HKDSE 2015 數學科 Paper II Q37 題解

• 17/02/2016

Thomas 講解 HKDSE 2015 數學科卷二第37題。 此題涉及等比數列 Geometric Sequence 的計算。

題解

首先找 ar 的值。

$$\begin{eqnarray}
x_{6} &= a \cdot r^5 &= 216\\
x_{8} &= a \cdot r^7 &= 96\\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{align*}
\frac{ar^7}{ar^5} &= \frac{96}{216}\\[4pt] r^2 &= \frac{4}{9}\\[4pt] r &= \pm \frac{2}{3}\\[4pt] \end{align*}$$

When ##r=\Large \frac{+2}{3}##, ##a=\Large \frac{+6561}{4}##

When ##r=\Large \frac{-2}{3}##, ##a=\Large \frac{-6561}{4}##

I)

When ##r=\Large \frac{+2}{3}##, ##x_3 = ar^2 = \Large \frac{6561}{4} \normalsize \times \Big(\Large \frac{2}{3}\normalsize\Big)^2 = 729##

When ##r=\Large \frac{\color{red}{-2}}{3}##, ##x_3 = ar^2 = \Large \frac{\color{red}{-6561}}{4} \normalsize \times \Big(\Large \frac{\color{red}{-2}}{3}\normalsize\Big)^2 = \color{red}{-729}##

所以選項 I 並非必定正確。

II)
$$\begin{align*}
\frac{x^5}{x^7} &= \frac{ar^4}{ar^6}\\[3pt] &= \frac{1}{r^2}\\[3pt] &= \frac{1}{(\pm\frac{2}{3})^2}\\[3pt] &=\frac{9}{4}\\[3pt] &>1
\end{align*}$$

所以選項 II 正確。

III) ##x_2 + x_4 + x_6 + … + x_{2n}## 是另一等比級數 (Geometric Series)。

首項 First Term ##= x_2 = ar = \large \frac{6561}{4} \normalsize \times \large \frac{2}{3} \normalsize \text{ or } \large \frac{-6561}{4}\normalsize\times\large\frac{-2}{3} = \large \frac{2187}{2}##
公比 Common ratio ##=r^2 = \large \frac{4}{9}##
項數 Number of Term = ##n##

假設 n=∞

$$\begin{align*}
&x_2 + x_4 + x_6 + … + x_{2n}\\[4pt] =&\frac{\frac{2187}{2}}{1-\frac{4}{9}}\\
=&1968.3\\
\lt&2015
\end{align*}$$

所以選項 III 正確。

標籤: , , ,

分類: 計數機應用及歷屆試題

與你的 Facebook 好友分享

發表回應

回應內容: