HKDSE 2017 Maths Paper II 題解

• 23/04/2017

HKDSE 2017 Maths Paper II Answers and Solutions
文憑試 2017數學卷二答案+題解

請按 + 開啟各題的詳解
01. A
$$\begin{align*}
&3m^2 -5mn + 2n^2 +m -n\\
=&(3m^2 -5mn + 2n^2) +(m -n)\\
=&(m -n)(3m -2n) +(m-n)\\
=&(m -n)(3m -2n +1)
\end{align*}$$

02. D
$$\begin{align*}
&\bigg(\frac{1}{9^{555}}\bigg)3^{444}\\[3pt] =&\bigg(\frac{1}{3^{555 \times 2}}\bigg)3^{444}\\[3pt] =&\bigg(\frac{1}{3^{1110}}\bigg)3^{444}\\[3pt] =&3^{444-1110}\\[3pt] =&3^{-666}\\[3pt] =&\frac{1}{3^{666}}
\end{align*}$$

相關文章:答對率只得 39% 的 MC Question 1

03. A
$$\begin{align*}
\frac{a +4b}{2a} &= 2 + \frac{b}{a}\\[3pt] \frac{a +4b}{2a} &= \frac{2a +b}{a}\\[3pt] \frac{a +4b}{2} &= 2a +b\\[3pt] a +4b &= 4a +2b\\[2pt] 2b &= 3a\\[2pt] a &= \frac{2b}{3}
\end{align*}$$

04. D
$$\frac{1}{\pi^4} = 0.010265982$$

D 是正確。以下列出各選項的正確近似值。

A. 0.0103 (correct to 3 significant figures)
B. 0.01027 (correct to 4 significant figures)
C. 0.01027 (correct to 5 decimal places)

相關文章:為什麼小數最左手面的零並非有效數字?

05. D
$$\begin{align*}
6 -x &\lt 2x -3 & \text{or}&\ & 7 -3x&\gt 1\\
-3x &\lt -9 & \text{or}&\ & -3x&\gt -6\\
x &\gt 3 & \text{or}&\ & x&\lt 2\\\end{align*}\\[8pt] \therefore x\lt 2 \text{ or } x\gt3$$

06. A
$$\begin{align*}
&f(2) -f(-2)\\[2pt] =&\big[2(2^2) -5(2)+k\big] -\big[2(-2)^2-5(-2)+k\big]\\[2pt] =&\big[-2 +k\big] -\big[18+k\big]\\[2pt] =&-2 +k -18 -k\\[2pt] =&-20
\end{align*}$$

07. B
Since p(x) is divisible by (x – 7), i.e. p(7) = 0.
p(x) 可被 (x – 7) 整除,即是 p(7) = 0

$$\begin{align*}
p(7) &= 0\\
2(7)^2 -11(7) +c &= 0\\
21 +c &= 0\\
c &= -21
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{remainder 餘數} &= p\Big(\frac{-1}{2}\Big)\\[2pt] &= 2\Big(\frac{-1}{2}\Big)^2 -11\Big(\frac{-1}{2}\Big) -21\\[2pt] &= -15
\end{align*}$$

08. A
$$\begin{align*}
\text{LHS 左方} &= 4x^2 +m(x +1) +28\\
&= 4x^2 +mx +m +28
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{RHS 右方} &= mx(x +3) +n(x -4)\\
&= mx^2 +3mx +nx -4n
\end{align*}$$

Comparing the coefficient of x2 and constant term,
比較 x2 的係數及常數項

$$\begin{cases}
m = 4\\
-4n = m +28
\end{cases}$$

$$\begin{align*}
\therefore -4n &= 4 +28\\
n &= -8
\end{align*}$$

09. C
##y=(px +5)^2 +q## 並非頂點式 (Vertex Form),所以須要進行變換。

$$\begin{align*}
y&=(px +5)^2 +q\\
&=\big[(px+5)\big]^2 +q\\
&=\Big[p\big(x+\frac{5}{p}\big)\Big]^2 +q\\
&=p^2\Big(x+\frac{5}{p}\Big)^2 +q\\
\end{align*}$$

