在極坐標系 Polar Coordinate System 求兩點之距離
在極坐標系求兩點之距離,最直接的方法當然是先把該兩點的極坐標轉換成直角坐標,然後運用距離公式計算。但這方法極之麻煩。大家有無想過其實有更方便直接的方法去解決這問題?
極坐標重溫
極坐標 (Polar Coordinates) 是中一的課程,概念非常簡單,但公開試每數年便會問一次。同學在中一學習極坐標時,一般都無大問題,但之後中二至中六的課程裡不會再出現這課題。到中六考文憑試時早已把這課題忘記了!對於文憑試考生,重溫及準備極坐標這課題是必須的。
先重溫極坐標。下圖取材自中一的課本,簡單介紹了極坐標系統。
最重要是弄清楚極坐標和方位角之分別。方位角以北面為 0°,以順時針方向轉。而極坐標以「東面」為 0°,以逆時針方向轉。
回答極坐標的問題沒有什麼特別技巧,只要先把題目所提供的資料繪畫出來,再運用我們已有的三角學及幾何知識便可。唯一要特別留意的就是兩條極徑之夾角!
以 2013年試卷一問題六為例子。題目給了我們以下資料:
In a polar coordinate system, O is the pole. The polar coordinates of the points P and Q are (26,10°) and (26,130°) respectively.
在某極坐標系中, O 為極點。點 P 及 Q 的極坐標分別為 (26,10°) 及 (26,130°)。
HKDSE Maths 2013 Paper I Q6
第一步是把這些點繪畫出來,如下圖所示。無論題目問什麼,都必須留意兩條極徑之夾角,即是圖中紅色箭咀所示的角。而這隻角的值就是這兩點的極角的差,即是 130° – 10° = 120°。在絕大部份的題目,這隻角會是整題的關鍵。如果這隻角是 90°,亦即是出現直角三角形,可運用畢氏定理及三角函數。就算這隻角並非直角,我們仍可運用正弦公式(sine formula) 和餘弦公式 (cosine formula)。
兩點之距離
如果要找極坐標系上兩點的距離,我們可運用餘弦公式 (cosine formula)。這是最快捷的方法。續上題,假設我們要找 PQ 的距離,只要直接運用餘弦公式 (cosine formula)。
$$\begin{align*}
\cos\ 120^{\circ}&=\frac{26^2+26^2-PQ^2}{2(26)(26)}\\[3pt]
-\frac{1}{2}&=\frac{1352-PQ^2}{1352}\\[3pt]
PQ &= 45.0
\end{align*}$$
總結
極坐標屬於中一的課程,高中學生可能已把它忘掉。文憑試考生如果在毫無準備下,隨時被這些題目難倒。所以考生門必須溫習好這課題。 根據歷屆試題的經驗,兩條極徑之夾角往往都是整題的關鍵,同學必須加倍留意這隻角。
- 2006P2Q27
- 2008P2Q30
- 2009P1Q8
- 2013P1Q6
- 2016P1Q7
- 2017P2Q25
分類: 幾何、坐標及三角學
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