HKCEE 2011 Maths Paper II 題解

##\begin{align*}
&\ 5^{334}\left ( \frac{-1}{5} \right )^{333}\\
=&\ 5^{334}\cdot \frac{-1}{5^{333}}\\
=&\ -5
\end{align*}##

##\begin{align*}
\frac{2+a}{a}&=\frac{2-x}{x}\\
2x+ax&=2a-ax\\
2x+2ax&=2a\\
2x(1+a)&=2a\\
x(1+a)&=a\\
x&=\frac{a}{1+a}
\end{align*}##

##\begin{align*}
&\ (x-2y)(x+2y-2)\\[2pt] =&\ x^2+2xy-2x-2xy-4y^2+4y\\[2pt] =&\ x^2-4y^2-2x+4y
\end{align*}##

只知道 x<y，而不知道它們的正負。在這情況下，我們要考慮四種可能性。

1) 兩者皆為正數 (e.g. x=3, y=5)

2) 兩者皆為負數 (e.g. x=−6, y=−2)

3) x是負數而y是正數,但 ##\left | x \right | \lt \left | y \right |## (e.g. x=−3, y=5)

4) x是負數而y是正數,但 ##\left | x \right | \gt \left | y \right |## (e.g. x=−3, y=2)

選項 (I) 很明顯是正確的。

至於選項 (II) 和 選項 (III)，我們須要考慮上述四種可能性。最簡單的方法是把以上的例子直接代入，以驗證是否在四種情況下皆正確。

選項 (II)

1) ##x=3, y =5##

##\begin{align*}
&\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9},\ \frac{1}{y^2}=\frac{1}{25}\\
&\frac{1}{9} \gt \frac {1}{25}
\end{align*}##

2) ##x=-6, y =-2##

##\begin{align*}
&\frac{1}{x^2}=\frac{1}{36},\ \frac{1}{y^2}=\frac{1}{4}\\
&\frac{1}{36} \lt \frac {1}{4}
\end{align*}##

##\therefore## 選項 (II)錯誤。

選項 (III)

1) ##x=3, y =5##

##\begin{align*}
&x^3=27,\ y^3=125\\
&27 \lt 125
\end{align*}##

2) ##x=-6, y =-2##

##\begin{align*}
&x^3=-216,\ y^3=-8\\
&-216 \lt -8
\end{align*}##

3) ##x=-3, y =5##

##\begin{align*}
&x^3=-27,\ y^3=125\\
&-27 \lt 125
\end{align*}##

4) ##x=-3, y =2##

##\begin{align*}
&x^3=-27,\ y^3=8\\
&-27 \lt 8
\end{align*}##

##\therefore## 選項 (III)正確。

##\begin{align*}
2(1-x)+5\geqslant&17\\
2-2x+5\geqslant&17\\
-2x\geqslant&17-2-5\\
-2x\geqslant&10\\
x\leqslant&-5
\end{align*}##

Let x and y be the price of a pen and a pencil respectively.
設 x 及 y 為一枝原子筆及鉛筆的售價

\begin{cases}
& 5x+4y=46\ ….(1)\\
& 2x+3y=24\ ….(2)
\end{cases}

##(1)\times 2,(2)\times 5##

\begin{array} {cll}
10x+8y&=92 & …..(3)\\
10x+15y&=120 & …..(4)
\end{array}

##(3)-(4),##

##\begin{align*}
8y-15y=&92-120\\
-7y=&-28\\
y=&4
\end{align*}##

##\begin{align*}
2x+3(4)=&24\\
x=&6
\end{align*}##

##\begin{align*}
&\ 3x+2y\\
=&\ 3(6)+2(4)\\
=&\ 26
\end{align*}##

##\begin{align*}
y&=25-(x -3)^2\ ……(1)\\
&=25-(x^2 -6x +9)\\
&= -x^2 +6x +16……(2)
\end{align*}##

##\begin{align*}
-x^2 +6x +16&=0\\
x^2 -6x -16&=0\\
(x -8)(x +2)&=0
\end{align*}##

##x=8\ \text{or}\ x=-2##

B. From equation (2), y-intercept is 16.
  由方程(2)得知，y截距是 16。
C. From equation (1), the equation of axis of symmetry is x=+3.
  由方程(1)得知，對稱軸方程是 x=+3。
D. From equation (1), the y coordinate of vertex is 25.
  由方程(1)得知，頂點 y 坐標是 25。

##\begin{align*}
&\ f(5) -f(3)\\
=&\ (5^2 +2 \cdot 5 +k) – (3^2 +2 \cdot 3 +k)\\
=&\ 25 +10 +k -9 -6 -k\\
=&\ 20
\end{align*}##

$$\begin{align*}
1^\text{st}\text{ term}=&\ 4\\
2^\text{nd}\text{ term}=&\ 4+3\\
3^\text{rd}\text{ term}=&\ 4+3+3\\
…&\\
8^\text{th}\text{ term}=&\ 4+3 \times 7 = 25
\end{align*}$$

##\begin{align*}
&\ 15000\times \left (1+\frac{6\%}{12}\right )^{10\times 12} – 15000\\
=&\ 15000\times (1.005)^{120} – 15000\\[2pt] =&\ $12291
\end{align*}##

Let b and h be the length and width of the rectangle respectively.
設 b 及 h 為長方形的長和闊

$$\begin{align*}
b\cdot (1-20\%)\cdot h(1+k\%)&=bh\\
(0.8)\cdot (1+k\%)&=1\\
1+k\%&=\frac{1}{0.8}\\[2pt] 1+k\%&=1.25\\
k\%&=0.25\\
k\%&=25\%
\end{align*}$$

##\begin{align*}
\frac{2m-n}{m-2n} &= 3\\[2pt] 2m-n &= 3m-6n\\[2pt] 5n &= m\\[2pt] 5 &=\frac{m}{n}\\[2pt] \frac{m}{n} &=\frac{5}{1}\\[2pt] m:n &=5:1
\end{align*}##

##\begin{align*}
a &=\frac{kb}{c^2}\\[2pt] -2 &=\frac{k\cdot 6}{3^2}\\[2pt] -2 &=\frac{6k}{9}\\[2pt] -18 &=6k\\
k &=-3
\end{align*}##

When a=9 and c=4,
$$\begin{align*}
-9 &=\frac{-3b}{4^2}\\[2pt] -9 &=\frac{-3b}{16}\\[2pt] -144 &=-3b\\[2pt] b &=48
\end{align*}$$

##p\approx -4,\ q\approx -2\\
r\approx +1,\ s\approx +5##

##\begin{align*}
&\ (p-q)(r+s)\\
=&\ (-4-(-2))(1+5)\\
=&\ (-2)(6)\\
=&\ -12
\end{align*}##

##\begin{align*}
\sin \theta &=\frac {10}{20}\\
\theta &=30^{\circ}
\end{align*}##

##\begin{align*}
\pi(12)^2\times\frac{\theta}{360} &=48\pi\\[2pt] 144\theta &=17280\\
\theta &=120^{\circ}
\end{align*}##

##\begin{align*}
&\ \text{perimeter 周界}\\
=&\ 2\pi(12)\times\frac{120}{360}+2\times12\\
=&\ 49.1\text{ cm}
\end{align*}##

##\begin{align*}
\text{斜邊} &=\sqrt{5^2+12^2}\\
&=13
\end{align*}##

##\begin{align*}
&\ \text{surface area 表面面積}\\
=&\ (5+12+13) \times 20 + \frac {5 \times 12}{2}\times 2\\
=&\ 660\text{ cm}^2
\end{align*}##

相關文章: 計算柱體總表面面積的小技巧 Total Surface Area of Prism

##\begin{align*}
\frac{4}{3}\pi r^3\cdot \frac{1}{2} &=\pi r^2h\\
\frac{2}{3}r&=h\\
2r&=3h\\
\frac{r}{h}&=\frac{3}{2}\\
r:h&=3:2
\end{align*}##

此題較複雜，請看以下片段。

If x+y=90°, then z=90° 

I)
$$\begin{align*}
\text{LHS}&=\tan x\cdot \tan y\\
&=\frac{BC}{AC}\cdot \frac{AC}{BC}\\
&=1
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{RHS}&=\sin z\\
&=\sin 90^{\circ}\\
&=1
\end{align*}$$

∴ 選項 I 正確。

II)
$$\begin{align*}
\text{LHS}&=\cos y+\cos z\\
&=\frac{BC}{AB} + \cos 90^{\circ}\\
&=\frac{BC}{AB}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{RHS}&=\sin x\\
&=\frac{BC}{AB}
\end{align*}$$

∴ 選項 II 正確。

III)
$$\begin{align*}
\text{LHS}&=\sin^2x+\sin^2y\\
&=\left ( \frac{BC}{AB} \right )^2 + \left ( \frac{AC}{AB} \right )^2\\
&=\frac{BC^2+AC^2}{AB^2}\\
&=\frac{AB^2}{AB^2}\\
&=1
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{RHS}&=\sin^2z\\
&=\sin^290^{\circ}\\
&=1
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

##\begin{align*}
\text{Hypotenuse 斜邊}&=\sqrt{8^2+15^2}\\
&=17
\end{align*}##

##\begin{align*}
&\ \cos \theta -\sin \theta\\[2pt] =&\ \frac {8}{17} -\frac {15}{17}\\[3pt] =&\ \frac {8 -15}{17}\\[3pt] =&\ \frac {-7}{17}
\end{align*}##

##\begin{align*}
\text{In}\ \triangle ABD,\\[2pt] \sin 40^{\circ}&=\frac{AD}{12}\\[3pt] AD&=12\cdot \sin 40^{\circ}\\
\\
\text{In}\ \triangle ADC,\\[2pt] \cos 20^{\circ}&=\frac{AD}{x}\\[3pt] x&=\frac{12\cdot \sin 40^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}\\[3pt] &=8.21
\end{align*}##

##\text{In }\triangle ACB,##

##\begin{align*}
x+x+y+y&=180^{\circ}\\[2pt] x+y&=90^{\circ}
\end{align*}##

The projection of point E on plane ABCD is point D.
∴ The required angle is ∠DBE.

E 點在平面 ABCD 的投影是 D 點
∴ 所需的角是 ∠DBE。

拿起整份試卷，然後逆時針轉90°三次。眼前所見的圖像便是答案。

AC 和 BD 是圖形的反射對稱軸。

留意題目中 CD=DE 這條件並沒有繪畫在圖像中。這是考評局常用的手法！

∵ CE=DE 
∴ ∠CDE=20° 

∵ CD//BA 
∴ ∠DBA=∠CDE=20° 

$$\begin{align*}
\angle DBA + \angle BAE &= \angle AED\\
20^{\circ} + \angle BAE &= 130^{\circ}\\
\angle BAE &= 110^{\circ}
\end{align*}$$

##\begin{align*}
360&=\frac {(n-2)\times 180}{n}\times 3\\[3pt] 360n&=(n-2)\times 540\\
360n&=540n-1080\\
1080&=180n\\
n&=6
\end{align*}##

相關文章：文憑試實戰篇 #7 多邊形性質

方法一:

##\begin{align*}
x&=2\cdot \cos 150^{\circ}\\
&=-\sqrt{3}\\
y&=2\cdot \sin 150^{\circ}\\
&=1
\end{align*}##

##\therefore P(-\sqrt{3},1)##

方法二:

##\begin{align*}
h&=2\cdot \cos 30^{\circ}\\
&=\sqrt{3}\\[6pt] k&=2\cdot \sin 30^{\circ}\\
&=1
\end{align*}##

∵ P點在第二象限
∴ x 坐標是負值，而 y 坐標是正值

P點直角坐標 = ##\small (-\sqrt{3},1)##

##\begin{align*}
x +3y -211&=0\\
3y&= -x +211\\
y&=\frac{-1}{3}x+\frac{211}{3}
\end{align*}\\[6pt] \therefore m_1=\large \frac{-1}{3}##

##\begin{align*}
kx-3y+211&= 0\\
3y&= kx +211\\
y&=\frac{k}{3}x+\frac{211}{3}
\end{align*}\\[6pt] \therefore m_2=\large \frac{k}{3}##

##\begin{align*}
m_1 \cdot m_2 =& -1\\
\frac{-1}{3} \cdot \frac{k}{3}=&-1\\
\frac{k}{9}=&1\\
k=&9
\end{align*}##

直線 ax+y=1:
  x-intercept x截距 = ##\large \frac{1}{a}##
  y-intercept y截距 = 1 
  slope 斜率 = −a 

從其圖像得知斜率是正數，因此 a 是負數，即是選項 A 不正確。

直線 x+by=1:
  x-intercept x截距 = 1 
  y-intercept y截距 = ##\large \frac{1}{b}##
  slope 斜率 = ##\large \frac{-1}{b}##

從其圖像得知斜率是正數，因此 b 是負數，即是選項 B 不正確。

比較兩條直線的斜率。由於直線 ax+y=1 比較斜，所以

$$\begin{align*}
\frac{-1}{b} &\lt -a\\
-1 &\gt -ab\ \ (\because b\lt0)\\
1 &\lt ab\\
ab &\gt 1
\end{align*}$$

相關文章: 文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

##\begin{align*}
&\ \text{The required probability}\\[3pt] =&\ P(10)+P(11)+P(12)\\[3pt] =&\ P(4,6)+P(5,5)+P(6,4)+\\
&\ P(5,6)+P(6,5)+\\
&\ P(6,6)\\[3pt] =&\ \left ( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \right )\times 6\\[3pt] =&\ \frac{1}{6}
\end{align*}##

##\begin{align*}
\frac{70+55+53+56+64+54+x}{7} &= 58\\[2pt] \frac{352+x}{7} &=58\\[2pt] 352+x &= 406\\[2pt] x &= 54
\end{align*}##

The weights are 53,54,54,55,56,64,70

框線圖 box-and-whisker diagram 可直接得到以下資料
1. Lowest Value 最小值
2. Lower Quartile 下四分位數
3. Median 中位數
4. Upper Quartile 上四分位數
5. Highest Value 最大值

從而可間接得到:
6. Range 分佈域
7. Inter-quartile Range 四分位數間距

Range = Highest Value – Lowest Value
42 = 61 – Lowest Value
Lowest Value = 19

分佈域 = 最大值 – 最小值
42 = 61 – 最小值
最小值 = 19

∴ a=9 

∵ Number of data is 24
$$\therefore Q_1=\frac{6^\text{th}\text{data} + 7^\text{th}\text{data}}{2},\ Q_3=\frac{18^\text{th}\text{data}+ 19^\text{th}\text{data}}{2}$$

$$Q_1=\frac{28 + 28}{2} = 28$$

$$\begin{align*}
Q_3 -Q_1 &= 18\\
Q_3 -28 &= 18\\
Q_3 &= 46
\end{align*}$$

∴ b=6 

比較 f(x) 及 f(x−2)−2 

f(x−2) 表示把 f(x) 圖像向右移；
而尾隨的 −2 表示把 f(x) 圖像向下移

觀察各曲線頂點的位置及坐標，D為正確答案。

When x=0,
$$\begin{align*}
y &= 7^{-0}\\
&= 1
\end{align*}$$

##\therefore R(0,1)##

如果 0<a<b，則 log a < log b。

因此只須把各數取 log，然後比較其結果，便可分辨這些數字的大小。

$$\log 1234^{1811}=1811\times \log 1234=5598.3\\
\log 2345^{1711}=1711\times \log 2345=5766.3\\
\log 3456^{1511}=1511\times \log 3456= \color{red}{5346.8}\\
\log 7890^{1411}=1411\times \log 7890=5498.8$$

##\begin{align*}
f\left ( \frac{-1}{2} \right ) &= 0\\
2\left ( \frac{-1}{2} \right ) ^2 +a\left ( \frac{-1}{2} \right ) -3&= 0\\
2\left ( \frac{1}{4} \right ) +\frac{-a}{2} -3&= 0\\
\frac{1}{2} -\frac{a}{2} -3&= 0\\[3pt] 1 -a -6&= 0\\[2pt] a&= -5
\end{align*}##

##\begin{align*}
&\ \text {remainder 餘數}\\
=&\ f(-5)\\
=&\ 2(-5)^2 +(-5)(-5) -3\\
=&\ 2(25) +25 -3\\
=&\ 72
\end{align*}##

緊記最右方第一個數字的位值 place value 是 2⁰ 而非 2¹。

$$\begin{align*}
&\ 1000010000101_2\\
=&\ 2^{12} +2^7 +2^2 +2^0\\
=&\ 2^{12} +2^7 +4 +1\\
=&\ 2^{12} +2^7 +5\\
=&\ 5 +2^7 +2^{12}
\end{align*}$$

題目已提供各線段的方程。而第一步是求各點的坐標。

P點: 從 x−y=7 

y=x−7 
∴ PQ 的 y 截距 = -7
∴ P(0,−7) 

Q點: 解聯立方程
$$\begin{cases}
x-y=7\\
x+y=5
\end{cases}$$

∴ Q(6,−1) 

R點: 把 y=3 代入 x+y=5 
$$\begin{align*}
x+3&=5\\
x&=2
\end{align*}$$∴ R(2,3) 

S點: 顯而易見，其坐標是 (0,3) 

第二步，把各點的坐標代入 2x−3y+35 

\begin{array} {rll}
P: & 2(0)-3(-7)+35 & ={\color{Red}{56}} \\
Q: & 2(6)-3(-1)+35 & =50 \\
R: & 2(2)-3(3)+35 & =30 \\
S: & 2(0)-3(3)+35 & =26 \\
\end{array}

I) ##y\,–x = 1##

從圖像得知，原點 origin 不能滿足所對應的不等式。 把 (0,0) 代入，

##\begin{align*}
\text{LHS} &= (0) -(0)\\
&= 0 \lt 1
\end{align*}##

∴不等式是##\ y – x \geqslant 1 ##

II) ##x + y = 6##

從圖像得知，原點 origin 須要滿足所對應的不等式。 把 (0,0) 代入，

##\begin{align*}
\text{LHS} &= (0) -(0)\\
&= 0 \lt 6
\end{align*}##

∴不等式是##\ x+y \leqslant 6 ##

III) ##x \geqslant 0## 還是 ##y \geqslant 0## ??

y 軸的方程是 ##x=0## ，所以 ##x \geqslant 0## 才正確

##\begin{align*}
T(3)&=42\\
a+(3-1)d&=42…(1)
\end{align*}##

##\begin{align*}
T(12)&=6\\
a+(12-1)d&=6…(2)
\end{align*}##

Solving the equations
解聯立方程

##a=50, d=-4##

##\begin{align*}
S(n)=&\ \frac{(2a +(n -1)d)n}{2}\\[2pt] =&\ \frac{(2\cdot 50 +(n -1)(-4))n}{2}\\[2pt] =&\ \frac{(100 -4n +4)n}{2}\\[2pt] =&\ \frac{104n -4n^2}{2}\\[2pt] =&\ 52n -2n^2
\end{align*}##

Let a and r be the first term and common ratio respectively
設 a 及 r 為首項及公比

##\begin{align*}
a \cdot ar &=18\\
a^2\cdot r &=18\ …(1)\\
\\
ar^2 \cdot ar^3 &=288\\
a^2\cdot r^5 &=288\ …(2)
\end{align*}##

##(2) \div (1),##

##\begin{align*}
\frac{a^2\cdot r^5}{a^2\cdot r} &= \frac {288}{18}\\
r^4&=16\\
r&=2
\end{align*}##

##\begin{align*}
&\ ar^3 \cdot ar^4\\
=&\ a^2r^7\\
=&\ a^2r \cdot r^6\\
=&\ 18 \cdot 2^6\\
=&\ 1152
\end{align*}##

先處理 θ。選項中 θ 只有 60° 和 −60° 兩個選項。從圖像得知，當 x=150，## \cos(x^{\circ}+\theta ) = 0##。

當 x=150, θ=60° 

##\begin{align*}
&\ \cos (150^{\circ}+60^{\circ})\\
=&\ \cos 210^{\circ}\\
=&\ -0.866 \neq 0\\
\end{align*}##

當 x=150, θ=−60° 

##\begin{align*}
&\ \cos (150^{\circ}-60^{\circ})\\
=&\ \cos 90^{\circ}\\
=&\ 0
\end{align*}\\##

∴ 可確定 θ=−60° 

以下是 y=cos x 的圖像。

觀察圖像，當曲線穿過 x軸，到下一個頂點 (y = 1 or −1)，必定相距90°

因此 A點的 x坐標 = 150 + 90 = 240。即是 A點坐標 = (240,4)。

把 (240,4) 代入 ##y=a \cos(x^{\circ}+\theta)##

##\begin{align*}
4=&a \cos(240^{\circ}-60^{\circ})\\
4=&a \cos 180^{\circ}\\
4=&a(-1)\\
a=&-4
\end{align*}##

相關文章：文憑試實戰篇 #14 sin/cos 圖像變換

By Heron’s formula 希羅公式

##\begin{align*}
\text{let}\ s&=\frac{2k +10 +4}{2}\\
&= k +7\\
\\
\end{align*}##
##\begin{align*}
&\ \text{Area 面積}\\
=&\ \sqrt{s(s -a)(s -b)(s -c)}\\
=&\ \sqrt{(k +7)(k +7 -10)(k +7 -4)(k +7 -2k)}\\
=&\ \sqrt{(k +7)(k -3)(k +3)(7 -k)}\\
=&\ \sqrt{(k -3)(k +3)(7 -k)(7 +k)}\\
=&\ \sqrt{(k^2 -9)(49 -k^2)}
\end{align*}##