∴ Vertex 頂點 = ##(\frac{-5}{p},q)##

From the graph, the x-coordinate and y-coordinate are positive and negative respectively. Thus, p is positive and q is negative.
而從圖像得知頂點的x坐標和y坐標分別是正數和負數,從而可判斷 p 是正數而 q 是負數。

相關文章: 二次函數的極值 Optimum Value of Quadratic Functions

10. C
$$\ \ \text{Interest 利息}\\
=2000 \times \bigg(1+\frac{5\%}{2}\bigg)^{4 \times 2} -2000\\
=436.8\\[3pt] \approx $437
$$

11. B
Let x be the actual area of the zoo.
x 為動物園實際面積。

##\Large \Big(\frac{l_1}{l_2}\Big)^{\large 2}=\frac{A_1}{A_2}##

$$\begin{align*}
\bigg(\frac{1}{20000}\bigg)^2 &= \frac{4}{x}\\
x &= 4 \times 20000^2\\
&= 1600000000\text{ cm}^2\\[2pt] &= \frac{1600000000}{100^2}\text{ m}^2\text{ (}\because 1\text{m}^2=100^2\text{cm}^2)\\
&= 160000\text{ m}^2 \\
&= 1.6 \times 10^5\text{ m}^2 \\
\end{align*}$$

12. C
Let ##y=k_1 +k_2x^2##

$$
7 = k_1 +k_2(1)^2\\
k_1 +k_2 = 7…(1)
$$

$$
13 = k_1 +k_2(2)^2\\
k_1 +4k_2 = 13…(2)
$$

Solving equations (1) and (2)
解方程 (1) 及 (2)

$$k_1 =5,\ k_2=2$$

$$\begin{align*}
y &= 5 + 2(3)^2\\
&= 23
\end{align*}$$

13. B
參考以下圖像,黑色數字為各圖案點子的數目,紅色數字為它們的差。從而得知每項之差每次增加2。
Refer to the figure below, the numbers in black are the numbers of dots of each pattern and the numbers in red are their differences. Thus, it can be determined that each difference increases by 2.

$$1^\text{st} \text{ term} = \ 1\\
2^\text{nd} \text{ term} = \ 1+4 = 5\\
3^\text{rd} \text{ term} = \ 5+6 = 11\\
4^\text{th} \text{ term} = 11+8 = 19\\
5^\text{th} \text{ term} = 19+10 = 29\\
6^\text{th} \text{ term} = 29+12 = 41\\
7^\text{th} \text{ term} = 41+14 = 55$$

14. B
Let DC=x.

$$\begin{align*}
\frac{(14 -x)\times 12}{2} -\frac{x \times 12}{2} &= 24\\
168 -12x -12x &= 48\\
120 &= 24x\\
x &=5
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
BC &= \sqrt{5^2 + 12^2}\\
&= 13
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AB &= \sqrt{(14-5)^2 + 12^2}\\
&= 15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Perimeter 周界} &= 14 +13 +15\\
&= 42\text{ cm}
\end{align*}$$

15. C
參考以下圖像

From the volume of the cone,
從圓錐體體積,

$$\begin{align*}
\frac{1}{3}\pi(2x)^2(y) &= 36\pi\\
\frac{4}{3}x^2y &= 36\\
x^2y &= 27
\end{align*}$$

$$
\ \ \text{Volume of cylinder 圓柱體體積}\\
=\pi (x)^2(3y)\\
=3\pi x^2y\\
=3\pi \times 27\\
=81\pi\text{ cm}^3
$$

