HKDSE 2015 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
&(x+1)(x^2+x+1)\\
=&\ x^3+x^2+x+x^2+x+1\\
=&\ x^3+2x^2+2x+1
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\frac{(3y^6)^4}{3y^2}\\[4pt] =&\ \frac{81y^{24}}{3y^2}\\[4pt] =&\ 27y^{22}
\end{align*}$$

$$q=\frac{4-p}{3}$$

$$\begin{align*}
\therefore 5p + 9 \times \frac{4-p}{3} &= 2\\
5p + 12 -3p &=2\\
2p &= -10\\
p &= -5
\end{align*}$$

D 是正確。

準確至六位小數的正確近似值
The approximation when correct to 6 decimal places
= 0.002346

相關文章：為什麼小數最左手面的零並非有效數字？

$$\text{RHS} = x^2 -mx +4x -4m+6\\
\text{LHS} = x^2 + mx + n$$

$$m=-m+4\\
m =2$$

$$\begin{align*}
n &= -4m +6\\
&= -4(2)+6\\
&= -2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
18+7x &\gt 4 & \text{or}&\ & 5-2x &\lt 3\\
7x &\gt -14 & \text{or}&\ & -2x &\lt -2\\
x &\gt -2 & \text{or}&\ & x &\gt 1\\
\end{align*}\\
\therefore x\gt -2$$

把 β 代入方程

$$\begin{align*}
4\beta^2 -5\beta -1 &= 0\\[3pt] 4\beta^2 -5\beta &= 1\\[3pt] \end{align*}$$
然後計算題目要求的數式的值
$$\begin{align*}
&-8\beta^2 +10\beta + 7\\[3pt] =&-2(4\beta^2 -5\beta) + 7\\[3pt] =&-2(1) +7\\[3pt] =&\ 5
\end{align*}$$

曲線開口向上 (open upward)，所以 a 是正數 (a>0)。

From ##y=a(x+b)^2##, the coordinates of vertex is (−b,0) 
從 ##y=a(x+b)^2## 得知，頂點座標為 (−b,0) 

From the graph, the x-coordinate of vertex is negative.
從圖像得知，頂點 x 座標為負數

$$\begin{align*}
\therefore -b &\lt 0\\
b &\gt 0
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

Let x be the original price.
設 x 為原本售價。

$$\begin{align*}
\text{new price} &= x \times (1+70\%) \times (1-60\%)\\
&= 0.68x
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{percentage change} &= \frac{0.68x-x}{x} \times 100\%\\[4pt] &= -32\%
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Amount} &= 50000 \Big (1+\frac{6\%}{4} \Big )^{3 \times 4}\\
&= 59780.9\\
&\approx 59781
\end{align*}$$

$$\begin{eqnarray}
a &\ &\ &: c &= 5 &\ &\ &: 3 \\
\ &\ &b &:c &= &\ &3 &:2 \\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}
a &\ &\ &: c &= 10 &\ &\ &: 6 \\
\ &\ &b &:c &= &\ &9 &:6 \\
\hline{}
a &: &b &: c &= 10 &: &9 &: 6 \\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{align*}
(a+c) : (b+c) &= (10+6) : (9+6)\\
&= 16 : 15
\end{align*}$$

$$\text{Let }z = kx^3y^2$$

$$\begin{align*}
14 &= k \cdot 2^3 \cdot 1^2\\[4pt] k &= \frac{7}{4}
\end{align*}$$

When x=3 and y=−2,

$$\begin{align*}
z &= \frac{7}{4} \cdot 3^3 \cdot (-2)^2\\[4pt] &= 189
\end{align*}$$

$$1^\text{st} \text{ term} = \ 5\\
2^\text{nd} \text{ term} = \ 5+4 = 9\\
3^\text{rd} \text{ term} = \ 9+4 = 13\\
4^\text{th} \text{ term} = 13+4 = 17\\
5^\text{th} \text{ term} = 17+4 = 21\\
6^\text{th} \text{ term} = 21+4 = 25$$

