HKDSE 2014 Paper I Q15 題解

Thomas 講解 HKDSE 2014 數學科卷一第15題。此題涉及 log 的計算。而今次會採用有別於評卷參考所示的方法來求取答案。

題解:

方法一:

let c be the intercept on the vertical axis.
設 c 為垂直軸上的截距。

$$\begin{align*}
\text{slope}=\frac{c-0}{0-3}&=\frac{-1}{3}\\
c&=1\\
\end{align*}$$

At point B, log₄ x=0, log₈ y=1 $$\begin{align*}
\log_4x&=0&\ \log_8y&=1\\
x&=4^0& y&=8^1\\
x&=1& y&=8
\end{align*}$$

$$\text{Let}\ y=Ax^k…(1)$$

$$\text{Sub.}\ x=1,\ y=8\ \text{into}\ (1)$$

$$\begin{align*}
8 &= A(1)^k\\
8 &= A\\
A &=8
\end{align*}$$

At point A, log₄ x=3, log₈ y=0 $$\begin{align*}
\log_4x&=3&\ \log_8y&=0\\
x&=4^3& y&=8^0\\
x&=64& y&=1
\end{align*}$$

$$\text{Sub.}\ x=64, y=1,\ A=8\ \text{into}\ (1)$$

$$\begin{align*}
1 &= 8(64)^k\\
\frac{1}{8} &= 64^k\\
k &=\frac{\log\frac{1}{8}}{\log 64}\\
k &=\frac{-1}{2}
\end{align*}$$

$$\therefore y=8x^{-\frac{1}{2}}$$

方法二:

直線通過 (3,0)，而斜率 slope = ##\frac{-1}{3}##。

參考 ##y -y_1 = m (x -x_1)##

$$\begin{align*}
(\log_8 y -0) &= \frac{-1}{3} (\log_4 x -3)\\
\log_8 y &= \frac{-1}{3} \cdot \log_4 x +1\\[3pt] \frac{\log y}{\log 8} &= \frac{-1}{3} \cdot \frac{\log x}{\log 4} +1\\[3pt] \frac{\log y}{\log 2^3} &= \frac{-1}{3} \cdot \frac{\log x}{\log 2^2} +1\\[3pt] \frac{\log y}{3\log 2} &= \frac{-\log x}{6\log 2} +1\\[3pt] \log y &= \frac{-1}{2} \log x+3\log 2\\[3pt] \log y &= \log x^{\frac{-1}{2}}+\log 2^3\\[3pt] \log y &= \log 8x^{\frac{-1}{2}}\\[3pt] y &= 8x^\frac{-1}{2}
\end{align*}$$

標籤: log, Logarithm, 對數

分類: 計數機應用及歷屆試題