進階對數 Advanced Logarithm

已知 a = log 2 及 b = log 3， 試以 a 及 b 表示 log 12。

這類題目相信大家都遇過，本文探討這題型所涉及的技巧。

例子: 已知 a = log 2 及 b = log 3，求 log 432。

這類題目就是要我們把 432 寫成以數字 2 和 3 相乘。但問題是 432 到底是由多少個 2 和 3 相乘而成?

解決方法是大家都懂的短除法。只要把 432 不斷用 2 和 3 相除，會得到:

從而得到 432 = 2⁴×3³

題解:

$$\begin{align*}
&\log 432\\
=&\log (2^4 \times 3^3)\\
=&4\cdot \log 2\ + \ 3\cdot \log 3\\
=&4a+3b
\end{align*}$$

技巧二: 運用底數 (Base)

除了題目所提供的數字，其實大家還可以運用 log 的底數來組成題目要求的數字。 而 log 10 的值是 1， 或更準確地說， log_aa = 1。

例: 已知 a = log₈3 及 b = log₈5，求 log₈2880。

除了 3 和 5 ，大家還可以運用底數 8 來組成 2880。

題解:

$$\begin{align*}
&\log_8 2880\\
=&\log_8 (3^2\cdot 5\cdot 8^2)\\
=&2\cdot \log_8 3\ + log_8 \ 5 + \ 2\cdot \log_8 8\\[2pt] =&2a+b+2
\end{align*}$$

技巧三: 小數轉成分數

若遇到小數，大家只須先轉成分數，並運用 ##log\frac{a}{b} = log\ a\ -\ log\ b## 把該分數拆開。

例子: 已知 a = log 2 及 b = log 3，求 log 0.45。

題解:

$$\begin{align*}
&\log 0.45\\
=&\log\frac{9}{20}\\
=&\log\frac{3^2}{2\cdot 10}\\[3pt] =&2\cdot \log 3\ -\ \log 2\ – \log 10\\[3pt] =&2b-a-1
\end{align*}$$

技巧四: 無中生有; 運用 2×5=10

這是最重要的技巧。先看看題目:

例子: 已知 a = log 2 及 b = log 3，求 log 135。

運用短除法，會得到 135 = 3³⋅5。 但題目並沒有提供 log 5的值，應怎麼辦?

雖然題目沒有提供 log 5的值，但是卻提供了 log 2的值，而 5×2 = 10。若果我們強行在數字 5 之後乘上 2，把它變 10。問題便可解決。亦即是

$$\begin{align*}
&\log 135\\[3pt] =&\log (3^3\cdot 5)\\
=&\log\frac{3^3\cdot 5\cdot 2}{2}\\[3pt] =&\log\frac{3^3\cdot 10}{2}\\
\end{align*}$$

我們在分子分母同時乘 2，然後把分子的 5×2 變成 10。整個題解如下:

題解:
$$\begin{align*}
&\log 135\\[3pt] =&\log (3^3\cdot 5)\\
=&\log\frac{3^3\cdot 5\cdot 2}{2}\\[3pt] =&\log\frac{3^3\cdot 10}{2}\\[3pt] =&3\cdot \log 3\ +\ \log 10\ -\ \log 2\\[3pt] =&3b+1-a
\end{align*}$$

若果大家覺得這種無中生有法難以掌握，可以嘗試以下方法。就是把 5 變成 ##\frac{10}{2}##，或者 2 變成 ##\frac{10}{5}##。題解如下:

題解:
$$\begin{align*}
&\log 135\\[3pt] =&\log (3^3\cdot 5)\\
=&\log\Big(3^3\cdot \frac{10}{2}\Big)\\[3pt] =&3\cdot \log 3\ +\ \log 10\ -\log 2\\[3pt] =&3b +1 -a
\end{align*}$$

標籤: Logarithm, 對數

分類: 代數及百分數