16. D
參考以下圖像,長度相同的線段均以相同顏色表示,留意此圖形具有旋轉對稱性質 (Rotational Symmetry)。

在梯形 AFCB,運用《破解在梯形內求面積的問題》 所描述的方法,可找到 ΔAFGΔCBG 的面積。

基於圖形的旋轉對稱性質,ΔAFGΔCEH 面積相同,而四邊形 DFGHBEHG 面積相同。

$$\begin{align*}
x +81 &= 225\\
x &=144\text{ cm}^2
\end{align*}$$

17. D
In ΔCDB,

$$\begin{align*}
\cos \angle CBD &= \frac{BD^2 +BC^2 -CD^2}{2(BD)(BC)}\\[3pt] \cos 60\deg &= \frac{12^2 +16^2 -CD^2}{2(12)(16)}\\[3pt] \frac{1}{2} &= \frac{400 -CD^2}{384}\\[3pt] 192 &= 400 -CD^2\\[4pt] CD &= \sqrt{208}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\\
\frac{\sin \angle CBD}{CD} &= \frac{\sin \angle DCB}{BD}\\[2pt] \frac{\sin 60 \deg}{\sqrt{208}} &= \frac{\sin \angle DCB}{12}\\[3pt] \angle DCB &= 46.10211 \deg
\end{align*}$$

In ΔCDE,
$$\begin{align*}
\frac{\sin \angle CED}{CD} &= \frac{\sin \angle CDE}{CE}\\
\frac{\sin (180\deg -60\deg -46.10211\deg)}{\sqrt{208}} &= \frac{\sin 60\deg}{CE}\\
CE &= 13\text{ cm}
\end{align*}$$

18. A
下圖把相同大小的角標示出來。

$$\begin{align*}
\alpha &= 180\deg – 124\deg\\
&= 56\deg
\end{align*}$$

In ΔACD,
$$\begin{align*}
\beta &= 180\deg -2\alpha\\
&= 180\deg -2(56\deg)\\
&=68\deg
\end{align*}$$

In ΔABC,
$$\begin{align*}
\theta &= 180\deg -2\beta\\
&= 180\deg -2(68\deg)\\
&= 44\deg
\end{align*}$$

19. D

$$\begin{align*}
HK &= 9 -(5 -2)\\
&= 6
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AK &= (4 -1) +(11 -6)\\
&= 8
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AH &= \sqrt{6^2 + 8^2}\\
&= 10
\end{align*}$$

20. D
下圖顯示題目所提供的資料。

$$\because AD//BC\\
\therefore \angle BDE = x$$

$$\because \angle BDE = \angle EBD\\
\therefore BE = DE$$

$$\because AE = BE\\
\therefore \angle EAB = \angle EBA = x$$

I) 因為 ΔABE ≅ ΔDBE,所以選項 I 正確。

II)
$$\begin{align*}
\angle EAB + \angle ABC &= 180\deg\\
x + 3x &= 180\deg\\
x &= 45\deg\\[6pt] \therefore \angle ABC &= 3x\\
&= 135\deg
\end{align*}$$

∴選項 II 正確。

III) ΔABE ≅ ΔDBE (AAS)

∴選項 III 正確。

21. C
連接 AC

$$\begin{align*}
\angle ADC &= 180\deg – \angle ABC\\
&= 180\deg – 110\deg\\
&=70\deg
\end{align*}$$

AD 是直徑 Diameter
ACD = 90°

$$\begin{align*}
\angle CAD &= 180\deg -90\deg -70\deg\\
&= 20\deg
\end{align*}$$

$$\because BC = CD\\
\therefore \angle BAC = \angle CAD = 20\deg$$

$$\begin{align*}
\angle BED &= \angle BAD\\
&= 20\deg +20\deg\\
&= 40\deg
\end{align*}$$

22. D
In ΔBCE,

$$\begin{align*}
\tan 40\deg &= \frac{CE}{2}\\[2pt] CE &= 2\tan40\deg
\end{align*}$$

In ΔADE,

$$\begin{align*}
\tan \angle AED &= \frac{AD}{DE}\\
\tan \angle AED &=\frac{2}{3 -2\tan40\deg}\\[3pt] \angle AED &= 56.5\deg\\
&\approx 57\deg
\end{align*}$$

