Standard Deviation 標準差公式:神秘的 n-1

• 09/12/2015

根據我們的課本,計算 standard deviation 標準差的公式的分母應是 N,但統計學的課本中,往往是 (N−1)。到底兩者有什麼分別?

補充資料

1) Unbiased Estimator 的嚴謹定義是

A point estimator ##\hat{\theta}## of a population parameter ##\theta## is said to be an unbiased estimator if ##E(\hat{\theta})=\theta##.

2) 根據 Wikipedia 的資料,在統計學中,估計 Population Standard Deviation 最常用的方法是 Sample Standard Deviation ,即是

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$

但適用於所有 Population Distribution 的 unbiased estimator 卻不存在,原文是

It is not possible to find an estimate of the standard deviation which is unbiased for all population distributions, as the bias depends on the particular distribution.Wikipedia

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回應 (3)

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  1. 路過 說:

    unbiased estimator 的定義有錯。
    以 x_bar 為例,x_bar 為 mu 的 unbiased estimator 意指 x_bar 的 expected value 等於 mu,而非 x_bar 大於 mu 與 小於 mu 的概率均等。

    另外 sample standard deviation 並非 population standard deviation 的 unbiased estimator,但 sample variance 是 population variance 的 unbiased estimator。

    希望儘快更正。

    • Thomas Fok 說:

      多謝你的留言。

      這影片並非嚴謹的學術討論。你說的全都在 M1 課本上,但當學生一頭霧水時,只可用較淺白的方式去說明。

      • 路過 說:

        正因如此,有修 M1 的同學看過這影片後或會覺得無所適從。沒有修 M1 的同學則亦可能會信以為真。

        影片中 unbiased estimator 的定義與教科書中的定義並不等價,其背後的意義相去甚遠,絕不可取。不求嚴謹並不代表容許將定義任意扭曲。

        另外,沒有修 M1 的同學其實亦有學過 expected value。故在講解 unbiased estimator 時大可跟從教科書中的定義。

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