留意題目中 AE//BE 這條件並沒有繪畫在圖像中。

##\because AE//BE##

##\therefore \angle ADB = \angle EAD = 20^{\circ}##

##\begin{align*}
\angle ACB &= \angle ADB\\
&= 20^{\circ}
\end{align*}##

##\begin{align*}
\angle CFE &= \angle CBD +\angle ACB\\
70^{\circ}&= \angle CBD +20^{\circ}\\
\angle CBD &=50^{\circ}
\end{align*}##

注意: F點並非圓心，所以選項 B 不是正確答案。

Join AC 
連接AC 

##\angle CAB = 90^{\circ}##

##\angle CAD = \angle ABC = 28^{\circ}##

##\text{In }\triangle ADB,##

##\begin{align*}
\angle ADB + 28^{\circ} + 90^{\circ} + 28^{\circ} &= 180^{\circ}\\
\angle ADB &= 34^{\circ}
\end{align*}##

各選項都是由 tan x 及 tan y 組成，所以先求它們的值。

##\begin{align*}
\tan x=&\frac {FG}{GH}\ … (1)\\
\tan y=&\frac {BG}{FG}\ …(2)\\
\tan z=&\frac {GH}{BG}
\end{align*}##

把 (1) 及 (2) 代入各選項中，可得到 B 是正確答案

##\begin{align*}
&\ \frac {1}{\tan x\cdot \tan y}\\[3pt] =&\ \frac {1}{\frac{FG}{GH} \cdot \frac{BG}{FG}}\\[3pt] =&\ \frac {1}{\frac{BG}{GH}}\\[4pt] =&\ \frac{GH}{BG}\\[3pt] =&\ \tan z
\end{align*}##

Let coordinates of centre be (0,a) 
設圓心坐標為 (0,a) 

The circles touches the x-axis.
圓與 x軸相切
∴ The radius 半徑 = ##\left | a \right |##

Equation of the circle 圓方程:

$$\begin{align*}
(x -0)^2 +(y -a)^2&=a^2\\
x^2 +y^2 -2ay +a^2&=a^2\\
x^2 +y^2 -2ay&=0
\end{align*}$$Put (−3,1) to the equation
把(−3,1) 代入方程

$$\begin{align*}
(-3)^2 +(1)^2 -2a(1)&=0\\
9 +1 -2a&=0\\
2a&=10\\
a&=5
\end{align*}$$

##\therefore x^2 +y^2 -10y =0##

嘗試分析題目：當她抽到紅卡便停。如果她只需抽一次，亦即是第一張卡便是紅卡。若果要抽兩次，第一張必定不是紅卡，而第二張必定是紅卡。如此類推。

P(一次) = P(紅卡)
P(兩次) = P(非紅卡) × P(紅卡)
P(三次) = P(非紅卡) × P(非紅卡) × P(紅卡)
…

##\begin{align*}
&\ P(至少三次)\\
=&\ 1 -P(一次) -P(兩次)\\
=&\ 1 -\frac {2}{9} -\frac {7}{9} \times \frac {2}{9}\\
=&\ \frac {49}{81}
\end{align*}##

選項 (I) 及 (II) 很明顯正確，問題在於選項 (III)。留意問題是問「抽樣方法的缺點」 『disadvantages of this sampling method’。根據 wikipedia，抽樣的意思是：

「抽樣（Sampling）是一種推論統計方法，它是指從目標總體（Population，或稱為母體）中抽取一部分個體作為樣本（Sample）」

所以並不須要選取所有顧客為樣本。

I. 如果各組的人數相同，所有學生的平均分才是 70。由於題目並沒有提供該資料，所以選項 (I) 不一定正確。

II. A組的人數是60分，而B組的人數是70分。如果把這兩組學生混合起來，常識告訴我們，他們的平均分將界乎60 – 70 之間 (60<x<70, 不包括等於)。同樣 B組和C組混合後的平均分在 70 – 80 之間。 所以選項 (II) 正確。

III. 很明顯這是錯的。最高分的學生可能在任何一組別中。