HKDSE 2014 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
&\ \big (2n^3\big )^{-5}\\[2pt] =&\ 2^{-5}n^{-15}\\
=&\ \frac{1}{2^{5}n^{15}}\\[3pt] =&\ \frac{1}{32n^{15}}\\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ u^2 -v^2 -5u +5v\\
=&\ u^2 -v^2 -(5u -5v)\\
=&\ (u -v)(u +v)-5(u -v)\\
=&\ (u -v) (u +v -5)
\end{align*}$$

方法一：比較係數
$$\begin{align*}
\text{LHS} &= px(x -1) +x^2\\
&=px^2 -px +x^2\\
&=\color{green}{(p+1)}x^2 \color{blue}{-p}x\\[10pt] \text{RHS} &= qx(x -2) +4x\\
&= qx^2 -2qa +4x\\
&= \color{green}{q}x^2 + \color{blue}{(4 -2q)}x
\end{align*}$$

Comparing the coefficient of like terms,
比較同類項係數，

$$\begin{cases}
p +1 = q\\
-p =4 -2q
\end{cases}$$

Solving 解聯立方程，

$$p=2, q=3$$

方法二：
對於恆等式，x 是任何數值，該等式均成立。
Since it is an identity, the equality is always true regardless of values of x.

When x = 2,

$$\begin{align*}
p(2)(2 -1) + 2^2 &= q(2)(2 -2) +4(2)\\
2p +4 &= 0 +8\\
2p &= 4\\
p & =2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
x^2 +ax +a & =1\\
x^2 +ax +a -1 &= 0\\
\end{align*}$$

Since it has equal roots,
因為方程有等根，

$$\begin{align*}
\Delta &= 0\\
(a)^2 -4 (1) (a -1) &=0\\
a^2 -4a +4 &=0\\
a &= 2\text{ (double roots)}\\
\end{align*}$$

m 是 x² 的係數 coefficient，正數代表開口向上，負數則開口向下。從圖像的開口方向得知，m 是正數。

n 是常數項 constant term，亦即是拋物線的 y截距 y-intercept。而從圖得知 n 是負數。

∴ m>0  and  n<0 

相關文章: 文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

I) 如果 a = 2, b = −3，
  a² = 4
  b² = 9
  ∴ a² < b²

因此選項 I 錯誤。

II) 很明顯是正確。

III) 由於 ##\large \frac{1}{k^2}## 必定是正數，所以選項 III 正確。

$$ -3x \lt 6 \lt 2x $$

$$\begin{align*}
-3x \lt 6\ \ &\text{and}\ \ 6 \lt 2x\\
x \gt \frac{6}{-3}\ \ &\text{and}\ \ \frac{6}{2} \lt x\\
x \gt -2\ \ &\text{and}\ \ 3 \lt x\\[3pt] -2 \lt x\ \ &\text{and}\ \ 3 \lt x
\end{align*}$$

$$\therefore 3 \lt x $$

Let x and y be the price of a bowl and a cup respectively.
設 x 及 y 分別為一隻碗及一隻杯的售價。

$$\begin{cases}
2x +3y = 506&…(1)\\
5x = 4y&…(2)
\end{cases}$$

From (2),

$$y = \frac{5x}{4}\ …(3)$$

Sub (3) into (1),
把 (3) 代入 (1)，

$$\begin{align*}
2x + 3\times \frac{5x}{4} &= 506\\
2x + \frac{15x}{4} &=506\\
8x + 15x &= 2024\\
23x &= 2024\\
x &= 88
\end{align*}$$

根據題目的資料，可得到以下的數學關係：

男工人數目 = 女工人數目 × (1−20%)

註: (1−20%) 應與「比 / than」之後的個體(即是女工人)相乘。

Let x and y be the number of male and female worker respectively.
設 x 及 y 分別為男工人和女工人的數目。

$$\begin{cases}
x = y \times (1 -20\%)&\cdots (1)\\
x +y = 792&\cdots (2)
\end{cases}$$

