在極坐標系 Polar Coordinate System 求兩點之距離

在極坐標系求兩點之距離，最直接的方法當然是先把該兩點的極坐標轉換成直角坐標，然後運用距離公式計算。但這方法極之麻煩。大家有無想過其實有更方便直接的方法去解決這問題?

極坐標重溫

極坐標 (Polar Coordinates) 是中一的課程，概念非常簡單，但公開試每數年便會問一次。同學在中一學習極坐標時，一般都無大問題，但之後中二至中六的課程裡不會再出現這課題。到中六考文憑試時早已把這課題忘記了！對於文憑試考生，重溫及準備極坐標這課題是必須的。

先重溫極坐標。下圖取材自中一的課本，簡單介紹了極坐標系統。

最重要是弄清楚極坐標和方位角之分別。方位角以北面為 0°，以順時針方向轉。而極坐標以「東面」為 0°，以逆時針方向轉。

回答極坐標的問題沒有什麼特別技巧，只要先把題目所提供的資料繪畫出來，再運用我們已有的三角學及幾何知識便可。唯一要特別留意的就是兩條極徑之夾角！

以 2013年試卷一問題六為例子。題目給了我們以下資料:

In a polar coordinate system, O is the pole. The polar coordinates of the points P and Q are (26,10°) and (26,130°) respectively.

在某極坐標系中， O 為極點。點 P 及 Q 的極坐標分別為 (26,10°) 及 (26,130°)。

HKDSE Maths 2013 Paper I Q6

第一步是把這些點繪畫出來，如下圖所示。無論題目問什麼，都必須留意兩條極徑之夾角，即是圖中紅色箭咀所示的角。而這隻角的值就是這兩點的極角的差，即是 130° – 10° = 120°。在絕大部份的題目，這隻角會是整題的關鍵。如果這隻角是 90°，亦即是出現直角三角形，可運用畢氏定理及三角函數。就算這隻角並非直角，我們仍可運用正弦公式(sine formula) 和餘弦公式 (cosine formula)。

兩點之距離

如果要找極坐標系上兩點的距離，我們可運用餘弦公式 (cosine formula)。這是最快捷的方法。續上題，假設我們要找 PQ 的距離，只要直接運用餘弦公式 (cosine formula)。

$$\begin{align*}
\cos\ 120^{\circ}&=\frac{26^2+26^2-PQ^2}{2(26)(26)}\\[3pt] -\frac{1}{2}&=\frac{1352-PQ^2}{1352}\\[3pt] PQ &= 45.0
\end{align*}$$

總結
極坐標屬於中一的課程，高中學生可能已把它忘掉。文憑試考生如果在毫無準備下，隨時被這些題目難倒。所以考生門必須溫習好這課題。 根據歷屆試題的經驗，兩條極徑之夾角往往都是整題的關鍵，同學必須加倍留意這隻角。

標籤: polar coordinate, 極坐標

分類: 幾何、坐標及三角學