二項式定理 Binomial Theorem ─ 通項運用

運用二項式展式中的通項 General Term 找係數 Coefficient 和常數項 Constant Term，在舊制會考的A.Maths中經常出現。而在課本上這技巧往往只以一個簡單例子來說明，絕不起眼。

先看看以下題目:

Find the constant term and the coefficient of ##x^9## in the expansion of ##\Big (2x+\frac{1}{x^2} \Big )^{15}##.

若大家遇到這類題目，大家應運用 General Term 來找答案。而這技巧是所有 M1/M2 的同學必須掌握的。

二項式定理 Binomial Theorem

首先要知道二項式定理的通項 (General Term of Binomial Theorem) 是什麼。以下把該定理以 ∑ 符號形式寫出來。

$$\large (x+y)^n\ =\ \sum_{r=0}^{n} C_{r}^{n} \cdot x^{n-r}y^r$$

在 ∑ 符號之後的就是我們需要的通項。

題解

要說明如何運用這技巧，首先看看此題的題解：

$$\begin{align*}
\textrm{The (r+1)th term} &= C_{r}^{15} \cdot (2x)^{15-r} \Big (\frac{1}{x^2}\Big )^r\\
&= C_{r}^{15} \cdot 2^{15-r} \cdot x^{15-r} \cdot x^{-2r}\\
&= C_{r}^{15} \cdot 2^{15-r} \cdot x^{15-3r}\\
\end{align*}$$

$$\textrm{For constant term,}\\
\begin{align*}
\ \ 15-3r &= 0\\
3r &= 15\\
r &=5\\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore \ \textrm{constant term} &= C_{5}^{15} \cdot 2^{15-5}\\
&= 3075072
\end{align*}$$

$$\textrm{For coefficient of } x^9,\\
\begin{align*}
\ \ 15-3r &= 9\\
3r &= 6\\
r &=2\\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore \ \textrm{coefficient of } x^9 &= C_{2}^{15} \cdot 2^{15-5}\\
&= 860160
\end{align*}$$

思路分析

若把 ##\Big (2x+\frac{1}{x^2} \Big )^{15}## 展開，會得到 16 項。問題是那一項才是常數項 constant term 呢? 方法是從通項入手。

$$\textrm{General Term} = C_{r}^{n} \cdot x^{n-r}y^r$$

首先把已知的變數代入，然後化簡。會得到：

$$\textrm{General Term} = C_{r}^{15} \cdot 2^{15-r} \cdot x^{15-3r}$$

只要仔細觀察通項中 x 的指數，當 r = 3時，整項便會成為常數項。最後把 r = 3 代入通項中的係數部份，便可得到常數項的值。

至於 x⁹ 的係數 coefficient，方法亦是一樣，只要把 x 的指數設為 9，得出對應 r 的值。 再把該值代入通項中的係數部份。

解答步驟

Step 1)
先列出通項，等式的左方須寫 「第(r+1)項」‘The (r+1)^th term’，然後代簡。化解時必須把常數和變數分開，數字歸數字，x歸x。若果 x 出現在分母，應把它轉成負指數。

為什麼要寫 (r+1)^th term 這麼奇怪? 原因是 r 的值是由 0 開始，即是第一項中 r 的值是 0，如此類推，所以項數和 r 的值相差 1。如果還是不明白，同學亦無必要深究這問題，機械式地寫下 The (r+1)^th term 便可。

Step 2)
把 x 的指數設成題目要求的值。若果題目求 x⁹ 的係數，就設為 9。若求常數項則設為 0。然後找出 r 的值。

若果得出 r 不是正整數，就代表展式中根本不存在該項。以往在公開試中亦曾經考過這概念。

Step 3)
把剛得到的值代入通項中的係數部份，只要數字部份，不要寫出 x 部份。即是:

$$\textrm{coefficient of } x^9 = C_{2}^{15} \cdot 2^{15-5}$$

計算該值，最後得到答案。緊記係數只是一個數字，不存在任何變數。所以計算是必須把通項中的變數部份捨去，只抽取當中的係數部份。而答案亦有可能是分數而不是整數。

標籤: binomial, binomial theorem, 二項式

分類: M1專區, M2專區