Sub (1) into (2),
把 (1) 代入 (2)，

$$\begin{align*}
0.8y + y &= 792\\
y &= 440
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
x &= 792 -440\\
&= 352
\end{align*}$$

根據題目的資料，可得到以下的數學關係：

  原本面積 × (1−90%) = 新面積

Let r and θ be the radius and angle of the sector respectively.
設 r 及 θ 分別為扇形的半徑及角。

$$\begin{align*}
\pi r^2 \times \frac{\theta}{360} \times (1 -90\%) &= \pi \Big [r \times (1 -50\%)\Big ]^2 \times \frac{\theta \times (1 – x\%)}{360}\\[4pt] r^2\ \times \theta \times (1 -90\%) &= [0.5r]^2 \times \theta \times (1 -x\%)\\
0.1r^2\ \times \theta &= 0.25 r^2 \times \theta \times (1 -x\%)\\
0.1 &= 0.25 (1 -x\%)\\
\frac{0.1}{0.25} &= 1 -x\%\\
x\% &= 1 -\frac{0.1}{0.25}\\
x\% &= 0.6\\
x\% &= 60\%\\
x &= 60
\end{align*}$$

闊度的範圍: 7.5cm – 8.5cm
長度的範圍: 9.5cm – 10.5cm

面積下限: 7.5 × 9.5 = 71.25cm²
面積上限: 8.5 × 10.5 = 89.25cm²

至於選項 A 和 B 之分別，大家要記住:「下限包括等於而上限則不包」。所以正確答案是 A。

相當文章: 重溫量度誤差 Measurement Error

方法一：

已知 ##\large\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}##，則 ##a:b:c = x:y:z##

$$\begin{eqnarray*}
\frac{4}{5a} &= \frac{5}{7b} &= \frac{7}{9c}\\[5pt] \frac{\frac{4}{5}}{\ a\ } &= \frac{\frac{5}{7}}{\ b\ } &= \frac{\frac{7}{9}}{\ c\ }\\
\end{eqnarray*}$$

$$\begin{align*}
a:b:c &= \frac{4}{5} : \frac{5}{7} : \frac{7}{9}\\[3pt] &= \frac{4}{5} \times 315 : \frac{5}{7} \times 315 : \frac{7}{9}\times 315 \\[3pt] &=252 : 225 : 245
\end{align*}$$

∴ b < c < a

方法二：

假設 a=1。

$$\begin{align*}
\frac{4}{5a} &= \frac{5}{7b}\\[3pt] \frac{4}{5(1)} &= \frac{5}{7b}\\[3pt] b &= \frac{25}{28}\\[3pt] &\approx 0.89
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{4}{5(1)} &=\frac{7}{9c}\\[3pt] c &= \frac{35}{36}\\[3pt] &\approx 0.97
\end{align*}$$

∴ b < c < a

$$\begin{align*}
z &= \frac{ky^3}{x}\\[4pt] \frac{xz}{y^3} &= k\\[4pt] \frac{y^3}{xz} &= \frac{1}{k}\\
\end{align*}$$

註: 等式右方是 ##\large \frac{1}{k}##，只要當中不涉及任何變數(如 x,y,z)，它就是常數 constant。

已知 ##a_{n+2} = a_{n+1} + a_n##。

當 n = 2，

當 n = 3，

設 Let AB = AE = x

△BAE 面積 ##=\Large \frac{x^2}{2}##

In △BAE,

$$\begin{align*}
BE^2 &= AB^2 + AE^2\\
16^2 &= x^2 + x^2\\
256 &= 2x^2\\
x^2 &= 128
\end{align*}$$

ABCDE 面積:

$$\begin{align*}
=&\ 16^2 -\frac{x^2}{2}\\[4pt] =&\ 256 -\frac{128}{2}\\[4pt] =&\ 192 \text{ cm}^2
\end{align*}$$

16. C (33%)

根據題目的資料，很明顯下圖兩個紅色三角形是全等 (RHS)。

從而可找到以下角度：

再由此，可以證明 △DFG≅△DFE (SAS)：

∴∠DFE=∠DFG=70°

17. D (24%)

先說明兩個基礎知識：

1) 參考下圖，已知 DE // BC 及 AE:EC=2:3，求四邊形 BCED的面積。

很明顯 △ADE∼△ABC。

Let the area of BCED be x cm².
設 BCED 的面積為 x cm²。
$$\begin{align*}
\frac{A_1}{A_2} &= \Big ( \frac{l_1}{l_2} \Big )^2\\[4pt] \frac{\text{Area of }\triangle ADE}{\text{Area of }\triangle ABC} &= \Big ( \frac{AE}{AC} \Big )^2\\[4pt] \frac{4}{4+x} &= \Big ( \frac{2}{2+3} \Big )^2\\[4pt] \frac{4}{4+x} &= \frac{4}{25}\\[2pt] x &= 21
\end{align*}$$

2) 等高三角形面積比

參考下圖，兩個相鄰三角形 △ABC 及 △BDC，它們的高度相同(即是 h)，所以它們面積之比等於底邊長度之比。這概念在公開試經常出現。

$$\begin{align*}
\frac{\text{Area of }\triangle ABC}{\text{Area of }\triangle BDC} &= \frac{\frac{AB \cdot h}{2}}{\frac{BD \cdot h}{2}}\\[3pt] &= \frac{AB}{BD}
\end{align*}$$

回到原本的題目，先把 CD 延長至 F 點。参考下圖，紅色部分的圖形其實和上述 1) 的情況完全相同，因此 ABDF 的面積是 21 cm²。

然後再看綠色部分，△EFD 及 △EDC 正是相鄰三角形，它們面積的比等於底邊的比 (FD:DC)。

而基於相似三角形的性質，

$$\begin{align*}
FD:DC &= AB:BC\\
&= 3:2\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{\text{Area of }\triangle EFD}{\text{Area of }\triangle EDC} &= \frac{FD}{DC}\\[4pt] \frac{\text{Area of }\triangle EFD}{8} &= \frac{3}{2}\\[4pt] \text{Area of }\triangle EFD &= \frac{3}{2} \cdot 8\\[4pt] \text{Area of }\triangle EFD &= 12
\end{align*}$$

∴ ABDE 面積 = 21+12 = 33 cm² 

18. A (39%)

參考圖像
Referring to the figure,

$$\begin{align*}
\angle BDC &= 90^{\circ} -(90^{\circ} -\theta)\\
&= 90^{\circ} -90^{\circ} + \theta\\
&= \theta
\end{align*}$$

In △ADB,

$$\begin{align*}
\tan \theta &= \frac{DB}{AB}\\[3pt] \tan \theta &= \frac{DB}{l}\\[3pt] DB &= l \cdot \tan \theta
\end{align*}$$

In △DCB,

$$\begin{align*}
\cos \angle BDC &= \frac{CD}{DB}\\[3pt] \cos \theta &= \frac{CD}{l\cdot \tan \theta}\\[3pt] CD &= l \cdot \cos \theta \cdot \tan \theta\\
CD &= l \cdot \cos \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\\
CD &= l \cdot \sin \theta
\end{align*}$$

19. A (54%)

方法一:

$$\begin{align*}
&\ \big ( \cos(90^{\circ} + \theta) + 1 \big ) \big( \sin(360^{\circ} -\theta) -1 \big )\\
=&\ ( -\sin \theta + 1) (-\sin \theta -1)\\
=&\ \sin^2\theta -1\\
=&\ -\cos^2\theta\ \ \ (\because \sin^2\theta +\cos^2\theta=1)
\end{align*}$$

方法二: 隨意選擇一個數值代入 θ。例如 θ = 10°

$$\begin{align*}
&\ \big ( \cos(90^{\circ} + \theta) + 1 \big ) \big( \sin(360^{\circ} – \theta) -1 \big )\\
=&\ (\cos 100^{\circ} + 1) (\sin 350^{\circ} -1)\\
=&\ \color{red}{-0.9698}
\end{align*}$$

