HKDSE 2013 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
&\ \big ( 27 \cdot 9^{n+1}\big )^3\\
=&\ \Big ( 3^3 \cdot \big(3^2\big)^{n+1}\Big )^3\\
=&\ \big ( 3^3 \cdot 3^{2n+2}\big )^3\\
=&\ \big ( 3^{2n+5}\big )^3\\[3pt] =&\ 3^{6n+15}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{y\ -\ 1}{c} &= \frac{y+1}{d}\\[2pt] dy-d &= cy + c\\
dy-cy &= c + d\\
y(d-c) &= c+d\\
y &= \frac{c+d}{d-c}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ hl-kl+hm-km-hn+kn\\
=&\ (hl-kl)+(hm-km)-(hn-kn)\\
=&\ l\color{red}{(h-k)}+m\color{red}{(h-k)}-n\color{red}{(h-k)}\\
=&\ (h-k)(l+m-n)
\end{align*}$$

C 是正確。以下列出各選項的正確近似值。

A. 0.050 (correct to 2 significant figures)
B. 0.050 (correct to 3 decimal places)
D. 0.05045 (correct to 5 decimal places)

相關文章：為什麼小數最左手面的零並非有效數字？

$$\begin{align*}
x-\frac{x-1}{2} &\gt 5 & \text{or}&\ & 1&\lt x-11\\
2x-(x-1) &\gt 10 & \text{or}&\ & 1+11&\lt x\\\
2x-x+1 &\gt 10 & \text{or}&\ & x&\gt 12\\
x &\gt 9 & \text{or}&\ & x&\gt 12
\end{align*}\\
\therefore x\gt 9$$

$$\begin{align*}
(x-k)^2 &= 4k^2\\
(x-k)^2 -(2k)^2&= 0\\
\big[(x-k) + (2k)\big] \cdot \big[(x-k) -(2k)\big]&= 0\\
(x+k)(x-3k) &=0\\
x = -k\ \ \text{or}\ \ x&= 3k
\end{align*}$$

從圖像得知 y截距 y-intercept 是 −10。
∴ b=−10

把 (1,0) 代入方程

$$\begin{align*}
0 &= -2(1)^2 +a(1) -10\\
0 &= -2 +a -10\\
a &= 12
\end{align*}$$

方法一: 配方法 Method of completing the square

$$\begin{align*}
&-2x^2+12x-10\\
=& -2(x^2-6x)-10\\
=& -2\Big[x^2-6x+\Big(\frac{6}{2}\Big)^2 -\Big(\frac{6}{2}\Big)^2\Big]-10\\
=& -2\Big[(x-3)^2 -9\Big]-10\\
=&-2(x-3)^2+18-10\\
=&-2(x-3)^2+8\\
\end{align*}$$

頂點 vertex = (3,8)

∴ axis of symmetry 對稱軸是 x = 3

方法二: 運用公式

對於 y = ax²+bx+c， 頂點 vertex x坐標 = ##\large \frac{-b}{2a}##

$$\begin{align*}
\frac{-b}{2a} &= \frac{-12}{2(-2)}\\
&= +3
\end{align*}$$

∴ axis of symmetry 對稱軸是 x = 3

$$\begin{align*}
x(x+3a)+a &\equiv x^2+2(bx+c)\\
x^2 + 3ax + a &\equiv x^2+2bx +2c
\end{align*}$$

Comparing the coefficients,
比較係數，

$$\begin{align*}
3a &= 2b\\
\frac{a}{b} &= \frac{2}{3}\\
a:b &= 2:3
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
a &= 2c\\
\frac{a}{c} &= \frac{2}{1}\\
a:c &= 2:1
\end{align*}$$

$$\begin{eqnarray}
a &: &b &\ &= 2 &: &3 &\ \\
a &\ &\ &: c &= 2 &\ &\ &: 1 \\
\hline{}
a &: &b &: c &= 2 &: &3 &: 1 \\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{align*}
f(-1) &= 0\\
(-1)^{13} -2(-1) + k &=0\\
-1 + 2 + k &=0\\
k &=-1
\end{align*}$$

