變分常數 Variation Constant 可以是負數嗎?

• 13/09/2014

變分這課題雖然相對簡單,但大家有沒有留意變分常數 Variation Constant 可以是負數嗎?

要探討這課題,請先看看以下選擇題:

Given y varies directly as x, which of the following must be true?
已知 yx 而正變, 下列何者必定正確?

I) y increase with x.
yx 而增加
II) xy is non-negative.
xy 是非負數字
III) 3x – 2y varies directly as y – 2x.
3x – 2yy – 2x 而正變

A) None of above 以上皆非
B) I, II
C) I, III
D) I,II,III

這條題目驟眼一看,答案似乎是 D。但正確答案卻是 A!不妨先想想這題應如何作答,才繼續看下去。

常數 k 可以是負數嗎?

這題目的關鍵在於 k 這常數。 當遇到「已知 yx 而正變」 ( y varies directly as x ) 這句文字,同學便會立即寫下:

$$y = kx$$

問題是 k 可以是負數嗎? 要解答這問題,我們先看看課本是怎樣說的:

Variation Textbook

變分課本

根據課本的內容,k 是非零常數 (non-zero constant),亦即是容許負數。

題解

以下是上述選擇題的題解:

選項 (I)y increase with x.

如果 k 是正數,這選項很明顯是正確。但如果 k 是負數,xy 之圖像會如下:

Variation with negative slope
x 增加時,y 值減少。所以此選項並非必定正確。

選項 (II)xy is non-negative.

同樣,如果 k 是正數,這選項正確。當 k 是正數時,xy 的正負號必定相同,所以把它們相乘後,無可能出現負數。

但如果 k 是負數,結果就剛好相反,xy 的值將是負數或零。所以此選項並非必定正確。

選項 (III) – 3x – 2y varies directly as y – 2x.

要測試兩變數是否屬於正變關係,做法是把它們相除,結果如果是一常數,它們便是正變關係。以此題為例:

設 ##y = kx##,

$$\begin{align*}
&\frac{x-2y}{y\ –\ 2x}\\[4pt] =&\frac{x-2(kx)}{kx-2x}\\[4pt] =&\frac{x(1-2k)}{x(k-2)}\\[4pt] =&\frac{1-2k}{k-2}
\end{align*}$$

##\frac{1-2k}{k-2}## 中並沒有任何變數,所以它是一常數。似乎選項(III)是正確。但仍要考慮一個特殊情況,就是 ##k=\frac{1}{2}##時,分子的值是零。亦即是

$$ x-2y = (0)(y-2x)$$

由於變分常數 Variation Constant 不可以是零,所以當 ##k=\frac{1}{2}##時,選項(III)並不正確。

總結

變分 Variation 在整個課程中是相對簡單的課題,但同學大都忽略了常數 k 有什麼准則。大家要緊記 k 是一非零常數,亦即是 k 可以是負數。同學亦要留意判斷兩變數是否屬正變關係時的一些特殊情況。

標籤: , ,

分類: 代數及百分數

與你的 Facebook 好友分享

發表回應

回應內容: