HKDSE 2013 Maths Paper II 題解

• 18/05/2015

HKDSE 2013 Maths Paper II Answers and Solutions
文憑試 2013 數學卷二答案+題解,括號內數字為答對百分率。

因版權關係,無法在網上刊登題目。請自行購買,或到公共圖書館借閱。

資料來源:香港考試及評核局─考試報告及試題專輯

請按 + 開啟各題的詳解
01. B (69%)
$$\begin{align*}
&\big ( 27 \cdot 9^{n+1}\big )^3\\
=&\Big ( 3^3 \cdot \big(3^2\big)^{n+1}\Big )^3\\
=&\big ( 3^3 \cdot 3^{2n+2}\big )^3\\
=&\big ( 3^{2n+5}\big )^3\\[3pt] =& 3^{6n+15}
\end{align*}$$

02. D (81%)
$$\begin{align*}
\frac{y\ -\ 1}{c} &= \frac{y+1}{d}\\[2pt] dy-d &= cy + c\\
dy-cy &= c + d\\
y(d-c) &= c+d\\
y &= \frac{c+d}{d-c}
\end{align*}$$

03. D (85%)
$$\begin{align*}
&\ hl-kl+hm-km-hn+kn\\
=&\ (hl-kl)+(hm-km)-(hn-kn)\\
=&\ l(h-k)+m(h-k)-n(h-k)\\
=&\ (h-k)(l+m-n)
\end{align*}$$

04. C (75%)
C 是正確。以下列出各選項的正確近似值。

A. 0.050 (correct to 2 significant figures)
B. 0.050 (correct to 3 decimal places)
D. 0.05045 (correct to 5 decimal places)

05. A (40%)
$$\begin{align*}
x-\frac{x-1}{2} &\gt 5 & \text{or}&\ & 1&\lt x-11\\
2x-(x-1) &\gt 10 & \text{or}&\ & 1+11&\lt x\\\
2x-x+1 &\gt 10 & \text{or}&\ & x&\gt 12\\
x &\gt 9 & \text{or}&\ & x&\gt 12
\end{align*}\\
\therefore x\gt 9$$

06. C (70%)
$$\begin{align*}
(x-k)^2 &= 4k^2\\
(x-k)^2 – (2k)^2&= 0\\
\big[(x-k) + (2k)\big] \cdot \big[(x-k) – (2k)\big]&= 0\\
(x+k) \cdot (x-3k) &=0\\
x = -k\ \ \text{or}\ \ x&= 3k
\end{align*}$$

07. B (59%)
從圖像得知 y截距 y-intercept 是 −10
b=−10

(1,0) 代入方程

$$\begin{align*}
0 &= -2(1)^2 +a(1) -10\\
0 &= -2 +a -10\\
a &= 12
\end{align*}$$

方法一: 配方法 Method of completing the square

$$\begin{align*}
&-2x^2+12x-10\\
=& -2(x^2-6x)-10\\
=& -2\Big[x^2-6x+\Big(\frac{6}{2}\Big)^2 -\Big(\frac{6}{2}\Big)^2\Big]-10\\
=& -2\Big[(x-3)^2 -9\Big]-10\\
=&-2(x-3)^2+18-10\\
=&-2(x-3)^2+8\\
\end{align*}$$

頂點 vertex = (3,-8)

∴ axis of symmetry 對稱軸是 x = 3

方法二: 運用公式

對於 y = ax2+bx+c, 頂點 vertex x坐標 = ##\large \frac{-b}{2a}##

$$\begin{align*}
\frac{-b}{2a} &= \frac{-12}{2(-2)}\\
&= +3
\end{align*}$$

∴ axis of symmetry 對稱軸是 x = 3

08. A (59%)
$$\begin{align*}
x(x+3a)+a &\equiv x^2+2(bx+c)\\
x^2 + 3ax + a &\equiv x^2+2bx +2c
\end{align*}$$

Comparing the coefficients,
比較係數,

$$\begin{align*}
3a &= 2b\\
\frac{a}{b} &= \frac{2}{3}\\
a:b &= 2:3
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
a &= 2c\\
\frac{a}{c} &= \frac{2}{1}\\
a:c &= 2:1
\end{align*}$$

$$\begin{eqnarray}
a &: &b &\ &= 2 &: &1 &\ \\
a &\ &\ &: c &= 2 &\ &\ &: 3 \\
\hline{}
a &: &b &: c &= 2 &: &1 &: 3 \\
\end{eqnarray}$$