再把同一數值代入各選項中:

$$\begin{eqnarray}
\text{A.}& -\cos^2 10^{\circ} &= \color{red}{-0.9698}\\
\text{B.}& -\sin^2 10^{\circ} &= -0.0302\\
\text{C.}&\ \cos^2 10^{\circ} &= 0.9698\\
\text{D.}&\ \sin^2 10^{\circ} &= 0.0302
\end{eqnarray}$$

選項 A 的數值 (−0.9698) 和問題中的代數式的值相同，所以選項 A 是正確答案。

相關文章：文憑試實戰篇#1 選擇題: 化簡涉及 sin/cos 的代數式

20. B (68%)

把 CD 連接。由於 AC 是直徑，
所以 ∠ADC = 90°。

而 BCDE組成圓內接四邊形 (cyclic quadrilateral)，
因此其對角和=180°。

$$\begin{align*}
\theta + 90^{\circ} + 28^{\circ} &= 180^{\circ}\\
\theta &= 180^{\circ} – 90^{\circ} – 28^{\circ}\\
\theta &=62^{\circ}
\end{align*}$$

下圖是題目提供的資料。留意AB、CD及EF都是圓上的弦線 (chords)。而已知它們的長度相同。

設這些弦線的中點(mid-points)為 M₁、M₂及M₃。如果從圓心連接至這些中點，這些線段長度相同 (equal chords, equidistant from centre 相等的弦與圓心等距)。參考下圖，三條藍色線段長度相同，並且和紅色線段互相垂直。

由此可證明下圖所示兩對相同顏色的三角形全等(RHS)。

由此可以證明：

$$\begin{align*}
\angle PQO &= \angle OQR\\
\angle PRO &= \angle ORQ
\end{align*}$$

In △PRQ,

In △ORQ,

Sum of interior angles 內角和 = (n − 2)×180° 
Sum of exterior angles 外角和 = 360° 

$$\begin{align*}
\frac{(n-2) \times 180}{n} -\frac{360}{n} &= 100\\[2pt] (n-2) \times 180 -360 &= 100n\\
180n -360 -360 &= 100n\\
80n &= 720\\
n &= 9
\end{align*}$$

I) n = 9，因此選項 I 錯誤。
II) 外角 exterior angle = ##\large \frac{360^{\circ}}{9} \normalsize = 40^{\circ}##，因此選項 II 正確。
III) 下圖顯示正五邊形和正六邊形的對稱軸，由此可推斷，不論正多邊形的邊數是奇數或偶數，其對稱軸數目與邊數相同。因此選項 III 正確。

相關文章：文憑試實戰篇 #7 多邊形性質

參考下圖，P點沿 x軸反射(reflect along x-axis)後變成 ##P'(-1,-\sqrt3)##。然後可用計數機直接轉換成極坐標(polar coordinates)，或依照以下方法轉換。

$$\begin{align*}
\tan \theta &= \frac{\sqrt3}{1}\\[2pt] \theta &= 60^{\circ}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
r^2 &= (1)^2 + (\sqrt3)^2\\
r^2 &= 1 + 3\\
r^2 &= 4\\
r &= 2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
P’&= \big (2, 180^{\circ}+60^{\circ} \big )\\
&= \big (2,240^{\circ} \big )
\end{align*}$$

相關文章: 文憑試實戰篇#2 Polar Coordinates 極坐標

下圖展示 L₁ 及 L₂ 的圖像。留意它們的斜率相等，即是它們平行。而紅色線就是 P的軌跡(locus)。

相關文章：常見軌跡 Common Loci

$$\begin{align*}
ax + by &= 1\\
by &= -ax + 1\\
y &= \frac{-a}{b} + \frac{1}{b}
\end{align*}$$

y截距 y-intercept = ##\large \frac{1}{b}##，斜率 slope = ##\large \frac{-a}{b}##。

$$\begin{align*}
cx + dy &= 1\\
y &= \frac{-c}{d} + \frac{1}{d}
\end{align*}$$

y截距 y-intercept = ##\large \frac{1}{d}##，斜率 slope = ##\large \frac{-c}{d}##。

從題目的圖像得知，兩條直線的 y截距(y-intercept)相同，並且是正數，因此

$$\begin{align*}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{d}\\[3pt] b &= d
\end{align*}$$

