求垂心 (Orthocentre)坐標的方法

已知三角形的頂點坐標，如何找到這個三角形的垂心(orthocentre)的坐標?

三角形垂心(orthocentre)

先重溫三角形的垂心。三角形的垂心就是三角形高線(altitude)的交點。而高線就是穿過一個頂點並與其對邊互相垂直的直線。

每個三角形都有三條高線，而它們必定相交於一點，該點就是三角形的垂心(orthocentre)。

上圖的 H₁ 及 H₂ 便是三角形的垂心。留意如果該三角形是鈍角三角形，其垂心位於三角形之外。

求垂心坐標

求垂心坐標的方法，就是從高線的性質入手。而高線就是與三角形的其中一條邊互相垂直。參考下圖，假設 H 點是三角形的垂心。藍線的斜率就是線段 CH 的斜率。而該線與線段 AB 互相垂直。因此它們的斜率的積是 −1。 即是

由於每個三角形有三條高線，用同樣方式，可得到三條方程：

$$\begin{cases} m_{\small CH} \cdot m_{\small AB} = -1 \\ m_{\small BH} \cdot m_{\small AC} = -1 \\ m_{\small AH} \cdot m_{\small BC} = -1 \end{cases}$$

只要設垂心的坐標為 (h, k)，任意選取以上方程的其中兩條，建立兩條聯立方程，解方程後便能找到其垂心的坐標。

例子:

已知三點 A(2, 1), B(6, 2) 及 C(4, 4)，求 ΔABC 的垂心的坐標。

題解:

設垂心坐標為 H(h, k)

$$\begin{align*}
m_{\small AH} \cdot m_{\small BC} &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} \cdot \frac{4-2}{4-6} &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} \cdot \frac{2}{-2} &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} \cdot (-1) &= -1\\
\frac{k-1}{h-2} &= 1\\
k-1 &= h-2\\
h &= k+1 …. (1)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
m_{\small BH} \cdot m_{\small AC} &= -1\\
\frac{k-2}{h-6} \cdot \frac{4-1}{4-2} &= -1\\
\frac{k-2}{h-6} \cdot \frac{3}{2} &= -1\\
\frac{k-2}{h-6} &= \frac{-2}{3}\\
3k-6 &= -2h +12\\
2h+3k &= 18 …. (2)
\end{align*}$$

解方程 (1) 及 (2)，得到

∴ 垂心的坐標 = ##\large (\frac{21}{5},\frac{16}{5})##

附註

1. 如果該三角形是鈍角三角形，這方法同樣適用。
2. 如果三角形的其中一條邊是垂直線，該邊的斜率是無定義(undefined)；同樣如其中一條邊是水平線，其斜率是零。在這兩個情況下，均無法建立其相關的方程。因此須要運用另外兩條方程來求取答案。
3. 如下圖所示，該三角形同時擁有垂直線和水平線，應怎樣處理? 答案其實很簡單， A點就是該三角形的垂心。
   

總結

設 H(h, k)為三角形的垂心(Orthocentre)

$$\begin{cases} m_{\small CH} \cdot m_{\small AB} = -1 \\ m_{\small BH} \cdot m_{\small AC} = -1 \\ m_{\small AH} \cdot m_{\small BC} = -1 \end{cases}$$

以上的聯立方程便是求取垂心坐標的方法。留意這方程其實很簡單，不須要死背，第一個斜率就是三角形其中一頂點與垂心之線段的斜率，而第二個斜率就是餘下兩個頂點之線段的斜率。

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標籤: orthocenter, orthocentre, 垂心

分類: 幾何、坐標及三角學