23. A
首先找出各直線的截距(intercept)及斜率(slope)。

L1:
x-intercept x-截距 = n 
y-intercept y-截距 = ##\frac{n}{m}##
slope 斜率 = ##\frac{-1}{m}##
L2:
x-intercept x-截距 = q 
y-intercept y-截距 = ##\frac{q}{p}##
slope 斜率 = ##\frac{-1}{p}##
 

I) 從直線的斜率入手,從圖像得知,它們的斜率均為正數,因此 mp 都是負數。

$$\begin{align*}
\text{slope of }L_1 &\lt \text{slope of }L_2\\[2pt] L_1 \text{的斜率} &\lt L_2 \text{的斜率}\\[2pt] \frac{-1}{m} &\lt \frac{-1}{p}\\
\frac{1}{m} &\gt \frac{1}{p}\\
\frac{p}{m} &\lt 1\ (\because p\lt 0)\\
p &\gt m\ (\because m\lt 0)\\
m &\lt p
\end{align*}$$

∴選項 I 正確

II) 直接比較它們的 x-截距 (x-intercept)

$$\begin{align*}
x\text{-intercept of }L_1 &\gt x\text{-intercept of }L_2\\
L_1 \text{的 }x\text{-截距} &\gt L_2 \text{的 }x\text{-截距}\\
n &\gt q
\end{align*}$$

∴選項 II 正確。

III) 先研究左方 LHS (n +m)的值。

$$\begin{align*}
y\text{-intercept of }L_1 &= -1\\
L_1 \text{的 }y\text{-截距} &= -1\\
\frac{n}{m} &= -1\\
n &= -m\\
n +m &=0
\end{align*}$$

然後研究右方 RHS,從 (I) 已知 p 為負數,而從 L2x-截距 (x-intercept) 可判斷 q 同樣為負數。

$$\because p \lt 0\text{ and }q \lt 0\\
\therefore p +q \lt 0$$

∵左方LHS = 0, 而右方RHS < 0
∴選項 III 錯誤。

相關文章:文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

24. A
$$\begin{align*}
9x -5y +45 &= 0\\
-5y &= -9x -45\\
y &= \frac{9}{5}x + 9
\end{align*}$$

Slope 斜率 = ##\large \frac{9}{5}##

$$\begin{align*}
m_L &= -1 \div \frac{9}{5}\\
&= \frac{-5}{9}
\end{align*}$$

Equation of L$$\begin{align*}
y -0 &= \frac{-5}{9} (x +3)\\
9y &= -5x -15\\[3pt] 5x +9y +15 &= 0
\end{align*}$$

25. C
先求各線段之間的夾角。

$$\begin{align*}
\angle ROP &= 340\deg – 160\deg\\
&= 180\deg\\[4pt] \angle ROQ &= 340\deg – 280\deg\\
&= 60\deg
\end{align*}$$

留意 POR 成一直線。

$$\begin{align*}
\sin 60\deg &= \frac{h}{4}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{h}{4}\\
4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} &=h\\
h &=2\sqrt{3}
\end{align*}$$

相關文章:文憑試實戰篇#2 Polar Coordinates 極坐標

26. A
留意 C2x2y2 的係數(coefficient) 並不是 1,所以先要把整條方程除 2。

$$\begin{align*}
C_1: &x^2 + y^2 +8x -4y -5 =0\\[5pt] G_1 &= (-4, 2)\\[10pt] C_2: &2x^2 + 2y^2 +8x -4y -5 = 0\\
&x^2 + y^2 +4x -2y -\frac{5}{2} = 0\\
G_2 &= (-2, 1)
\end{align*}$$

I)$$\begin{align*}
m_{OG_1} &= \frac{-4 -0}{2 -0}\\[2pt] &= -2\\[5pt] m_{OG_2} &= \frac{-2 -0}{1 -0}\\[2pt] &= -2
\end{align*}$$

∵ ##m_{OG_1} = m_{OG_2}##
G1, G1O 共線(collinear)。

II)$$\begin{align*}
C_1\text{ 半徑} &= \sqrt{4^2 +2^2 +5}\\
&= \sqrt{25}\\
&= 5\\[8pt] C_2\text{ 半徑} &= \sqrt{2^2 +1^2 +\frac{5}{2}}\\
&= \sqrt{7.5}
\end{align*}$$

因此選項 II 錯誤。

III)
$$\begin{align*}
OG_1 &= \sqrt{(-4-0)^2 + (2-0)^2}\\
&= \sqrt{20}\\[6pt] OG_2 &= \sqrt{(-2-0)^2 + (1-0)^2}\\
&= \sqrt{5}
\end{align*}$$

因此選項 III 錯誤。

27. B
AB 為圓形的弦線(chord)。由於 AP = BP,所以 P 的軌跡為 AB 的垂直平分線 (Perpendicular Bisector)。而該線通過圓形的圓心。

圓心坐標 = (3,2) 

(3,2) 代入直線方程
$$\begin{align*}
3 +2(2) +k &= 0\\
7 +k &= 0\\
k &= -7
\end{align*}$$

28. C
$$\begin{align*}
P &= \frac{5+20}{5+20+15+10+10}\\[3pt] &= \frac{25}{60}\\[3pt] &= \frac{5}{12}
\end{align*}$$

29. B

從圖像可直接獲得下四分位數(Lower Quartile) 為 15

30. B
先從平均值 mean = 5 入手。

$$\begin{align*}
\frac{2+3+4+6+7+9+10+m+n}{9} &= 5\\
41 +m +n &= 45\\
m +n &= 4
\end{align*}$$

由於 mn 為正整數,所以 mn 的數值有以下三種可能性。

$$
\newcommand\T{\Rule{0pt}{.8em}{.1em}}
\begin{array}{c|c}
\ m\ & \ \ n\ \ \T \\\hline
1 \T & 3 \\
2 \T & 2 \\
3 \T & 1 \\
\end{array}
$$

I) 若果 m = 1, n = 3,眾數 mode = 3。因此選項 I 並非必定正確。

II) 在上述三種情況下,中位數 median 都是 4。因此選項 II 必定正確。

III) 若果 m = 1, n = 3

$$\begin{align*}
\text{分佈域 range} &= 10 -1\\
&=9
\end{align*}$$

因此選項 III 並非必定正確。

31. D
方法一:
根據函數變換 (Transformation of function) 的法則,##y=f\big(\frac{x}{2}\big)## 的圖像就是把 ##y=f(x)## 沿 x軸放大兩倍 Enlarge along x-axis to 2 times。

方法二:
y = f(x) 曲線上,有三點坐標已知,分別是 (4,0), (0,10)(−12,0)。因此,

$$f(4)=0\\
f(0)=10\\
f(-12)=0$$

$$\begin{align*}
\because g(x) &= f\Big(\frac{x}{2}\Big)\\[2pt] \therefore g(8) &= f(4) = 0\\
g(0) &= f(0) = 10\\
g(-24) &= f(12) = 0
\end{align*}$$

所以 y = g(x) 的圖像通過 (8,0), (0,10)(−24,0) 這三點,因此答案是 D。

32. D
方法一:

$$\begin{align*}
&8^3\\
=&[(2)^3]^3\\
=&2^9\\
=&2^1 \times 2^{4\times2}\\
=&2 \times 16^2\\[8pt] &8^{19}\\
=&[(2)^3]^{19}\\
=&2^{57}\\
=&2^1 \times 2^{4\times14}\\
=&2 \times 16^{14}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore 8^3 + 8^{19} &= 2 \times 16^{14} + 2 \times 16^2\\
&=200000000000200_{16}\\
\end{align*}$$

方法二: 借助計數機。方法是把各選項的16進制數字改寫成展開式 Expanded Form,然後再和 ##8^3+8^{19}## 的數值作比較。

$$\begin{align*}
8^{19} &= 1.44115 \times 10^{17}\\
8^3 &= 512
\end{align*}$$

A)$$\ \ 10000000000010_{16}\\
=1 \times 16^{13} + 1 \times 16^1\\[9pt] 1 \times 16^{13} = 4.50360 \times 10^{15} \ne 1.44115 \times 10^{17}\\
1 \times 16^{1} = 16 \ne 512
$$

B)$$\ \ 20000000000020_{16}\\
=2 \times 16^{13} + 2 \times 16^1\\[9pt] 2 \times 16^{13} = 9.07720 \times 10^{15} \ne 1.44115 \times 10^{17}\\
2 \times 16^{1} = 32 \ne 512
$$

C)$$\ \ 100000000000100_{16}\\
=1 \times 16^{14} + 1 \times 16^2\\[9pt] 1 \times 16^{14} = 7.20576 \times 10^{16} \ne 1.44115 \times 10^{17}\\
1 \times 16^{2} = 256 \ne 512
$$

D)$$\ \ 200000000000200_{16}\\
=2 \times 16^{14} + 2 \times 16^2\\[9pt] 2 \times 16^{14} = 1.44115 \times 10^{17}\\
2 \times 16^{2} = 512
$$

∴ 答案是 D。

注意: 由於 ##2 \times 16^{14}## 及 ##2 \times 16^2## 的數值相距很大,所以不應把整個展開式輸入計數機,而須要逐項輸入並作比較。

相關文章:文憑試實戰篇 #12 二進制和十六進制數字

33. C
參考《文憑試實戰篇 #16 對數(log)與直線圖像》中所述的方法,可直接建立 xy 之間的關係。

$$\begin{align*}
\sqrt{y} -0 &= \frac{8-0}{0-4} (x -4)\\[3pt] \sqrt{y} &= (-2)(x -4)\\
\sqrt{y} &= -2x +8)\\
y &= (-2x +8)^2\\
y &= 4x^2 -32x +64
\end{align*}$$

34. D
$$\begin{cases}
\log_9 y = x -3\ …(1)\\
2(\log_9 y)^2 = 4 -x\ …(2)
\end{cases}$$

Sub. (1) into (2)
把 (1) 代入 (2)

$$\begin{align*}
2(x -3)^2 &= 4 -x\\
2(x^2 -6x +9) &= 4 -x\\
2x^2 -11x +14 &=0\\
x&= 2\ \ \text{or}\ \ 3.5
\end{align*}$$

x = 2
$$\begin{align*}
\log_9 y &= (2) -3\\
\log_9 y &= -1\\
y &= 9^{-1}\\
y &= \frac{1}{9}
\end{align*}$$

x = 3.5
$$\begin{align*}
\log_9 y &= (3.5) -3\\
\log_9 y &= 0.5\\
y &= 9^{0.5}\\
y &= 3
\end{align*}$$

$$\therefore y = 3\ \ \text{or}\ \ \frac{1}{9}$$

相關文章:解對數方程 Solving Logarithm Equations

35. B
$$\begin{align*}
&\frac{5}{2 -i} + ki\\
=&\frac{5}{2 -i} \times \frac{2 +i}{2 +i} + ki\\
=&\frac{10 +5i}{4 +1} + ki\\
=& 2 +i+ki\\
=& 2+(1+k)i
\end{align*}$$

Since the expression is a real number, the imaginary part is 0.
由於該數式是實數,所以虛部為 0

$$\begin{align*}
1+k &= 0\\
k &= -1
\end{align*}$$

36. C
I)
$$\pi^{45} -\pi^{30} \ne \pi^{60} -\pi^{45}$$

∴ 選項I 錯誤。

II)
$$\begin{align*}
&60\pi -45\pi\\
=&15\pi\\[10pt] &45\pi -30\pi\\
=&15\pi
\end{align*}$$