Upper Limit of the weight of white sugar = 5.5kg = 5500g
Lower Limit of each packet = 9.5g
白糖重量上限 = 5.5kg = 5500g
每小包重量下限 = 9.5g

$$\begin{align*}
n &\lt \frac{5500}{9.5}\\[4pt] n&\lt 578.9
\end{align*}$$

相關文章：重溫量度誤差 Measurement Error

$$\begin{align*}
CN^2 + DN^2 &= CD^2\\
CN^2 + 6^3 &= 10^2\\
CN &= 8
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AN^2 + EN^2 &= AE^2\\
AN^2 + 5^2 &= 13^2\\
AN &= 12
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AB^2 + BC^2 &= AC^2\\
AB^2 + 16^2 &= (8+12)^2\\
AB &= 12
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Area }&=\frac{16 \times 12}{2}\\
&=96
\end{align*}$$

參考下圖，

方法一:

$$\begin{align*}
\text{Volume } &= \frac{1}{3} \pi (9)^2 (12)\ – \frac{1}{3} \pi (3)^2 (12-8)\\[4pt] &=312 \pi\ cm^3
\end{align*}$$

方法二:
$$\begin{align*}
\text{Volume } &= \frac{1}{3} \pi (9)^2 (12) \bigg[1- \Big ( \frac{12-8}{12} \Big )^3 \bigg]\\[4pt] &=312 \pi\ cm^3
\end{align*}$$

可參考以下片段之講解。

參考下圖，留意ΔEDF~ΔECB。

$$\begin{align*}
DF:BC &= DE:EC\\
&= 2:3\\
DF:AD &= 2:3\ (\because BC = AD)
\end{align*}$$

  ΔEAD的面積
##=8 \times \frac{3}{2}\\
=12##

留意ΔEAD~ΔEGC。

  ΔCEG的面積
##=12 \times (\frac{EC}{DE})^2\\
=12 \times (\frac{3}{2})^2\\
=27\text{ cm}^2##

AC是兩個三角形的公共邊 common side。因此應以 AC 表示 AD 及 AB。

$$\begin{align*}
\cos \alpha &= \frac{AD}{AC}\\[4pt] AD &= AC\cdot \cos \alpha
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\tan \beta &= \frac{AC}{AB}\\[4pt] AB &= \frac{AC}{\tan \beta}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{AD}{AB} &= \frac{AC\cdot \cos \alpha}{\frac{AC}{\tan \beta}}\\[4pt] &= \cos \alpha\cdot \tan \beta
\end{align*}$$

方法一:

$$\begin{align*}
&\frac{\cos 180\deg}{1+\sin(90\deg+\theta)} + \frac{\cos 360\deg}{1+\sin(270\deg+\theta)}\\[4pt] =&\frac{-1}{1+\cos \theta} + \frac{1}{1 -\cos \theta}\\[4pt] =&\frac{-(1 -\cos \theta)+(1+\cos \theta)}{(1+\cos \theta)(1 -\cos \theta)}\\[4pt] =&\frac{2\cos \theta}{1 -\cos^2\theta}\\[4pt] =&\frac{2\cos \theta}{\sin^2\theta}\\
\end{align*}$$

方法二: 隨意選擇一個數值代入 θ。例如 θ = 10° $$\begin{align*}
&\frac{\cos 180\deg}{1+\sin(90\deg+\theta)} + \frac{\cos 360\deg}{1+\sin(270\deg+\theta)}\\[4pt] =&\frac{\cos 180\deg}{1+\sin(90\deg+10\deg)} + \frac{\cos 360\deg}{1+\sin(270\deg+10\deg)}\\[4pt] =&65.319
\end{align*}$$

再把同一數值代入各選項中:

$$\begin{eqnarray}
A.& 0\\[3pt] B.& \frac{2}{\cos 10\deg}&= 2.031\\[3pt] C.&\ \frac{2\cos 10\deg}{\sin^2 10\deg} &= \color{red}{65.319}\\[3pt] D.&\ \frac{2\sin 10\deg}{\cos^2 10\deg} &= 0.3581
\end{eqnarray}$$

選項 C 的數值 (65.319) 和問題中的代數式的值相同，所以選項 C 是正確答案。

相關文章：文憑試實戰篇#1 選擇題: 化簡涉及 sin/cos 的代數式

Step 1)參考下圖，ABCD是圓內接四邊形 (Cyclic Quadrilateral)

$$\begin{align*}
\therefore \angle BCD &= 180\deg -58\deg\\
&= 122\deg
\end{align*}$$

Step 2)連接 BD，得到∠ABD=90°。

$$\begin{align*}
\because BC &= CD\\
\therefore \angle CBD &= (180\deg – 122\deg) \div 2\\
&= 29\deg
\end{align*}$$

Step 3)留意四邊形 ABCE 

$$\begin{align*}
\angle AEC &= 180\deg -(90\deg+29\deg)\\
&= 61\deg
\end{align*}$$

題目所描述的圖像如下，E點為圓心：

$$\begin{align*}
\text{Area } &=\frac{12 \times 12}{2}\\[4pt] &= 72\text{ cm}^2
\end{align*}$$

Let n be the number of side of the polygon.
設 n 為多邊形的邊數

$$\begin{align*}
\frac{(n-2) \times 180}{n} &= 5 \times \frac{360}{n}\\[4pt] n-2 &= 10\\
n &= 12
\end{align*}$$

I) $$\begin{align*}
\text{Interior Angle 內角 } &= \frac{(12-2) \times 180\deg}{12}\\
&= 150\deg
\end{align*}$$

所以選項 I 正確。

II) 對角線 Diagonal 數目 = ##C^{12}_2 – 12 = 54##，所以選項 II 錯誤。

III) Number of fold 折數 = 邊數 = 12，所以選項 III 錯誤。

相關文章：文憑試實戰篇 #7 多邊形性質

沿 y軸反射後 (reflection)，其坐標為 ##(-\sqrt{3},-1)##。然後按計數機轉換成極坐標 (Polar Coordinates)。結果是 ##(2,210\deg)##

相關文章: 文憑試實戰篇#2 Polar Coordinates 極坐標

相關文章：常見軌跡 Common Loci

先求 L₂ 的 x截距及斜率 (x-intercept and slope).

$$\begin{align*}
bx + c(0) &= 1\\
x &=\frac{1}{b}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
bx + cy &= 1\\
cy &= -bx + 1\\
y &= \frac{-b}{c}x + \frac{1}{c}\\[6pt] \therefore m &= \frac{-b}{c}
\end{align*}$$

而 L₁ 可改寫成 ##x=\Large \frac{1}{a}##。

然後判斷各變數的正負。

從 L₁ 的位置可得知，a為負數 (a<0)
從 L₂ 的x截距 (x-intercept)可得知，b為負數 (b<0)
而 L₂ 的斜率是正數，所以 c為正數 (c>0)

因此選項 I 及 III 正確。

比較兩直線的 x截距 (x-intercept)，

因此選項 II 錯誤。

相關文章：文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

方法一:

已知圓方程 ##x^2+y^2+Dx+Ey+F=0##，
圓心坐標 = ##\large ( \frac{-D}{2}\normalsize ,\large \frac{-E}{2})##

從題目所提供圓心坐標的值，已可判斷選項 A 及 B 錯誤。

把 (0,3)代入選項 C 的方程。

$$\begin{align*}
\text{LHS} &= (0)^2 + (3)^2 +8(0) -6(3) + 9\\
&= 0
\end{align*}$$

因此選項 C 為正確答案。

方法二:
$$\begin{align*}
\text{radius 半徑} &= \sqrt{(-4-0)^2+(3-3)^2}\\
&= 4
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
(x+4)^2 + (y-3)^2 &= 4^2\\
x^2+8x+16+y^2-6y+9 &= 16\\
x^2+y^2+8x-6y+9 &= 0\\
\end{align*}$$

