中點定理和截線定理

• 27/06/2011

中三同學會遇到中點定理和截線定理 (mid-point theorem and intercept theorem),兩者極為相似,容易混淆。到底應如何分辨呢?

中點定理 mid-point theorem

如下圖所示,運用中點定理的先決條件是 AP = PM & AQ = QC,圖中以紅色表示。而藍色部份是引用中點定理所得到的結果。

截線定理 intercept theorem

同樣,運用截線定理的條件以紅色表示,而藍色部份是截線定理的結果。

怎樣區分?

下圖把兩個定理並列起來。如果不理會顏色,它們是完全一樣的。因此,這兩條定理的分別只在於條件和結果。

要分辨到底我們應該引用那一條定理,最佳的辦法是透過三角形內的平行線。如果三角形內已存在平行線,我們應該引用截線定理 Intercept Theorem。反之亦然。

例子

Prove AQR = ∠ACD.

Solution:

##\text{In }\triangle ABC,\\
\\
\because AP=PB\ \text{and}\ PQ// BC\\
\therefore AQ = QC\ \text{(Intercept Theorem)}##

##\text{In }\triangle ACD,\\
\\
\because AQ=QC\ \text{and}\ AR = RD\\
\therefore QR\ //\ CD\ \text{(Mid-Point Theorem)}##

##\therefore \angle AQR = \angle ACD\ (corr. \angle s,\ QR // CD)##

中點定理的逆定理

有同學問中點定理的逆定理是否成立,可否直接引用? 換句話說,在上圖中已知 PQ//BC PQ=BC/2,可否直接推斷 AP=PB AQ=QC?

中點定理的逆定理是成立的。但課程中沒有提及中點定理的逆定理 (converse of mid-point theorem),老師未必會接受以此為答案。為免因此而失分,較穩妥的做法是: 先證明 ΔABCΔAPQ 相似。然後再引用對應邊成比例得­到 AP: AB = 1:2, 從而得到 AP = PB

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分類: 幾何、坐標及三角學


回應 (4)

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  1. Fonz Tsui 說:

    Thanks Thomas, very good materials for teaching my daughter maths

  2. Yip Shun 說:

    根據截線定理 的 圖, AP = PB 及PQ//BC, 如果要證明BC = 2PQ, 該結果不能被稱為 截線定理? 要先用證AQ = QC再用一次中點定理? 此方法, 或者證明 ΔABC 和 ΔAPQ 相似。然後再引用對應邊成比例, 都似乎太慢.

  3. K.jr 說:

    converse of mid-point theorem……why wont the teachers teach that as well……darn…

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