∴ 選項II 正確。

III)
$$\begin{align*}
&(\pi -60) -(\pi -45)\\
=& -15\\[10pt] &(\pi -45) -(\pi -30)\\
=& -15
\end{align*}$$

∴ 選項III 正確。

37. C
(x,y) 位於已塗上顏色的區域內。

透過聯立方程(Simultaneous Equations),可找到 A, BC 點坐標。

A點:

$$\begin{cases}
y = 9\\
x +y -9 =0
\end{cases}\\[4pt] A=(0,9)
$$

B點:

$$\begin{cases}
x +y -9 =0\\
x -y -9 =0
\end{cases}\\[4pt] B=(9,0)
$$

C點:

$$\begin{cases}
y = 9\\
x -y -9 =0
\end{cases}\\[4pt] C=(18,9)
$$

然後把各點坐標代入 ##x -2y +43##。

$$A:\ 0 -2(9) +43 = 25\\
B:\ 9 -2(0) +43 = \color{red}{52}\\
C: 18 -2(9) +43 = 43$$

∴ 最大值 = 52 

38. A

方法一:
In ΔABC,

$$\begin{align*}
AC &= \sqrt{21^2 +28^2}\\
&=35
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\sin \theta &= \frac{21}{35}\\[3pt] &= \frac{3}{5}
\end{align*}$$

In ΔACD,

$$\begin{align*}
\cos (90\deg -\theta) &= \frac{21^2 +30^2 -DE^2}{2(21)(30)}\\[2pt] \sin \theta &= \frac{1341 -DE^2}{1260}\\[2pt] \frac{3}{5} &= \frac{1341 -DE^2}{1260}\\[2pt] 756 &= 1341 -DE^2\\[2pt] DE^2 &= 585\\[2pt] DE &= \sqrt{9 \times 65}\\[2pt] DE &= 3 \sqrt{65}
\end{align*}$$

方法二:
In ΔABC,

$$\begin{align*}
\tan \theta &= \frac{21}{28}\\[3pt] \theta &= 36.87\deg
\end{align*}$$

In ΔACD,

$$\begin{align*}
\cos (90\deg -36.87\deg) &= \frac{21^2 +30^2 -DE^2}{2(21)(30)}\\[2pt] 0.6 &= \frac{1341 -DE^2}{1260}\\[2pt] 756 &= 1341 -DE^2\\[2pt] DE^2 &= 585\\[2pt] DE &= \sqrt{9 \times 65}\\[2pt] DE &= 3 \sqrt{65}
\end{align*}$$
39. A
$$\begin{align*}
AB &= \sqrt{25^2 -15^2}\\
&= 20
\end{align*}$$

留意 ##\angle BDC = 90\deg##,證明如下:
$$\begin{align*}
BD^2 + CD^2 &= 20^2 +21^2\\
&= 841\\
&= 29^2\\
&= BC^2
\end{align*}$$

Point D is the projection of point B on plane ACD.
D點為 B點在平面 ACD 的投影。

因此題目須要的角為 ##\angle BAD##
$$\begin{align*}
\cos \angle BAD = \frac{15}{25}\\
\angle BAD \approx 53\deg
\end{align*}$$

40. B

$$\begin{align*}
\angle BAD &= \angle BCA\\
68\deg &= 26\deg + \theta\\
\theta &= 42\deg
\end{align*}$$

In ΔOAC,

$$\begin{align*}
2x + \theta + \theta &= 180\deg\\
2x + 42\deg + 42\deg &= 180\deg\\
x &= 48\deg
\end{align*}$$
41. D

  • QOP = 90°,所以 ##y=x## 為 QOP 的角平分線 (Angle Bisector)。
  • 內心 In-centre 同時在直線 ##y=x## 及 ##3x +4y =3p## 之上

First, find the coordinates of the in-centre
先求內心坐標。

$$\begin{cases}
y=x\\
3x +4y =3p
\end{cases}\\[7pt] x=\frac{3p}{7},\ y=\frac{3p}{7}$$