要擲到兩骰子之和等於7共有6種可能：
(1,6) (6,1)
(2,5) (5,2)
(3,4) (4,3)

$$\begin{align*}
\therefore P(\text{sum}=7) &= \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 6\\[4pt] &= \frac{1}{6}
\end{align*}$$

  期望值 Expected Value
##=36 \times \Large \frac{1}{6} \normalsize + 6 \times \Large \frac{5}{6}\\[4pt] =11##

相關文章：期望值 Expected Value 的含義

學生總數 = 12+16+8+4+4=44 

$$\begin{align*}
P &=\frac{8}{44}\\[4pt] &=\frac{2}{11}
\end{align*}$$

Q₃=45 
Q₁=25 

$$\begin{align*}
\text{IQR}&=45 – 25\\
&=20
\end{align*}$$

共有 15 個數據
數據的和 = 70+m 

由於 3≤m≤5，因此可把 m放在數據 3 和 5 之間。經重新排列後，m就是中位數 median。

然後探討 p, q, r的可能範圍。

$$\begin{align*}
\frac{70+3}{15} \le\ &p \le \frac{70+5}{15}\\[4pt] 4.87 \le\ &p \le 5
\end{align*}$$

$$\because q = m\\
\therefore 3 \le q \le 5$$

$$r=3$$

I) p 的最小值是 4.87，而 q的最大值是 5，所以選項 I 並非必定正確。

II) r=3，小於 p 的最小值，因此選項 II 正確。

III) 由於 q 有可能等於 3，即是 q 和 r 有可能相等，即是選項 III 並非必定正確。

$$\begin{align*}
&\ \frac{1}{x^2-2x+1}-\frac{1}{x^2+x-2}\\[4pt] =&\ \frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x+2)(x-1)}\\[4pt] =&\ \frac{(x+2)-\color{red}(x-1\color{red})}{(x-1)^2(x+2)}\\[4pt] =&\ \frac{3}{(x-1)^2(x+2)}
\end{align*}$$

相關文章：代數分式的陷阱

可參考以下片段之講解

方法一:
$$\begin{align*}
m &= \frac{2-0}{0-3}\\[4pt] &=\frac{-2}{3}
\end{align*}$$

參考 ##y = mx +c##

$$\begin{align*}
\log_3 y &= \frac{-2}{3} \log_3 x + 2\\[2pt] 3\log_3 y &= -2 \log_3 x + 6\\[2pt] 3\log_3 y + 2 \log_3 x &= 6\\[2pt] \log_3 y^3x^2 &= 6\\[2pt] x^2y^3 &= 3^6\\[2pt] x^2y^3 &= 729
\end{align*}$$

方法二:
圖像共給了兩點坐標 (3,0) 及 (0,2)。

$$\begin{cases}
\log_3x = 3\\
\log_3y =0
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x = 3^3 = 27\\
y = 3^0 = 1
\end{cases}$$

即是當 x=27時，y=1，把這組數代入各選項，只有選項 A 成立。

相關文章：解對數方程 Solving Logarithm Equations

$$\begin{align*}
11 &= 1011_2\\
2^6 &= 1000000_2\\
2^{10} &= 10000000000_2\\
2^{11} &= 100000000000_2
\end{align*}$$

$$\begin{array}{lr}
& 100000000000&\\
& 10000000000&\\
& 1000000&\\
+& 1011&\\
\hline{}
& 110001001011&
\end{array}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

##\alpha^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta)^2 -2\alpha\beta##

$$\begin{align*}
&\ \alpha^2 + \beta ^2 \\
=&\ (\alpha + \beta)^2 -2\alpha\beta\\
=&\ \Big(\frac{-k}{1}\Big)^2 -2\Big(\frac{-2}{1}\Big)\\[4pt] =&\ k^2+4
\end{align*}$$

##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

之後不斷重複循環，即是 ##i^6=-1,\ i^7=-i## 

$$\begin{align*}
z &= (a+5)i^6 + (a-3)i^7\\
z &= (a+5)(-1) + (a-3) (-i)\\
z &= -(a+5)\ -(a-3)i
\end{align*}$$

由於 z是實數 (real number)，

$$\begin{align*}
\therefore -(a-3) &= 0\\
a &= 3
\end{align*}$$

題目所示的圖像，背後是三條二元一次不等式 linear inequality in two unknowns。第一步是要從圖像還原這三條不等式出來。方法如下:

下圖藍色線是 y = x + 5 的圖像。

 

和題目的圖像比較，需要的區域是塗上顏色的部分。在該部分內任意取一點，如 (0,0)，再代入方程中，右方 x+5 的值比左方 y 大，因此其對應的不等式是

 
用相同方法，便可還原這三條不等式。
$$\begin{cases}
x \leq 4\\
y \leq x+5\\
x + 2y \ge 10
\end{cases}$$

由於 (a,b) 同時符合這三條不等式，所以可把它代入這些不等式中。
$$\begin{cases}
a \leq 4\\
b \leq a+5\\
a + 2b \ge 10
\end{cases}$$

再移項後，

$$\begin{cases}
a \leq 4\\
a \ge b\ -5\\
a \ge 10\ -2b
\end{cases}$$

∴ D 是正確答案。

首先找 a 和 r 的值。

$$\begin{eqnarray}
x_{6} &= a \cdot r^5 &= 216\\
x_{8} &= a \cdot r^7 &= 96\\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{align*}
\frac{ar^7}{ar^5} &= \frac{96}{216}\\[4pt] r^2 &= \frac{4}{9}\\[4pt] r &= \pm \frac{2}{3}\\[4pt] \end{align*}$$

When ##r=\Large \frac{+2}{3}##, ##a=\Large \frac{+6561}{4}##

When ##r=\Large \frac{-2}{3}##, ##a=\Large \frac{-6561}{4}##

I)

When ##r=\Large \frac{\color{red}{-2}}{3}##, ##x_3 = ar^2 = \Large \frac{\color{red}{-6561}}{4} \normalsize \times \Big(\Large \frac{\color{red}{-2}}{3}\normalsize\Big)^2 = \color{red}{-729}##

所以選項 I 並非必定正確。

II)
$$\begin{align*}
\frac{x^5}{x^7} &= \frac{ar^4}{ar^6}\\[3pt] &= \frac{1}{r^2}\\[3pt] &= \frac{1}{(\pm\frac{2}{3})^2}\\[3pt] &=\frac{9}{4}\\[3pt] &>1
\end{align*}$$

所以選項 II 正確。

III) ##x_2 + x_4 + x_6 + … + x_{2n}## 是另一等比級數 (Geometric Series)。

首項 First Term ##= x_2 = ar = \large \frac{6561}{4} \normalsize \times \large \frac{2}{3} \normalsize \text{ or } \large \frac{-6561}{4}\normalsize\times\large\frac{-2}{3} = \large \frac{2187}{2}##
公比 Common ratio ##=r^2 = \large \frac{4}{9}##
項數 Number of Term = ##n##

假設 n=∞

$$\begin{align*}
&x_2 + x_4 + x_6 + … + x_{2n}\\[4pt] =&\frac{\frac{2187}{2}}{1-\frac{4}{9}}\\
=&1968.3\\
\lt&2015
\end{align*}$$

所以選項 III 正確。

$$\begin{align*}
\cos^2x -\sin x &= 1\\
1 -\sin^2x -\sin x &= 1\\
\sin^2x + \sin x &= 0\\
\sin x(\sin x+1) &= 0\\
\sin x=0\ \ \text{or}\ \ \sin x &= -1\\
\end{align*}\\
x=0\deg, 180\deg, 270\deg$$