  Remainder 餘數

Selling Price = Cost × (1 + Profit%)
Selling Price = Cost × (1 – Loss%)

售價 = 成本 × (1 + 利潤%)
售價 = 成本 × (1 – 虧蝕%)

Let x and y be the cost of the two cars
設 x 及 y 是這兩輛汽車的成本。

$$\begin{align*}
80080 &= x \times (1+30\%)\\
x &= 61600\\[12pt] 80080 &= y \times (1-30\%)\\
y &= 114400
\end{align*}$$

  Total Profit 總利潤
= Total Revenue 總收入 − Total Cost 總成本
= (80080 × 2) − (61600 + 114400) 
= −15840

$$\begin{align*}
&\ 50000 \times \Big (1+\frac{8\%}{12}\Big )^{1 \times 12}-50000\\
=&\ 4149.975\\
\approx&\ 4150
\end{align*}$$

##\Large \frac{A_1}{A_2} = \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big )^{\normalsize 2}##

$$\begin{align*}
\frac{36\ \text{cm}^2}{900\ \text{m}^2} &= \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big ) ^2\\[3pt] \frac{36}{900 \times 10000} &= \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big ) ^2\ (\because 1\ \text{m}^2 = 10000\ \text{cm}^2)\\[3pt] \frac{1}{250000} &= \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big ) ^2\\[3pt] \frac{l_1}{l_2} &= \frac{1}{500}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
z &= k \cdot x \cdot \frac{1}{\sqrt y}\\
x &= \frac{1}{k}\sqrt y \cdot z
\end{align*}$$

  New Value of x  x的新值

Percentage Change 百份數變化

相關文章: 變分與百分數變化 Variation and Percentage Change

$$\begin{align*}
x+ay+b &= 0\\
ay &= -x\ -\ b\\[2pt] y &= \frac{-1}{a}x\ -\ \frac{b}{a}
\end{align*}$$

Slope 斜率 = ##\Large \frac{-1}{a}##， y-intercept y截距= ##\Large \frac{-b}{a}##。

I) 從圖像得知，斜率是正數，所以 a 是負數。即是選項 I 正確。
II) 從圖像得知， y-intercept y截距是負數，因此

$$\begin{align*}
\frac{-b}{a} &\lt 0\\
-b &\gt 0\ (\because a\lt 0)\\
b &\lt 0
\end{align*}$$

∴ 選項 II 正確。

III) 從圖像得知，y-intercept y截距 > −1

$$\begin{align*}
\frac{-b}{a} &\gt -1\\
\frac{b}{a} &\lt 1\\
b &\gt a\ (\because a\lt 0)\\
a &\lt b
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

相關文章：文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

$$\begin{align*}
\cos \theta &= \frac{1.5^2+1.5^2-2^2}{2\cdot 1.5 \cdot 1.5}\\
\cos \theta &= \frac{1}{9}\\[3pt] \theta &= 83.621\deg
\end{align*}$$

   所需面積
 = Sector 扇形 AOC 面積 − 紅色三角形面積

相關文章: 弓形面積計算 Area of circular segments

$$\begin{align*}
l^2 &= 3^2 + 4^2\\
l &= 5
\end{align*}$$

  The required surface area 所需表面面積
##=\pi rl + \large \frac{1}{2} \normalsize \cdot 4\pi r^2\\
= \pi \cdot 3 \cdot 5 + \large \frac{1}{2} \normalsize \cdot 4\pi (3)^2\\
=33\pi##

方法一：

$$\begin{align*}
AD:BC &= 2:3\\
&= 4:6
\end{align*}$$

設 AD=4，BE=EC=3

從 ΔFEC 面積，

而圖中兩個塗了顏色的三角形相似(similar)，因此

  ABCD 面積

方法二：

參考《文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題》所述之方法，便可快捷地找到以下各個三角形的面積。