方法一:
根據《求內心 (Incentre)坐標的方法》 所述的方法去求內心的 x坐標。

$$\begin{align*}
\frac{3p}{7} &= \frac{0\times\sqrt{p^2+q^2} +p\times q +0 \times p}{p +q +\sqrt{p^2+q^2}}\\[3pt] \frac{3p}{7} &= \frac{pq}{p +q +\sqrt{p^2+q^2}}\\[3pt] \frac{3}{7} &= \frac{q}{p +q +\sqrt{p^2+q^2}}\\[3pt] 7q &= 3p +3q +3\sqrt{p^2+q^2}\\[3pt] 4q -3p &= 3\sqrt{p^2+q^2}\\[3pt] (4q -3p)^2 &= 9(p^2+q^2)\\[3pt] 16q^2 -24pq +9p^2 &= 9p^2 +9q^2\\[3pt] 7q^2 &= 24pq\\[3pt] \frac{7}{24} &= \frac{pq}{q^2}\\[3pt] \frac{p}{q} &= \frac{7}{24}\\
p:q &= 7:24
\end{align*}$$

方法二:

∵ ##I=\Big(\large\frac{3p}{7},\frac{3p}{7}\Big)##
∴ ##OA = OB = \large\frac{3p}{7}##

From the properties of tangent,
從圓形切線性質,

$$PA = PC = p -\frac{3p}{7}\\
QB = QC = q -\frac{3p}{7}$$

$$\begin{align*}
PC + QC &= PQ\\[3pt] \Big(p -\frac{3p}{7}\Big) +\Big(q -\frac{3p}{7}\Big) &= \sqrt{p^2 +q^2}\\[3pt] \frac{p}{7} +q &= \sqrt{p^2 +q^2}\\[3pt] \Big( \frac{p}{7} +q \Big)^2 &= p^2 +q^2\\[2pt] \frac{p^2}{49} +\frac{2pq}{7} +q^2 &= p^2 +q^2\\[2pt] \frac{2pq}{7} &= p^2 -\frac{p^2}{49}\\[2pt] \frac{2q}{7} &= \frac{48p}{49}\\[2pt] \frac{\frac{2}{7}}{\frac{48}{49}} &= \frac{p}{q}\\[2pt] \frac{p}{q} &= \frac{7}{24}\\[2pt] p:q &= 7:24
\end{align*}$$

42. B
$$\begin{align*}&C_5^{13} \times C_4^6\\[2pt] =& 19305\end{align*}$$

43. C
$$\begin{align*}
&1 -P(\text{四次})\\
=&1 -0.7^4\\
=&0.7599
\end{align*}$$

44. B
$$\begin{align*}
-2 &= \frac{33 -45}{\sigma}\\[2pt] -2 &= \frac{-12}{\sigma}\\[2pt] \sigma &= \frac{-12}{-2}\\[2pt] \sigma &= 6
\end{align*}$$

45. A

I) 在每個數據加上相同的常數。
  Standard Deviation 標準差維持不變 

II) 在每個數據乘上相同的常數 k
  Standard Deviation 標準差為原來的 k
  Variance 方差為原來的 k2

把所有數據同時乘上8,眾數 mode 及 四分位數間距 inter-quartile range 亦為原本的 8 倍。因此選項 I 及 II 正確。

方差 Variance 為原本的 82 倍,即是 64倍,所以選項 III 錯誤。

相關文章: 標準差 Standard Deviation 公式的意義

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分類: 計數機應用及歷屆試題


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  1. repeater 說:

    There is another method for question41.
    We can first draw down all angle bisector and arrange the eqution 3x+4y=3p to y=-3/4x+3/4p.Then,we will find that the angle bisector pointing to P (intercepting y-axis at 3/4p) is the line mentioned in the question.By calculating tan@=3/4p / p and double the result,we can obtain angle P.At last,tan(90-2@)=p:q

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