方法一: 利用函數變換 Transformation of function 求答案。在此不加解釋了。

方法二:
由於 (75°,0) 在曲線上，所以可把 x=75° 代入方程右方，並把各選項的數值代入 k 及 θ，並測試其值是否等於 0。

A) ##\sin(\frac{1}{2}\times 75\deg-30\deg)= 0.131##
B) ##\sin(\frac{1}{2}\times 75\deg+30\deg)= 0.924##
C) ##\sin(2\times 75\deg-30\deg)= 0.866##
D) ##\sin(2\times 75\deg+30\deg)= \color{red}{0}##

∴ 選項 D 是正確答案。

相關文章：文憑試實戰篇 #14 sin/cos 圖像變換

參考圖像，O點為圓的圓心。基於切線性質 (Tangent Properties)，可得到以下結果。

AC = AB = 6cm
∠ABE = ∠OCE = 90° 

Step 1) 求 BE

$$\begin{align*}
BE^2 + AB^2 &= AE^2\\
BE^2 + 6^2 &= 10^2\\
BE &= 8
\end{align*}$$

Step 2) 留意 △ABE ∼ △OCE

設圓半徑為 r。

$$\begin{align*}
\frac{OC}{EC} &= \frac{AB}{BE}\\[4pt] \frac{r}{10-6} &= \frac{6}{8}\\[4pt] r &= 3
\end{align*}$$

$$BD = 2r = 6$$

相關文章：圓形幾何(三): 切線性質 Tangent Properties

$$\begin{align*}
x+y+4 &= 0\\
y &= -x -4\ …(1)
\end{align*}$$

把 (1) 代入圓方程。

$$\begin{align*}
x^2 + (-x -4)^2 +2x -6(-x-4) +k &= 0\\
x^2 + x^2 +8x +16 +2x +6x +24 +k &=0\\
2x^2 + 16x + 40+k &= 0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\Delta &= 0\\
16^2 -4(2)(40+k) &= 0\\
256 -320 -8k &=0\\
k &= -8
\end{align*}$$

參考圖像，設 K點為垂心(Orthocentre)。

從圖像得知，K點的 y座標與 Q點相同。

設 K 點座標為 (h,48)。

∵KP⊥OQ

$$\begin{align*}
m_{\scriptsize{KP}} \cdot m_{\scriptsize{OQ}} &= -1\\[4pt] \frac{48-60}{h-0} \cdot \frac{48-0}{96-0} &= -1\\[4pt] \frac{-12}{h} \cdot \frac{1}{2} &= -1\\[4pt] h &= 6
\end{align*}$$

相關文章：求垂心 (Orthocentre)坐標的方法

所有可能排列數目 ##= 8! = 40320##

女生站在一起的排列數目 ##= 7!\times2!=10080##

女生並非站在一起的排列數目 ##= 40320\ – 10080 = 30240## 

$$\begin{align*}
P &= \frac{1}{2} \times \frac{4}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\\[4pt] &= \frac{17}{24}
\end{align*}$$

題目的文字又長又複雜，但細心閱讀和分析後，其意思是：「共有50個數據，當中第50個數據，即是 a₅₀ 的值和該50個數據的平均值 mean 相同。現在把這數據移除，問平均數 mean、中位數 median 及 方差 variance 會怎樣改變？」

I) 由於被移除的數據和原本的平均數 mean 相同，所以移除後的平均數保持不變。即是選項 I 正確。

II) 由於無法判斷被移除的數據和原本的中位數的大小，所以無法判斷中位數會怎樣改變，所以選項 II 並非必定正確。

III)

當加入一個數據，而該數據的值等於原本的平均值 mean ，標準差 standard deviation 必定減少。同樣當移除一個數據，而該數據的值等於原本的平均值 mean ，標準差 standard deviation 必定增加。

新的標準差 standard deviation 必定增加，而方差只是標準差的平方 (variance equals to square of standard deviation)，因此方差 variance 亦必定增加。即是選項 III 正確。

相關文章：增減數據對標準差 standard deviation 的影響