並且 b 和 d 都是正數。

∴ 選項 III 正確。

ax+by=1 的斜率是正數。所以 ##\large \frac{-a}{b} \normalsize \gt 0##，由於 b 是正數，所以 a 必定是負數。

∴ 選項 I 正確。

cx+dy=1 的斜率是負數。所以 ##\large \frac{-c}{d} \normalsize \lt 0##，由於 d 是正數，所以 c 必定是正數。

∴ 選項 II 正確。

相關文章: 文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

圓心 Centre ##= \big (4,\frac{-k}{2} \big )##

從直線的斜率 slope，
$$\begin{align*}
m = \frac{-5-\frac{-k}{2}}{6-4} &= -4\\[3pt] \frac{-5-\frac{-k}{2}}{2} &= -4\\
-5-\frac{-k}{2} &= -8\\
\frac{k}{2} &= -8+5\\[2pt] k &= -6
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{m}{20+m} &= \frac{1}{m}\\[3pt] m^2 &= 20 + m\\
m^2-m-20&=0\\
m &= 5 \text{ or } -4 \text{ (rej.)}
\end{align*}$$

Let x be the mean height of teacher.
設 x 為老師的平均身高。

$$\begin{align*}
\frac{25 \cdot x + 140 \times 145}{25+140} &= 150\\[3pt] \frac{25x+20300}{165} &= 150\\
25x + 20300 &= 150 \times 165\\
25x &= 4450\\
x&=178
\end{align*}$$

  交通(Transportation)所佔的圓心角
=360° – 160° – 50° – 90°
=60°

  交通支出:

I) h 的數值可以等於 4，所以選項 I 錯誤。
II) 由於分佈或(range) 至少為 33。當 h = 0，k 的最小值是 3。而 k 必定是個位數，所以最大值是 9，所以選項 II 正確。
III) 當 h = 0, k = 9時， k – h=9，所以選項 III 錯誤。

$$\begin{eqnarray*}
3x^4y^2z &= &\ &\ &3 \cdot &x^4 &\cdot &\color{red}{y^2} \cdot z\\
4xy^5z &= &2^2&\cdot &\ &\color{red}x &\cdot &y^5 \cdot z\\
6x^2y^3 &= &2\ &\cdot &3 \cdot &x^2 &\cdot &y^3
\end{eqnarray*}$$

$$\text{HCF }= xy^2$$

I) 留意上圖中綠色線及紅色線。如果 y = k^x 及 k>1，當 k的值越大，曲線上升越快。所以選項 I 錯誤。

II) 對於 y = k^x 的圖像，如果 k>1，曲線向右上角上升。如果0 < k < 1，曲線會趨近 x軸，如上圖中的藍色線。因此 b 及 c 均大於 1。所以 bc > 1 成立，即是選項 II 正確。

III) 參考下圖，B點的 x坐標的值等於線段 AB 的長度，而 y坐標的值等於線段 OA 的長度，因此 B點的坐標是 (AB,OA)。同樣，C點的坐標是 (AC,OA)。

然後把這兩點的坐標代入其對應的方程，即是

$$\begin{cases}
OA = b^{\small AB}\\
OA = c^{\small AC}
\end{cases}$$

$$\begin{align*}
b^{\small AB} &= c^{\small AC}\\[2pt] \log b^{\small AB} &= \log c^{\small AC}\\[2pt] AB \cdot \log b &= AC \cdot \log c\\[2pt] \frac{AB}{AC} &= \frac{log\ c}{\log b}\\
\frac{AB}{AC} &= \log_b c
\end{align*}$$

所以選項 III 正確。

註: 此題設題時出現失誤，選項 III 是最困難，而選項 I 相對簡單。此題只要判斷出選項 I 錯誤，便能確定答案是 C。根本不用考慮選項 II 及 III。

如果 0 < a < b，則 log a < log b。

因此只須把各數取 log，然後比較其結果，便可分辨這些數字的大小。

$$\begin{eqnarray*}
\log 124^{241} &= 241 \times \log 124 &= 504.5\\
\log 241^{214} &= 214 \times \log 241 &= \color{red}{509.8}\\
\log 412^{142} &= 142 \times \log 412 &= 371.3\\
\log 421^{124} &= 124 \times \log 421 &= 325.4
\end{eqnarray*}$$

取 log 後選項 B 的數值最大，所以選項 B 是正確答案。

方法一: 用計數機計算該數式的值，
##7\times2^{10} +2^8 +5\times2^3 -2^3 = \color{red}{7456}##

然後把各選項以展開式 (Expanded Form) 表示，並計算其數值，如果得到 7456，便是正確答案。

A) $$\begin{align*}
&\ 111010100000_2\\
=&\ 2^{11} +2^{10} +2^9 +2^7 +2^5\\
=&\ 3744
\end{align*}$$

因此選擇 A 錯誤。

B) $$\begin{align*}
&\ 111100010000_2\\
=&\ 2^{11} +2^{10} +2^9 +2^8 +2^4\\
=&\ 3856
\end{align*}$$

因此選擇 B 錯誤。

C) $$\begin{align*}
&\ 1110100100000_2\\
=&\ 2^{12} +2^{11} +2^{10} +2^8 +2^5\\
=&\ \color{red}{7456}
\end{align*}$$

因此選擇 C 為正確答案。

D) $$\begin{align*}
&\ 1111000010000_2\\
=&\ 2^{12} +2^{11} +2^{10} +2^9 +2^4\\
=&\ 7696
\end{align*}$$

因此選擇 D 錯誤。

方法二: 假設須要計算 6×10³的值。其計算步驟很簡單，只須在數字 6 之後加上三個零，即是 6000。同樣方法亦適用於二進制數字，即是:

$$101_2 \times 2^3 = 101\color{red}{000}_2$$

返回原本題目，首先把題目的數式簡化：
$$\begin{align*}
&\ 7\times2^{10}+2^8+5\times2^3-2^3\\
=&\ 7\times2^{10}+2^8+4\times2^3
\end{align*}$$
再把各項數字各自轉成二進制數字。
$$\begin{align*}
&\ 7\times2^{10}\\
=&\ 111_2\times2^{10}\\
=&\ 111\color{red}{0000000000}_2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ 2^8\\
=&\ 1_2\times2^8\\
=&\ 1\color{red}{00000000}_2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ 4\times2^3\\
=&\ 100_2\times2^3\\
=&\ 100\color{red}{000}_2\\
\end{align*}$$

最後把這三個二進制數字加起來便是答案。

$$\begin{array}{lr}
& 1110000000000&\\
& 100000000&\\
+& 100000&\\
\hline{}
& 1110100100000&
\end{array}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

方法一: 配方法 Method of completing the square

$$\begin{align*}
f(x) &= 3x^2 -6x +k\\
&=3(x^2-2x)+k\\
&=3\Big [x^2-2x + \Big ( \frac{2}{2} \Big )^2 – \Big ( \frac{2}{2} \Big )^2 \Big ] +k\\
&=3\Big [(x -1)^2 – 1 \Big ] +k\\
&=3(x -1)^2 \color{red}{-3 +k}
\end{align*}$$

∴ y-coordinate of vertex 頂點 y 坐標= −3+k。

$$\begin{align*}
-3 +k &= 7\\
k &=10
\end{align*}$$

方法二:

  x-coordinate of vertex 頂點 x 坐標

把頂點坐標 (1,7) 代入 y = f(x) 中，

$$\begin{align*}
&\ \frac{\beta ^2+4}{\beta +2i}\\[3pt] =&\ \frac{\beta ^2+4}{\beta +2i} \cdot \frac{\beta-2i}{\beta-2i}\\[3pt] =&\ \frac{(\beta ^2+4)(\beta-2i)}{\beta ^2\ -\ (2i)^2}\\[3pt] =&\ \frac{(\beta ^2+4)(\beta-2i)}{\beta ^2+4}\\[2pt] =&\ \beta -2i
\end{align*}$$

