變分與百分數變化 Variation and Percentage Change

• 25/10/2011

變分與百分數變化是公開試常見題目,差不多隔年便出一次。但可惜答對率只是徘徊50-55%。但只要掌握當中竅門,這類題目絕對毫無難度。

先參考以下題目:

It is given that yx2. Find the percentage change in y when x decreases by 10%.
已知 yx2。當 x 減少10%,求 y 的百分數變化。

這類題目如果是選擇題的話,可以用捷徑的方法去解答。大家要留意,題目只給我們很少的資料,就連 xy 的初始值亦沒有提供。其實 xy 的初始值以及變分常數 k 的值與答案無關。換句話說,它們無論等於什麼數值,答案都是相同。既然是這樣,我們便可把它們假設為某一數字。

最簡單的方法就是把所有變數及變分常數 k 的值均假設為 1。以此題為例,我們假設 k 為 1,而 x 的初始值亦假設為 1。 由於 y = kx2,所以 y 的初始值亦為 1。 即是 xy 的初始值以及 k 都是 1,而 xy 的關係是

$$y=x^2$$

下步便是求 y 的新值。題目說 x 減少10%,所以

x 的新值 = 1(1-10%) = 0.9

之後計算 y 的新值。

y 的新值 = (0.9)2 = 0.81

由於 y 的新值和初始值分別為 0.81 及 1。它們的百分數變化是

##\begin{align*}
百分數變化 &= \frac{0.81-1}{1} \times 100\%\\
&= -19\%
\end{align*}##

如果大家心水清的話,當得到 y 的新值為 0.81後,一眼便看出答案是 -19%。

題目詳解

如果這題目是長題目的話,步驟便複雜很多。題解如下:

##\because y \propto x^2##
##\therefore y = kx^2 \text{ where }k \text{ is a non-zero constant}##

##\text{Let }x_0 \text{ and } y_0 \text{ be the original values of } x \text{ and } y \text{ respectively.}##

##y_0 = kx_0^2##

##\because\ x \text{ decreases by 10%}##

##\begin{align*}
\therefore \text{ new value of } y &= k(0.9x_0)^2 \\
&= 0.81kx_0^2\\
&= 0.81y_0
\end{align*}##

##\begin{align*}
\text {percentage change}&= \frac{0.81y_0-y_0}{y_0}\times 100\%\\
&= \frac{-0.19y_0}{y_0}\times 100\%\\
&= -19\%
\end{align*}##

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分類: 代數及百分數

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