09. D (66%)

$$\begin{align*}
f(-1) &= 0\\
(-1)^{13} -2(-1) + k &=0\\
-1 + 2 + k &=0\\
k &=-1
\end{align*}$$

  Remainder 餘數

$$\begin{align*}
&=f(+1)\\
&=1^{13} -2 (1) + (-1)\\
&= -2
\end{align*}$$
10. A (45%)

Selling Price = Cost × (1 + Profit%)
Selling Price = Cost × (1 – Loss%)

售價 = 成本 × (1 + 利潤%)
售價 = 成本 × (1 – 虧蝕%)

Let x and y be the cost of the two cars
xy 是這兩輛汽車的成本

$$\begin{align*}
80080 &= x \times (1+30\%)\\
x &= 61600\\[12pt] 80080 &= y \times (1-30\%)\\
y &= 114400
\end{align*}$$

  Total Profit 總利潤
= Total Revenue 總收入 − Total Cost 總成本
= (80080 × 2) − (61600 + 114400) 
= −15840

11. D (65%)
$$\begin{align*}
&50000 \times \Big (1+\frac{8\%}{12}\Big )^{1 \times 12}-\ 50000\\
=&4149.975\\
\approx&4150
\end{align*}$$

12. C (31%)

##\Large \frac{A_1}{A_2} = \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big )^{\normalsize 2}##

$$\begin{align*}
\frac{36\ cm^2}{900\ m^2} &= \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big ) ^2\\[3pt] \frac{36}{900 \times 10000} &= \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big ) ^2\ (\because 1\ m^2 = 10000\ cm^2)\\[3pt] \frac{1}{250000} &= \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big ) ^2\\[3pt] \frac{l_1}{l_2} &= \frac{1}{500}
\end{align*}$$

13. C (63%)
$$\begin{align*}
z &= k \cdot x \cdot \frac{1}{\sqrt y}\\
x &= \frac{1}{k}\sqrt y \cdot z
\end{align*}$$

  New Value of x  x的新值

$$=\frac{1}{k}\sqrt {(1-64\%)y} \cdot (1+25\%)z\\
=\frac{1}{k}\sqrt{0.36y} \cdot 1.25z\\
=\frac{1}{k} \cdot 0.6\sqrt{y} \cdot 1.25z\\
=0.75 \cdot \frac{1}{k}\cdot \sqrt{y}\cdot z\\
=0.75 x$$

Percentage Change 百份數變化

$$=\frac{0.75x-x}{x}\times 100\%\\
=\frac{-0.25x}{x}\times 100\%\\
=-25\%
$$

相關文章: 變分與百分數變化 Variation and Percentage Change

14. D (21%)
$$\begin{align*}
x+ay+b &= 0\\
ay &= -x\ -\ b\\[2pt] y &= \frac{-1}{a}x\ -\ \frac{b}{a}
\end{align*}$$

Slope 斜率 = ##\Large \frac{-1}{a}##, y-intercept y截距= ##\Large \frac{-b}{a}##。

I) 從圖像得知,斜率是正數,所以 a 是負數。即是選項 I 正確。
II) 從圖像得知, y-intercept y截距是負數,因此

$$\begin{align*}
\frac{-b}{a} &\lt 0\\
-b &\gt 0\ (\because a\lt 0)\\
b &\lt 0
\end{align*}$$

∴ 選項 II 正確。

III) 從圖像得知,y-intercept y截距 > −1

$$\begin{align*}
\frac{-b}{a} &\gt -1\\
\frac{b}{a} &\lt 1\\
b &\gt a\ (\because a\lt 0)\\
a &\lt b
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

相關文章:文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

15. B (71%)
dse2013-p2-q15

16. B (33%)
dse2013-p2-q16$$\begin{align*}
\cos \theta &= \frac{1.5^2+1.5^2-2^2}{2\cdot 1.5 \cdot 1.5}\\
\cos \theta &= \frac{1}{9}\\[3pt] \theta &= 83.621\deg
\end{align*}$$

   所需面積
 = Sector 扇形 AOC 面積 − 紅色三角形面積

$$\begin{align*}
&=\pi(1.5)^2 \times \frac{83.621\deg}{360\deg}-\frac{1}{2}(1.5)^2\cdot \sin 83.621\deg\\
&=0.5238\\
&\approx 0.52
\end{align*}$$

相關文章: 弓形面積計算 Area of circular segments

17. B (56%)
dse2013-p2-q17$$\begin{align*}
l^2 &= 3^2 + 4^2\\
l &= 5
\end{align*}$$

  The required surface area 所需表面面積
##=\pi rl + \large \frac{1}{2} \normalsize \cdot 4\pi r^2\\
= \pi \cdot 3 \cdot 5 + \large \frac{1}{2} \normalsize \cdot 4\pi (3)^2\\
=33\pi##

18. C (37%)
方法一:

$$\begin{align*}
AD:BC &= 2:3\\
&= 4:6
\end{align*}$$

AD=4BE=EC=3

dse2013-p2-q18

從 ΔFEC 面積,

$$\begin{align*}
\frac{3 \cdot h_1}{2} &= 36\\
h_1 &=24
\end{align*}$$

而圖中兩個塗了顏色的三角形相似(similar),因此

$$\begin{align*}
\frac{h_2}{h_1} &= \frac{4}{3}\\[2pt] \frac{h_2}{24} &= \frac{4}{3}\\[2pt] h_2 &= 32
\end{align*}$$

  ABCD 面積

$$=\frac{(4+6)\times(24+32)}{2}\\[2pt] =280\ \text{cm}^2 $$

方法二:

參考《文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題》所述之方法,便可快捷地找到以下各個三角形的面積。

dse2013-p2-q18b

參考下圖,ΔABEΔAEC 的面積相同,因為它們的高和底長度相同。

dse2013-p2-q18c

$$\begin{align*}
\therefore x &= 48 +36\\
&= 84
\end{align*}$$

  ABCD 面積

$$=84 +48 +36 +48 +64\\[2pt] =280\ \text{cm}^2 $$

相關文章: 文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題

19. C (56%)
dse2013-p2-q19根據題目所題供的資料,可以推斷圖中所示四隻綠色角數值相同。其解釋如下:

1) AD=ABADE=∠ABD 
(base ∠s,isos Δ 等腰三角形底角)

2) AD//BCADE=∠DBC 
(alt. ∠s, AD//BC 錯角,AD//BC)

3) DAC=∠DBC 
(∠s in the same segment 同弓形內的圓周角)

In ΔADE,

$$\begin{align*}
x + x &= 74\deg\\
x &= 37\deg
\end{align*}$$

In ΔABD,

$$\begin{align*}
\theta + 3x &= 180\deg\\
\theta +3(37\deg) &=180\deg\\
\theta &= 69\deg
\end{align*}$$
20. D (58%)
Step 1) 先找圖中 θα 的值。

dse2013-p2-q20a

$$\begin{align*}
\theta &= 180\deg – 32\deg – 86\deg\\
&= 62\deg\\[8pt] \alpha &= 32\deg
\end{align*}$$

Step 2) 由於 OP=OQ,所以下圖中兩隻紅色角相等。
dse2013-p2-q20b

$$\begin{align*}
\beta + \beta + 62\deg &= 180\deg\\
\beta &= 59\deg
\end{align*}$$

Step 3) 最後找下圖中的藍色角 γ
dse2013-p2-q20c

$$\begin{align*}
\gamma &= 59\deg – 32\deg\\
&= 27\deg
\end{align*}$$
∴ S27°E 

21. C (46%)
dse2013-p2-q21Sum of interior angles 內角和 = (n−2)×180° 
Sum of exterior angles 外角和 = 360° 

$$\begin{align*}
\frac{(n-2)\times 180\deg}{n} &= \frac{360\deg}{n}\times 4\\[2pt] (n-2) \times 180\deg &= 1440\deg\\
n-2 &= 8\\
n &= 10
\end{align*}$$

I) n=10,所以選項 I 正確。
II) Diagonal 對角線數目 = ##C_2^{10} – 10 = 35##,所以選項 II 錯誤。
III) 很明顯這是正確。

相關文章:文憑試實戰篇 #7 多邊形性質

22. A (48%)
dse2013-p2-q22留意 82+152=172,所以 ΔABC 是直角三角形 Right-Angled Triangle.

##\cos A = \Large \frac{8}{17}\\[3pt] \cos C = \Large \frac{15}{17}\\##

$$\begin{eqnarray}
\cos A:\cos C &=& \frac{8}{17}&:\frac{15}{17}\\[3pt] &=&\ 8&:15
\end{eqnarray}$$

23. B (56%)
dse2013-p2-q23I)

$$\begin{align*}
&\tan x \cdot \tan(90\deg – x)\\
=&\tan x \cdot \frac{1}{\tan x}\\[2pt] =&1
\end{align*}$$

∴ 選項 I 正確。

II)

$$\begin{align*}
&\sin x -\sin(90\deg -x)\\
=&\sin x -\cos x
\end{align*}$$

45° < x < 90°sin x > cos x

sin x − cos x > 0

∴ 選項 II 錯誤。

III)

$$\begin{align*}
&\cos x + \cos(90\deg -x)\\
=&\cos x +\sin x
\end{align*}$$

0° < x < 90°sin xcos x 均是正數。

∴ 選項 III 正確。

24. A (54%)
方法一: Let coordinates of P be (x,y).
P點坐標為 (x,y)

$$\begin{align*}
AP &= BP\\
\sqrt{(2-x)^2 + (5-y)^2} &= \sqrt{(4-x)^2 + (-1-y)^2}\\
4 -4x + x^2 + 25 -10y + y^2 &= 16 -8x +x^2 +1 +2y +y^2\\
29 -4x -10y &= 17 -8x +2y\\
29 -4x -10y -17 +8x -2y &= 0\\
4x -12y +12 &=0\\
x -3y +3 &=0
\end{align*}$$

方法二: P 的軌跡 Locus 是 AB 的垂直平分線 Perpendicular Bisector。

hkdse2013-p2-q24

  Mid-point of AB 
  AB 的中點
##=\Big (\Large \frac{2+4}{2}\normalsize , \Large \frac{5-1}{2}\normalsize \Big)\\
=(3,2)
##

$$\begin{align*}
m_{AB} &= \frac{5+1}{2-4}\\
&= -3
\end{align*}$$

Equation of P 
P的方程$$\begin{align*}
y-2 &= \frac{-1}{-3}(x-3)\\
-3y+6 &= -x + 3\\
x -3y + 3 &=0
\end{align*}$$

25. D (36%)
留意 ##x^2## 及 ##y^2## 的係數 coefficients 並非 1,因此先要把整條等式除 2。

$$\begin{align*}
2x^2 +2y^2 -4x +8y -5 &= 0\\
x^2 + y^2 -2x +4y -\frac{5}{2} &=0
\end{align*}$$

圓心 centre = (1,-2) 

I) 半徑 radius

$$=\sqrt {(1)^2 + (2)^2 + \frac{5}{2}}\\
=\sqrt {\frac{15}{2}}\\
=2.74
$$

∴ 選項 I 錯誤。

II) Mid-point of PQ

$$= \Big ( \frac{-1+4}{2} , \frac{2+0}{2} \Big )\\
= \Big ( \frac{3}{2} , 1 \Big )$$

Distance between the mid-point and the centre
中點和圓心之距離

$$=\sqrt{\Big (\frac{3}{2}-1\Big )^2 + (1+2)^2}\\
=\sqrt{\frac{37}{4}}\\
=\ 3.04\\[3pt] \gt\text{ radius 半徑}
$$

∴ 選項 II 正確。

III) 方法一: 參考下圖,先計算三角形各條邊長,然後用 cosine formula 餘弦公式找出 PGQ。此方法步驟較多,但直接易明。

dse2013-p2-q25

$$\begin{align*}
PG &= \sqrt{(-1-1)^2 +(2+2)^2}\\
&=\sqrt{20}\\[8pt] GQ &= \sqrt{(1-4)^2 +(-2-0)^2}\\
&=\sqrt{13}\\[8pt] PQ &= \sqrt{(-1-4)^2 +(2-0)^2}\\
&=\sqrt{29}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\cos \angle PGQ &= \frac{(\sqrt{20})^2 +(\sqrt{13})^2 -(\sqrt{29})^2}{2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{13}}\\[3pt] \angle PGQ &= 82.9\deg
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

