二次函數的圖像及係數之關係

• 13/10/2014

已知某二次函數 (quadratic function) y =ax2+bx+c及其圖像,我們懂得從其圖像判斷係數(coefficient) ac 之正負,但係數 b 的正負呢? 我們的課本並無清晰交代。

例子:

下圖展示某二次函數的圖像。

Graph of Quadratic Function

由於拋物線開口向下(open downward),所以係數 a 必定是負數。從圖像得知 y截距 (y-intercept) 是正數,所以係數 c 必定是正數。

那麼係數 b 的正負又怎樣判斷?

頂點的 x 坐標

首先說明一些背景知識,就是頂點的 x 坐標和係數之間的關係。

要找二次函數的頂點 vertex 的坐標,課程教我們用配方法 completing the square,但其實有更簡單的方法。

假設該函數的根是 αβ,由拋物線的對稱性質可推斷,頂點的 x 坐標就在αβ的正中間。即是

Graph of Quadratic Function

根據中點公式 (mid-point formula),
$$\begin{align*}
\therefore 頂點的\ x\ 坐標&=\frac{\alpha + \beta}{2}\\
&=\frac{-\frac{b}{a}}{2}\ \ \ \ (\because \alpha + \beta = -\frac{b}{a})\\
&=-\frac{b}{2a}
\end{align*}$$

頂點的 x 坐標= ##\large – \frac{b}{2a}##

應用1: 求頂點坐標

其實根本不需要配方法,只要運用以上結果,我們便能找到頂點的 x 坐標。要求頂點的 y 坐標,就只要把頂點的 x 坐標代入其二次函數,找出對應的 y 值。

例子: 求 ##y=2x^2 +4x -1## 的頂點坐標

$$\begin{align*}
頂點的\ x\ 坐標&=-\frac{4}{(2)(2)}\\
&=-1\\
\\
頂點的\ y\ 坐標&=2(-1)^2+4(-1)-1\\
&=2-4-1\\
&=-3
\end{align*}$$

##\therefore 頂點坐標=(-1,-3)##

既然這麼簡單就能求頂點坐標,我們還要學配方法嗎? 答案是須要,因為公開試題目會指定運用配方法,不可用其他方法求頂點坐標。

應用2: 從圖像求係數 b 的正負

回到最初的問題,從圖像得知,頂點的 x 坐標是負數,而由於

$$頂點的\ x\ 坐標 = -\frac{b}{2a}$$

我們已知 係數 a 是負數,所以係數 b 必定要是負數,等式的右方才可得到負值。所以,從其圖像我們可判斷各係數的正負,即是:

a<0
b<0
c>0

總結

頂點的 x 坐標 = ##\large -\frac{b}{2a}## 這結果很有用,可快捷地求頂點的坐標。再者,只要知道二次函數的圖像,我們便可判斷各係數的正負。

思考題

下圖為 ##y=x^2 + kx +12## 的圖像,已知 AB = 1,求 k 的值。
提示: k 的值只有一個。

Graph of quadratic function

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分類: 代數及百分數

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  1. kiojioj 說:

    由於拋物線開口向下(open downward),所以係數 a 必定是負數。從圖像得知 y截距 (y-intercept) 是正數,所以係數 c 必定是負數。

    c唔係正數咩

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