參考下圖，ΔABE 及 ΔAEC 的面積相同，因為它們的高和底長度相同。

$$\begin{align*}
\therefore x &= 48 +36\\
&= 84
\end{align*}$$

  ABCD 面積

相關文章: 文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題

根據題目所題供的資料，可以推斷圖中所示四隻綠色角數值相同。其解釋如下：

1) AD=AB⇒∠ADE=∠ABD 
(base ∠s,isos Δ 等腰三角形底角)

2) AD//BC⇒ ∠ADE=∠DBC 
(alt. ∠s, AD//BC 錯角，AD//BC)

3) ∠DAC=∠DBC 
(∠s in the same segment 同弓形內的圓周角)

In ΔADE,

In ΔABD,

Step 1) 先找圖中 θ 及 α 的值。

Step 2) 由於 OP=OQ，所以下圖中兩隻紅色角相等。

Step 3) 最後找下圖中的藍色角 γ。

∴ S27°E 

Sum of interior angles 內角和 = (n − 2)×180° 
Sum of exterior angles 外角和 = 360° 

$$\begin{align*}
\frac{(n – 2)\times 180\deg}{n} &= \frac{360\deg}{n}\times 4\\[2pt] (n – 2) \times 180\deg &= 1440\deg\\
n-2 &= 8\\
n &= 10
\end{align*}$$

I) n=10，所以選項 I 正確。
II) Diagonal 對角線數目 = ##C_2^{10} – 10 = 35##，所以選項 II 錯誤。
III) 很明顯這是正確。

相關文章：文憑試實戰篇 #7 多邊形性質

留意 8²+15²=17²，所以 ΔABC 是直角三角形 Right-Angled Triangle.

##\cos A = \Large \frac{8}{17}\\[3pt] \cos C = \Large \frac{15}{17}\\##

$$\begin{eqnarray}
\cos A:\cos C &=& \frac{8}{17}&:\frac{15}{17}\\[3pt] &=&\ 8&:15
\end{eqnarray}$$

I)

∴ 選項 I 正確。

II)

當 45° < x < 90°， sin x > cos x

∴ sin x − cos x > 0

∴ 選項 II 錯誤。

III)

當 0° < x < 90°，sin x 及 cos x 均是正數。

∴ 選項 III 正確。

方法一: Let coordinates of P be (x,y).
設 P點坐標為 (x,y)。

$$\begin{align*}
AP &= BP\\
\sqrt{(2-x)^2 + (5-y)^2} &= \sqrt{(4-x)^2 + (-1-y)^2}\\
4 -4x + x^2 + 25 -10y + y^2 &= 16 -8x +x^2 +1 +2y +y^2\\
29 -4x -10y &= 17 -8x +2y\\
29 -4x -10y -17 +8x -2y &= 0\\
4x -12y +12 &=0\\
x -3y +3 &=0
\end{align*}$$

方法二: P 的軌跡 Locus 是 AB 的垂直平分線 Perpendicular Bisector。

  Mid-point of AB 
  AB 的中點
##=\Big (\Large \frac{2+4}{2}\normalsize , \Large \frac{5-1}{2}\normalsize \Big)\\
=(3,2)
##

$$\begin{align*}
m_{AB} &= \frac{5+1}{2-4}\\
&= -3
\end{align*}$$

Equation of P 
P的方程$$\begin{align*}
y-2 &= \frac{-1}{-3}(x-3)\\
-3y+6 &= -x + 3\\
x -3y + 3 &=0
\end{align*}$$

相關文章：常見軌跡 Common Loci

留意 ##x^2## 及 ##y^2## 的係數 coefficients 並非 1，因此先要把整條等式除 2。

$$\begin{align*}
2x^2 +2y^2 -4x +8y -5 &= 0\\
x^2 + y^2 -2x +4y -\frac{5}{2} &=0
\end{align*}$$

圓心 centre = (1,−2) 

