正四面體 regular tetrahedron 的高和邊長的關係

• 22/10/2014

公開試選擇題曾經出現一些關於正四面體 regular tetrahedron 的題目,而這些題目都非常棘手。有無什麼東西我們可預先準備,以應付這些題目呢?

正四面體的性質

正四面體其實是一個三角錐體,而它每條邊的長度都一樣。它共有四個面,而每一個面都是等邊三角形。當我們強行把這立體繪畫在平面上,總是會產生很大的扭曲。 例如,下圖來自 HKDSE 2012 的選擇題,感覺上 BD 比其他邊稍長,而 ΔABD 和 ΔBCD 亦不似是一個等邊三角形。

tetrahedron

小心圖像帶來的錯覺,必須緊記下列兩點:

每條邊的長度相同
每個面都是等邊三角形

正四面體的高和邊長的關係

綜合各舊試題的題目,假如我們知道正四面體的高和邊長之間的關係,對我們解決這些問題有極大幫助。我們就嘗試找出它們之間的關係。

參考下圖,假設正四面體的邊長為 a,而它的高就是 OD。留意 ΔAOD 是直角三角形。要找到 h 的數值,就要先找到 OA 的長度,然後再運用畢氏定理求 h

tetrahedron2

我們集中研究正四面體的底,即是 ΔABC。參考下圖,把 O 點和 A、B、C 三點連接,形成三個小三角形。

tetrahedron3

從正四面體的對稱性質可以推斷,這三個小三角形是全等;而且 OA = OB = OC。因此,
$$\begin{align*}
\angle AOB &= \frac{360^{\circ}}{3}\\[3pt] &= 120^{\circ}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle OAB = \angle OBA &= \frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}\\
&= 30^{\circ}
\end{align*}$$

在 ΔAOB 運用正弦公式(sine formula),

$$\begin{align*}
\frac{\sin \angle AOB}{AB} &= \frac{\sin \angle OBA}{OA}\\[3pt] \frac{\sin 120^{\circ}}{a} &= \frac{\sin 30^{\circ}}{OA}\\
\frac{\sqrt{3}}{2a} &= \frac{1}{2OA}\\[3pt] \sqrt{3}OA &= a\\
OA &= \frac{1}{\sqrt{3}}a\\
&= \frac{\sqrt{3}}{3}a
\end{align*}$$

再回到原先的立體圖形,在 ΔAOD 運用畢氏定理,

$$\begin{align*}
OA^2+OD^2 &= AD^2\\
\Big(\frac{1}{\sqrt{3}}a\Big)^2 + h^2 &= l^2\\
h^2 &= a^2 – \frac{1}{3}a^2\\
h^2 &= \frac{2}{3}a^2\\
h&= \sqrt{\frac{2}{3}}\ a = \frac{\sqrt{6}}{3}\ a
\end{align*}$$

正四面體的高 = ##\sqrt{\frac{2}{3}}## × 邊長 = ##\frac{\sqrt{6}}{3}## × 邊長

但緊記,此公式只適用於四面體 regular tetrahedron,亦即是所有邊長均相同的三角錐體。

總結
同學不妨在考試前把以上公式背了,如遇到這類選擇題,相信會有幫助,以下是歷屆相關的選擇題,大家可嘗試運用此公式來做這些題目。

相關試題

  • 2006P2Q45
  • 2012P2Q40
  • 2013P2Q40

參考資料
維基百科上有更多正四面體的公式,如體積、總表面面積等。

思考題
The total surface area of a regular tetrahedron is ##16\sqrt{3}\text{ cm}^2##. Find the volume of the tetrahedron.
若一正四面體的總表面面積是 ##16\sqrt{3}\text{ cm}^2##,求該四面體的體積。

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分類: 幾何、坐標及三角學

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