中點定理和截線定理

中三同學會遇到中點定理和截線定理 (mid-point theorem and intercept theorem)，兩者極為相似，容易混淆。到底應如何分辨呢?

中點定理 mid-point theorem

如下圖所示，運用中點定理的先決條件是 AP = PM & AQ = QC，圖中以紅色表示。而藍色部份是引用中點定理所得到的結果。

截線定理 intercept theorem

同樣，運用截線定理的條件以紅色表示，而藍色部份是截線定理的結果。

怎樣區分?

下圖把兩個定理並列起來。如果不理會顏色，它們是完全一樣的。因此，這兩條定理的分別只在於條件和結果。

要分辨到底我們應該引用那一條定理，最佳的辦法是透過三角形內的平行線。如果三角形內已存在平行線，我們應該引用截線定理 Intercept Theorem。反之亦然。

例子

Prove ∠AQR = ∠ACD.

Solution:

##\text{In }\triangle ABC,\\
\\
\because AP=PB\ \text{and}\ PQ// BC\\
\therefore AQ = QC\ \text{(Intercept Theorem)}##

##\text{In }\triangle ACD,\\
\\
\because AQ=QC\ \text{and}\ AR = RD\\
\therefore QR\ //\ CD\ \text{(Mid-Point Theorem)}##

##\therefore \angle AQR = \angle ACD\ (corr. \angle s,\ QR // CD)##

中點定理的逆定理

有同學問中點定理的逆定理是否成立，可否直接引用? 換句話說，在上圖中已知 PQ//BC 及 PQ=BC/2，可否直接推斷 AP=PB 及 AQ=QC?

中點定理的逆定理是成立的。但課程中沒有提及中點定理的逆定理 (converse of mid-point theorem)，老師未必會接受以此為答案。為免因此而失分，較穩妥的做法是: 先證明 ΔABC 和 ΔAPQ 相似。然後再引用對應邊成比例得­到 AP: AB = 1:2， 從而得到 AP = PB。

標籤: intercept theorem, mid-point theorem, 中點定理, 截線定理

分類: 幾何、坐標及三角學