I) 半徑 radius

∴ 選項 I 錯誤。

II) Mid-point of PQ

Distance between the mid-point and the centre
中點和圓心之距離

∴ 選項 II 正確。

III) 方法一: 參考下圖，先計算三角形各條邊長，然後用 cosine formula 餘弦公式找出 ∠PGQ。此方法步驟較多，但直接易明。

$$\begin{align*}
PG &= \sqrt{(-1-1)^2 +(2+2)^2}\\
&=\sqrt{20}\\[8pt] GQ &= \sqrt{(1-4)^2 +(-2-0)^2}\\
&=\sqrt{13}\\[8pt] PQ &= \sqrt{(-1-4)^2 +(2-0)^2}\\
&=\sqrt{29}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\cos \angle PGQ &= \frac{(\sqrt{20})^2 +(\sqrt{13})^2 -(\sqrt{29})^2}{2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{13}}\\[3pt] \angle PGQ &= 82.9\deg
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

方法二: 運用 Slope 斜率和 Inclination 傾角之關係。

tan θ = Slope 斜率  (0° ≤ θ < 180°)

$$\begin{align*}
\tan \alpha &= m_{\small PG}\\[3pt] \tan \alpha &= \frac{2 +2}{-1 -1}\\[3pt] \tan \alpha &= -2\\[2pt] \alpha &= 116.565\deg\\[10pt] \tan \beta &= m_{\small GQ}\\[3pt] \tan \beta &= \frac{-2 -0}{1 -4}\\[3pt] \tan \beta &= \frac{2}{3}\\[2pt] \beta &= 33.69\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle PGQ &= \alpha -\beta\\
&= 116.565\deg -33.69\deg\\
&= 82.9\deg
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

Both numbers must be odd.
兩個數都須要是奇數

$$\begin{align*}
P(\text{both odd}) &=\frac{4}{7} \times \frac{3}{6}\\[3pt] &=\frac{2}{7}
\end{align*}$$

數據中已存在兩個「5」，但眾數 mode 卻是 14，因此 x、y、z 之中最少含有兩個「14」。

假設 x 和 y 的值是 14。 由於平均值=8

$$\begin{align*}
\frac{14 +6 +4 +5 +7 +5 +14 +14 +z}{9} &= 8\\[3pt] z &=3
\end{align*}$$

把所有數據由小至大排列:

3,4,5,5,6,7,14,14,14 

Median 中位數 = 6。

這題應該不用解釋吧！但為何只得八成考生答對？

$$\begin{align*}
\text{Min. 最小值} &= 40\\
Q_1 &= 44\\
\text{Median 中位數} &= 52\\
Q_3 &= 65\\
\text{Max. 最大值} &= 95
\end{align*}$$

觀察這些數字的差距， 例如 Q₁ 和最小值相差 4，而最大值和 Q₃ 相差 30，從而可判斷選項 D 是正確答案。

A) The profit from the sales of pencils of both shops are 10% of their own total profits. Since the values of their total profits are not known, the actual values of the profits from the sales of pencils cannot be determined.

兩間文具店從銷售鉛筆所得的利潤都各自佔它們的總利潤的 10%，但文具店的總利潤卻沒有提供，因此無法判斷從銷售鉛筆的利潤的實際數字。

B)
Angle of Sector of pens and notebooks
原子筆和筆記簿所佔的圓心角
= 360° −162° −36° −68° 
= 94° 

Angle of Sector of rulers and pencil
間尺和鉛筆所佔的圓心角
= 68° +36° 
= 104° 

前者的數字較小，所以選項 B 正確。

C)

D)

$$\begin{eqnarray}
a^2 +4a +4 &= &\ &(a +2)^2 &\ \\
a^2 -4 &= &(a -2) &(a +2) &\ \\
a^3 +8 &= &\ &(a +2) &(a^2 -2a +4)
\end{eqnarray}$$

$$\text{LCM} = (a-2) (a+2)^2 (a^2 -2a +4)$$

把 (0,3) 代入方程。

$$\begin{align*}
y &= a \cdot b^0\\
3 &= a \cdot b^0\\
a &= 3
\end{align*}$$

由於曲線趨近 x 軸，因此 0<b<1。

$$\begin{align*}
y &= a \cdot b^x\\
\log_7 y &= \log_7(a \cdot b^x)\\
\log_7 y &= \log_7 a + \log_7 b^x\\
\log_7 y &= \log_7 a + (\log_7 b) \cdot x\\
\log_7 y &= (\log_7 b) \cdot x + \log_7 a\\
\end{align*}$$

Slope of the straight line 直線的斜率
= log₇ b 

由於 0<b<1，所以 Slope 斜率是負數。

y-intercept y截距
= log₇ a 
= log₇ 3 
=0.564 

即是 y-intercept y截距是正數。

綜合 Slope 斜率和 y-intercept y截距的正負，選項 B 為正確答案。

緊記最右方第一個數字的位值 place value 是 16⁰ 而非 16¹。

$$\begin{align*}
&\text{A00000E00011}_{16}\\
=&10\times16^{11} +14\times16^5 +1\times16^1 +1\times16^0\\
=&10\times16^{11} +14\times16^5 +16 +1\\
=&10\times16^{11} +14\times16^5 +17\\
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

$$\begin{cases}
x -\log y = 2\\[2pt] x^2 -\log y^2 -10 = 2
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x = \log y +2&\cdots (1)\\[2pt] x^2 -2\cdot \log y = 12&\cdots (2)
\end{cases}$$

Sub. (1) into (2)
把 (1) 代入 (2)

$$(\log y +2)^2 -2\cdot \log y =12$$

設 Let u=log y.

$$\begin{align*}
(u+2)^2 -2u &=12\\
u^2 +4u +4 -2u &=12\\
u^2 +2u -8 &=0\\
u=-4\ \ \text{or}\ \ u &=2
\end{align*}$$

$$\begin{array} {rlcrl}
u &= -4 &\ \text{or}\ &u&=2\\
\log y &= -4 &\ \text{or}\ &\log y&=2\\
y &= 10^{-4} &\ \text{or}\ &y&=10^2\\
y &= \large \frac{1}{10000} &\ \text{or}\ &y&=100\\
\end{array}$$

題目所給資料的意思是 α 及 β 是 3x=x²−5 這方程的根 root。

$$\begin{align*}
3x &= x^2 -5\\
0 &= x^2 -3x -5\\
x^2 -3x -5 &=0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\alpha \beta &=\frac{-5}{1}\\[2pt] &= -5
\end{align*}$$

##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

$$\begin{align*}
&i +2i^2 +3i^3 +4i^4\\
=&i +2(-1) +3(-i) + 4(1)\\
=&i -2 -3i + 4\\
=& 2 -2i
\end{align*}$$

real part 實部 = +2 

解聯立方程後，各交點坐標如下:

W=(2,5)
X=(2,0)
Y=(5,0)
Z=(6,4) 

然後把各點代入 3y−4x+15 中，

$$\begin{eqnarray}
W:& 3(5)-4(2)+15 &=& \color{red}{22}\\
X:& 3(0)-4(2)+15 &=& 7\\
Y:& 3(0)-4(5)+15 &=& {-5}\\
Z:& 3(4)-4(6)+15 &=& 3
\end{eqnarray}$$

W 點的值最大，因此答案是 C。

I)

因為 22 是正整數，所以選項 I 正確。

II)

∴ 只有9項是負數。選項 II 錯誤。

III)

$$\begin{align*}
S(n) &= \big [2a +(n-1)d \big ]\cdot \frac{n}{2}\\
&= \big [2(-17) +(n-1)2\big ]\cdot \frac{n}{2}\\
&= \big [-34 +2n -2]\cdot \frac{n}{2}\\
&= \big (2n -36 \big )\cdot \frac{n}{2}\\[2pt] &= n^2 -18n
\end{align*}$$

∴ 選項 III 正確。

I) 把 (2,0) 代入方程

$$\begin{align*}
2 &= h +k\cdot \tan(2\cdot0)\\
h &=2
\end{align*}$$

∴ 選項 I 正確。

II) tan 的圖像是向上升，但題目的圖像卻是向下降。因此可推斷 k 是負數。所以選項 II 正確。

III)
方法一: 比較等式左右兩方的正負。

右方 ##RHS=\large \frac{1}{k}##，由於 k 是負數，因此右方是負數。

至於左方，tan 90°是無定義，其對應的圖像曲線在這點會趨向 +∞ 或 -∞。但題目中的曲線並無趨向無限大，因此可推斷 2α<90°，即是 α<45°。而等式左方是 tan α，亦即是正數。