方法二: 運用 Slope 斜率和 Inclination 傾角之關係。

tan θ = Slope 斜率  (0° ≤ θ < 180°)

dse2013-p2-q25b

$$\begin{align*}
\tan \alpha &= m_{\small PG}\\[3pt] \tan \alpha &= \frac{2 +2}{-1 -1}\\[3pt] \tan \alpha &= -2\\[2pt] \alpha &= 116.565\deg\\[10pt] \tan \beta &= m_{\small GQ}\\[3pt] \tan \beta &= \frac{-2 -0}{1 -4}\\[3pt] \tan \beta &= -\frac{2}{3}\\[2pt] \beta &= 33.69\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle PGQ &= \alpha -\beta\\
&= 116.565\deg -33.69\deg\\
&= 82.9\deg
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

26. A (42%)
Both numbers must be odd.
兩個數都須要是奇數

$$\begin{align*}
P(\text{both odd}) &=\frac{4}{7} \times \frac{3}{6}\\[3pt] &=\frac{2}{7}
\end{align*}$$

27. B (68%)
數據中已存在兩個「5」,但眾數 mode 卻是 14,因此 xyz 之中最少含有兩個「14」。

假設 xy 的值是 14。 由於平均值=8

$$\begin{align*}
\frac{14 +6 +4 +5 +7 +5 +14 +14 +z}{9} &= 8\\[3pt] z &=3
\end{align*}$$

把所有數據由小至大排列:

3,4,5,5,6,7,14,14,14 

Median 中位數 = 6

28. A (80%)
這題應該不用解釋吧!但為何只得八成考生答對?

29. D (57%)
$$\begin{align*}
\text{Min. 最 小 值} &= 40\\
Q_1 &= 44\\
\text{Median 中 位 數} &= 52\\
Q_3 &= 65\\
\text{Max. 最 大 值} &= 95
\end{align*}$$

觀察這些數字的差距, 例如 Q1 和最小值相差 4,而最大值和 Q3 相差 30,從而可判斷選項 D 是正確答案。

dse2013-p2-q29

30. B (54%)
A) The profit from the sales of pencils of both shops are 10% of their own total profits. Since the values of their total profits are not known, the actual values of the profits from the sales of pencils cannot be determined.

兩間文具店從銷售鉛筆所得的利潤都各自佔它們的總利潤的 10%,但文具店的總利潤卻沒有提供,因此無法判斷從銷售鉛筆的利潤的實際數字。

B)
Angle of Sector of pens and notebooks
原子筆和筆記簿所佔的圓心角
= 360° −162° −36° −68° 
= 94° 

Angle of Sector of rulers and pencil
間尺和鉛筆所佔的圓心角
= 68° +36° 
= 104° 

前者的數字較小,所以選項 B 正確。

C)

$$\begin{align*}
k\% &= 100\% -16\% -46\% -10\% -12\%\\
k\% &= 16\%\\
k &=16
\end{align*}$$

D)

$$\begin{align*}
\theta &= 360\deg -60\deg -162\deg -36\deg -68\deg\\
&= 34\deg
\end{align*}$$
31. B (52%)
$$\begin{eqnarray}
a^2 +4a +4 &= &\ &(a +2)^2 &\ \\
a^2 -4 &= &(a -2) &(a +2) &\ \\
a^3 +8 &= &\ &(a +2) &(a^2 -2a +4)
\end{eqnarray}$$

$$\text{LCM} = (a-2) (a+2)^2 (a^2 -2a +4)$$

32. B (40%)
(0,3) 代入方程。

$$\begin{align*}
y &= a \cdot b^0\\
3 &= a \cdot b^0\\
a &= 3
\end{align*}$$

由於曲線趨近 x 軸,因此 0<b<1

$$\begin{align*}
y &= a \cdot b^x\\
\log_7 y &= \log_7(a \cdot b^x)\\
\log_7 y &= \log_7 a + \log_7 b^x\\
\log_7 y &= \log_7 a + (\log_7 b) \cdot x\\
\log_7 y &= (\log_7 b) \cdot x + \log_7 a\\
\end{align*}$$

