當某點在一直線上

先看看以下題目：

A(2, 4) and B(5, 3) lie on the circle C. The centre of the circle lies on the line 2x – y – 3 = 0. Find the coordinates of the centre.
A(2, 4) 及 B(5, 3) 在圓 C 上。 該圓的圓心在直線 2x – y – 3 = 0 上。求圓心的坐標。

每一個坐標都涉及兩個數字。如果我們對該坐標一無所知，我們須要用兩個變數來表示該坐標。但如果該點在一直線上，而我們知道該直線的方程，我們便可以一個變數來表示其 x 坐標及 y 坐標。即是

Let the coordinates of the centre be (h, k).
設圓心坐標為 (h, k)

∵The centre lies on the line 2x – y – 3 = 0.
∵圓心在直線 2x – y – 3 = 0 之上

\begin{align*}
2h\ -\ k\ -\ 3 &= 0\\
k &= 2h\ -\ 3
\end{align*}

∴The coordinates of the centre = (h, 2h – 3).
∴圓心坐標 = (h, 2h – 3)

只要依照以上步驟便可只用一個變數來表示其 x 坐標及 y 坐標。如果我們再能運用此坐標來建立一條方程，便可找到該未知數的值。

當某點在一直線上，而我們知道該直線的方程，我們能夠只用一個變數來表示其 x 坐標及 y 坐標。

再繼續此題的題解：

\begin{align*}
\sqrt{(h – 2)^2 + (2h – 3 – 4)^2} &= \sqrt{(h – 5)^2 + (2h – 3 – 3)^2}\\
h^2 -4h +4 + (2h – 7 )^2 &= h^2 – 10h + 25 + (2h – 6)^2\\
-4h + 4 + 4h^2 -28h + 49 &= -10h + 25 + 4h^2 – 24h + 36\\
-32h + 53 &= -34h + 61\\
-32h + 34h &= 61 – 53\\
2h &= 8\\
h &= 4
\end{align*}

∴The coordinates of the centre = (4, 5).
∴圓心坐標 = (4, 5)

以下是此題目的圖像。留意 AB 的中點 mid-point 既不是圓心，亦不在直線 ##2x -y -3=0## 之上。

附註

1. 如果這點在一曲線而非直線上，只要我們知道這曲線的方程(如二次方程)，這方法亦同樣適用。
2. 這方法其實只是聯立方程的變奏，大家亦可用聯立方程來處理這些問題。

標籤: 坐標

分類: 幾何、坐標及三角學