由於左右兩方的正負不相同，因此選項 III 錯誤。

方法二：

參考上圖，在曲線上作一點 P，其坐標是 ## \big (\large \frac{\alpha}{2}\normalsize ,b\big )##。把該點代入方程。

$$\begin{align*}
y &= h +k\cdot \tan(2x)\\
b &= 2 +k\cdot \tan(2\cdot\frac{\alpha}{2})\\
b -2 &= k\cdot \tan(\alpha)\\
\tan \alpha &= \frac{b-2}{k}
\end{align*}$$

從圖像得知 b<2，因此 (b−2) 必定是負數，亦即是無可能等於 +1。因此選項 III 錯誤。

正四面體 Regular Tetrahedron 性質:

• 每條邊長度相同
• 每個面都是等邊三角形 equilateral triangle

解題步驟如下:
1) 設邊長為 x 
2) 求 OB 長度 (Express in x 以 x 表示)
3) 運用畢氏定理(ΔDBO)求 x 
4) 求底面積，然後再求體積

In ΔOBC,

In ΔDBO,

Base Area 底面積 (ΔABC面積)

Volume 體積

相關文章: 正四面體的高和邊長的關係

基於 OC=OB(半徑) 及圓形性質，可找到下圖所示的角的數值。

由於 DE 是切線 Tangent。所以 ∠BAE=∠ACB (∠ in alt. segment 交錯弓形的圓周角)，即是 ∠BAE=x+28°。

因為 AB 是角平分線 Angle Bisector，
$$\begin{align*}
\angle BAE &= \angle CAB\\
x+28\deg &= 62\deg\\
x &= 34\deg\\
\end{align*}$$

可參考以下片段的講解。

$$\begin{cases}
x^2+y^2+2x-2y-7=0\ …(1)\\
3x-4y+k=0\ …(2)
\end{cases}$$

From (2),
$$y=\frac{3x+k}{4}\ …(3)$$

Sub. (3) into (1)
把 (3) 代入 (1)

$$\begin{align*}
x^2+\Big(\frac{3x+k}{4}\Big)^2+2x-2\Big(\frac{3x+k}{4}\Big)-7 &=0\\
x^2+\frac{9x^2+6kx+k^2}{16}+2x-\frac{3x+k}{2}-7 &= 0\\
16x^2+9x^2+6kx+k^2+32x-8(3x+k)-112 &=0\\
25x^2+6kx+k^2+32x-24x-8k-112 &= 0\\
25x^2+6kx+8x+k^2-8k-112 &=0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\Delta &\geq 0\\
(6k+8)^2-4(25)(k^2-8k-112) &\geq 0\\
-64k^2+896k+11264 &\geq 0\\
k^2-14k-176 &\leq 0\\
(k+8)(k-22) &\leq 0\\
\end{align*}$$

$$\therefore -8\leq k \leq 22$$

Circumcentre is located at the intersection of perpendicular bisector.
外心位於重直平分線的交點。

圖中 y=6 這直線是線段 OA 的重直平分線 perpendicular bisector。因此三角形的外心 circumcentre 必定在該線上。所以其 y坐標 = 6。

相關文章: 求外心 (Circumcentre)坐標的方法

$$\begin{align*}
&\ P_3^3 \times P_5^5\\
=&\ 720
\end{align*}$$

I) 在每個數據加上相同的常數。
  Standard Deviation 標準差維持不變 

II) 在每個數據乘上相同的常數 k。
  Standard Deviation 標準差為原來的 k倍。
  Variance 方差為原來的 k²倍。

New Variance 方差新值
= 原值 × (3)² 
= 13 × 9 
= 117 

相關文章: 標準差 Standard Deviation 公式的意義