Slope of the straight line 直線的斜率
= log7 b 

由於 0<b<1,所以 Slope 斜率是負數

y-intercept y截距
= log7 a 
= log7 3 
=0.564 

即是 y-intercept y截距是正數

綜合 Slope 斜率和 y-intercept y截距的正負,選項 B 為正確答案。

33. A (64%)
緊記最右方第一個數字的位值 place value 是 160 而非 161

dse2013-p2-q33

$$\begin{align*}
&\text{A00000E00011}_{16}\\
=&10\times16^{11} +14\times16^5 +1\times16^1 +1\times16^0\\
=&10\times16^{11} +14\times16^5 +16 +1\\
=&10\times16^{11} +14\times16^5 +17\\
\end{align*}$$

34. D (29%)
$$\begin{cases}
x -\log y = 2\\[2pt] x^2 -\log y^2 -10 = 2
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x = \log y +2&\cdots (1)\\[2pt] x^2 -2\cdot \log y = 12&\cdots (2)
\end{cases}$$

Sub. (1) into (2)
把 (1) 代入 (2)

$$(\log y +2)^2 -2\cdot \log y =12$$

設 Let u=log y.

$$\begin{align*}
(u+2)^2 -2u &=12\\
u^2 +4u +4 -2u &=12\\
u^2 +2u -8 &=0\\
u=-4\ \ \text{or}\ \ u &=2
\end{align*}$$

$$\begin{array} {rlcrl}
u &= -4 &\ \text{or}\ &u&=2\\
\log y &= -4 &\ \text{or}\ &\log y&=2\\
y &= 10^{-4} &\ \text{or}\ &y&=10^2\\
y &= \large \frac{1}{10000} &\ \text{or}\ &y&=100\\
\end{array}$$

35. D (46%)
題目所給資料的意思是 αβ3x=x2−5 這方程的根 root。

$$\begin{align*}
3x &= x^2 -5\\
0 &= x^2 -3x -5\\
x^2 -3x -5 &=0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\alpha \beta &=\frac{-5}{1}\\[2pt] &= -5
\end{align*}$$

36. A (60%)

##\begin{align*}
i &= \sqrt{-1}\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

$$\begin{align*}
&i +2i^2 +3i^3 +4i^4\\
=&i +2(-1) +3(-i) + 4(1)\\
=&i -2 -3i + 4\\
=& 2 -2i
\end{align*}$$

real part 實部 = +2 

37. C (46%)
dse2013-p2-q37
解聯立方程後,各交點坐標如下:

W=(2,5)
X=(2,0)
Y=(5,0)
Z=(6,4)
 

然後把各點代入 3y−4x+15 中,

$$\begin{eqnarray}
W:& 3(5)-4(2)+15 &=& \color{red}{22}\\
X:& 3(0)-4(2)+15 &=& 7\\
Y:& 3(0)-4(5)+15 &=& {-5}\\
Z:& 3(4)-4(6)+15 &=& 3
\end{eqnarray}$$

W 點的值最大,因此答案是 C。

38. C (47%)

I)

$$\begin{align*}
2n -19 &=25\\
2n &= 44\\
n &= 22
\end{align*}$$

因為 22 是正整數,所以選項 I 正確。

II)

$$\begin{align*}
2n-19 &\lt 0\\
2n &\lt 19\\
n &\lt 9.5
\end{align*}$$

∴ 只有9項是負數。選項 II 錯誤。

III)

$$\begin{align*}
a &=T(1)\\
&=2(1)-19\\
&=-17\\[8pt] d &= T(2) -T(1)\\
&= \big ( 2(2)-19\big ) – (-17)\\
&= +2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
S(n) &= \big [2a +(n-1)d \big ]\cdot \frac{n}{2}\\
&= \big [2(-17) +(n-1)2\big ]\cdot \frac{n}{2}\\
&= \big [-34 +2n -2]\cdot \frac{n}{2}\\
&= \big [2n -36]\cdot \frac{n}{2}\\[2pt] &= (n -18)n\\
&= n^2 -18n
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

39. A (29%)
I) 把 (2,0) 代入方程

$$\begin{align*}
2 &= h +k\cdot \tan(2\cdot0)\\
h &=2
\end{align*}$$

∴ 選項 I 正確。

II) tan 的圖像是向上升,但題目的圖像卻是向下降。因此可推斷 k 是負數。所以選項 II 正確。

III)
方法一: 比較等式左右兩方的正負。

右方 RHS=##\large \frac{1}{k}##,由於 k 是負數,因此右方是負數。

至於左方,tan 90°是無定義,其對應的圖像曲線在這點會趨向 +∞-∞。但題目中的曲線並無趨向無限大,因此可推斷 2α<90°,即是 α<45°。而等式左方是 tan α,亦即是正數。

由於左右兩方的正負不相同,因此選項 III 錯誤。

方法二:
dse2013-p2-q39

參考上圖,在曲線上作一點 P,其坐標是 ## \big (\large \frac{\alpha}{2}\normalsize ,b\big )##。把該點代入方程。

$$\begin{align*}
y &= h +k\cdot \tan(2x)\\
b &= 2 +k\cdot \tan(2\cdot\frac{\alpha}{2})\\
b -2 &= k\cdot \tan(\alpha)\\
\tan \alpha &= \frac{b-2}{k}
\end{align*}$$

從圖像得知 b<2,因此 (b−2) 必定是負數,亦即是無可能等於 +1。因此選項 III 錯誤。

40. B (21%)
正四面體 Regular Tetrahedron 性質:

  • 每條邊長度相同
  • 每個面都是等邊三角形 equilateral triangle

dse2013-p2-q40a

解題步驟如下:
1) 設邊長為 x 
2) 求 OB 長度 (Express in xx 表示)
3) 運用畢氏定理(ΔDBO)求 x 
4) 求底面積,然後再求體積

dse2013-p2-q40b

In ΔABC,

$$\begin{align*}
\cos 120\deg &= \frac{OB^2 +OC^2 -BC^2}{2 \cdot OB \cdot OC}\\[3pt] \frac{-1}{2} &= \frac{OB^2 +OB^2 -x^2}{2OB^2}\ (\because OB=OC)\\[3pt] -OB^2 &= 2OB^2 -x^2\\[2pt] x^2 &= 3OB^2\\
OB^2 &= \frac{x^2}{3}\\[2pt] OB &=\frac{x}{\sqrt3}
\end{align*}$$

In ΔDBO,

$$\begin{align*}
OB^2 + OD^2 &= DB^2\\
\Big ( \frac{x}{\sqrt{3}} \Big ) ^2 + 2^2 &= x^2\\
4 &= x^2 – \frac{x^2}{3}\\
4 &= \frac{2}{3}x^2\\
x^2 &= 6\\
x &= \sqrt6
\end{align*}$$

Base Area 底面積 (ΔABC面積)

$$= \frac{1}{2} x\cdot x \cdot \sin 60\deg\\
= \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \frac{\sqrt3}{2}\\
= \frac{1}{2}(6) \frac{\sqrt3}{2}\\
= \frac{3\sqrt3}{2}$$

Volume 體積

$$=\frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot (2)\\
=\sqrt{3}$$

相關文章: 正四面體的高和邊長的關係

41. D (39%)
基於 OC=OB(半徑) 及圓形性質,可找到下圖所示的角的數值。

dse2013-p2-q41a

由於 DE是切線 Tangent。所以 BAE=∠ACB (∠ in alt. segment 交錯弓形的圓周角),即是 BAE=x+28°

dse2013-p2-q41b

因為 AB 是角平分線 Angle Bisector,
$$\begin{align*}
\angle BAE &= \angle CAB\\
x+28\deg &= 62\deg\\
x &= 34\deg\\
\end{align*}$$

42. B (37%)
請參考以下片段的講解。


43. A (30%)
dse2013-p2-q43Circumcentre is located at the intersection of perpendicular bisector.
外心位於重直平分線的交點。

圖中 y=6 這直線是線段 OA 的重直平分線 perpendicular bisector。因此三角形的外心 circumcentre 必定在該線上。所以其 y坐標 = 6

相關文章: 求外心 (Circumcentre)坐標的方法

44. C (64%)
$$\begin{align*}
&P_3^3 \times P_5^5\\
=&720
\end{align*}$$

45. C (37%)

I) 在每個數據加上相同的常數。
  Standard Deviation 標準差維持不變 

II) 在每個數據乘上相同的常數 k
  Standard Deviation 標準差為原來的 k
  Variance 方差為原來的 k2

New Variance 方差新值
= 原值 × (3)2 
= 13 × 9 
= 117 

相關文章: 標準差 Standard Deviation 公式的意義

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分類: 計數機應用及歷屆試題

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  1. 2016 DSE Fighter 說道:

    Very nice especially Q42!
    Thanks a lot

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