二次函數的極值 Optimum Value of Quadratic Functions

• 12/12/2010

課本告訴我們,f(x)=a(x − h)²+k 的頂點是(h,k),但背後的原理大家是否明白? 「死記」絕對不是高明的溫習方法,我們要盡力去理解各理論背後的原理,成績才會有進步。

先說明一些基礎理論。某變數 x 的最大值和最小值是什麼? 答案是無從判斷,又或者是 +∞ 和 -∞。但 ##x^2## 的最小值卻能判斷,就是 0。原因很簡單,任何實數平方後必定大於或等於零,所以其最小值就是0。

再回到 f(x)=a(x − h)²+k,為方便說明,先假設 a 為正數。把該函數展開後,得到 ##x^2##的係數就是 a,所以其拋物線是開口向上,亦即是該函數只存在最小值。那麼該函數的最小值是什麼?

先把該函數改寫成:

f(x)=k + a(x − h)²
大家試想想,a(x − h)² 這部分必定大於或等於零。換句話說, f(x)的值等於 k 再加上一個正數或者零。若該數字是正數,結果必定大於 k,所以f(x)的最小值就是 k

因此要令 f(x) 的值最小,a(x − h)² 必須等於零。即是

$$\begin{align*}
a(x-h)^2&=0\\
x-h&=0\\
x&=h
\end{align*}$$

總而言之,要令 f(x) 的值最小, x 的值須要等於 h,而 f(x) 值將會是 k。因此 f(x)=a(x − h)²+k 的頂點是(h,k)

而當 a 為負數時的推論並無分別。

思考題

##y = 3(2x – 5)^2+6## 的頂點是什麼?

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分類: 代數及百分數

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  1. Paul 說:

    應該係 f(x)= a(x-h)^2 + h

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