3}\\[2pt] \theta &= 70.5\deg\\
\theta &\approx 71\deg
\end{align*}$$

41. C (47%)
Step 1) 連接 OB,找圖中 xy 的值。

dse2012-p2-q41a

In ΔBPO,
$$\because OB = OP\\
\therefore x=12\deg$$

$$\begin{align*}
y &= \angle BPO + \angle OBP\ (\text{ext.}\ \angle\ \text{of}\ \Delta)\\
&= 12\deg + 12\deg\\
&=24\deg
\end{align*}$$

Step 2) 連接 OC,找 COP 的值。

dse2012-p2-q41b

$$\begin{align*}
\angle COP &= \angle OBC\ (\angle \text{ in alt. segment})\\
&= 12\deg
\end{align*}$$

Step 3) 找圖中 z 的值

dse2012-p2-q41c

$$\begin{align*}
z &= 180\deg -12\deg -24\deg\\
&= 144\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle BAC + z &= 180\deg\ (\text{opp. }\angle s,\text{cyclic quad.)}\\
\angle BAC + 144\deg &= 180\deg\\
\angle BAC &= 36\deg
\end{align*}$$

42. B (36%)


43. B (52%)
$$\begin{align*}
&C_1^8 \cdot C_4^{12} +C_2^8 \cdot C_3^{12} +C_3^8 \cdot C_2^{12} +C_4^8 \cdot C_1^{12} +C_5^8\\
=&14712
\end{align*}$$

     OR

$$\begin{align*}
&C_5^{20}\ -\ C_5^{12}\\
=&14712
\end{align*}$$

Note:
   ##C_5^{20}## = number of all possible teams 所有可能組合
   ##C_5^{12}## = number of teams consisting of all boys 整隊都是男生

 

44. D (56%)
需要抽第三次才抽到 9 ,即是首兩次必定不是 9。

$$\begin{align*}
P &= \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}\\[2pt] &= \frac{3}{20}
\end{align*}$$

45. A (36%)
題目的意思是原有數據 100 個,其平均值 mean 是 m1。若把 m1 加入這組數據中,即是變成共有 101 個數據後,平均值 mean、分佈域 range 及方差 variance 是否改變。

I) 由於新加入的數據等於原本的平均值 mean,所以新的平均值 mean不會改變。證明如下:
$$\begin{align*}
\frac{x_1 +x_2 + … +x_{100}}{100} &= m_1\\
x_1 +x_2 + … +x_{100} &= 100m_1
\end{align*}$$

  新的平均值 new mean
$$\begin{align*}
=& \frac{x_1 +x_2 + … +x_{100} +m_1}{101}\\[2pt] =& \frac{100m_1 +m_1}{101}\\[2pt] =& \frac{101m_1}{101}\\[2pt] =& m_1
\end{align*}$$

∴選項 I 正確。

II) m1 必定在原數據中最小值和最大值之間,所以把它加入後,數據組中的最小值和最大值不變。因此分佈域 range 亦不變。所以選項 II 正確。

III) 方差是標準差的平方
   Variance is the square of standard deviation.

只要標準差 standard deviation 改變,方差 variance 亦會改變。

當加入一個數據,而該數據的值等於原本的平均值 mean ,標準差 standard deviation 必定減少。同樣當移除一個數據,而該數據的值等於原本的平均值 mean ,標準差 standard deviation 必定增加。

證明較繁複,改為用例子引證。

假設原數據組是 {2,6,7} 
平均值 mean = 5
標準差 standard deviation = 2.16

把原本的平均值 5 加入數據組中。
新數據組是 {2,6,7,5} 
新平均值 new mean = 5
新標準差 new standard deviation = 1.87

新標準差比原有的減少。

當標準差 standard deviation 改變,方差 variance 亦隨之改變,所以選項 III 錯誤。

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分類: 計數機應用及歷屆試題

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