只須檢驗各項之比是否相同，便可判斷該選項是否等比數列 (Geometric Sequences)。

I)

由於它們的值相同，所以選項 I 是等比數列 (Geometric Sequences)。

II)

因此選項 II 不是等比數列 (Geometric Sequences)。

III)

因此選項 III 是等比數列 (Geometric Sequences)。

y = 1−f(x) 可改寫成 y= −f(x)+1。

而負號把圖像以 x軸作反射 (reflection)，即是圖中的紅色線，而 +1 則把反射後的圖像向上平移一單位(Translation)，即是圖中的藍色線。 所以選項 A 正確。

$$\begin{align*}
7\sin^2x &= \sin x\\
7\sin^2x -\sin x &=0\\
\sin x \cdot (7\sin x -1) &=0\\
\sin x = 0\ \ \text{or}\ \ 7\sin x -1 &=0\\
\sin x = 0\ \ \text{or}\ \ \sin x &= \frac{1}{7}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\sin x &= 0\\
x &= 0^{\circ} \text{ or } 180^{\circ} \text{ or } 360^{\circ}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\sin x &= \frac{1}{7}\\[2pt] x &= 8.21^{\circ} \text{ or } 172^{\circ}
\end{align*}$$

∴There are 5 roots.
  共有五個根

如圖所示， θ = ∠AEB

$$\begin{align*}
CD^2 &= BC^2 + BD^2\\
CD^2 &= 8^2 + 15^2\\
CD &= 17
\end{align*}$$
從 ΔBCD 面積:
$$\begin{align*}
\frac{BC \cdot BD}{2} &= \frac{BE \cdot CD}{2}\\[3pt] \frac{8 \cdot 15}{2} &= \frac{BE \cdot 17}{2}\\[3pt] BE &= \frac{120}{17}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\tan \theta &= \frac{AB}{BE}\\[3pt] &=\frac{8}{\frac{120}{17}}\\[3pt] &=\frac{17}{15}
\end{align*}$$

相關文章: 兩個平面之交角(基礎篇) Angle between two planes

內心是角平方線相交的點。
Incentre is the point where angle bisectors meet.

∴∠IRS = ∠IRQ =12° 

∵∠RSQ = ∠QPS

$$\begin{align*}
x + x + 70^{\circ} + 12^{\circ}\times2 &= 180^{\circ}\\
2x &= 86^{\circ}\\
x &=43^{\circ}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
x\ -\ y &= k\\
y &= x\ -\ k\ \ …(1)
\end{align*}$$

把 (1) 代入圓形方程。
$$\begin{align*}
x^2 + (x-k)^2 + 2x – 4(x-k) -1 &=0\\
x^2 + x^2 -2kx + k^2 +2x -4x +4k -1 &=0\\
2x^2 -2kx -2x +k^2 +4k -1 &=0
\end{align*}$$

Let the root of the equation be α and β.
設方程的根為 α 及 β。

α 及 β 分別是 A 點和 B點的 x坐標。

  mid-point of AB 
  AB 的中點

相關文章：HKDSE 2019 數學科 Paper II Q37 題解

$$\begin{align*}
&\ C_2^{13} \cdot C_3^{17}\\[2pt] =&\ 53\,040
\end{align*}$$

$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##z## = standard score 標準分
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

Let the mean and the standard deviation be μ and σ.
設平均值及標準差為 μ 及 σ。

$$\begin{align*}
\frac{55 – \mu}{\sigma} &= -3\\
55 – \mu &= -3\sigma\\
3\sigma\ -\ \mu &= -55\ …(1)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{95 – \mu}{\sigma} &= 2\\
95 – \mu &= 2\sigma\\
-2\sigma\ -\ \mu &= -95\ …(2)
\end{align*}$$

Solving equations (1) and (2)
解方程 (1) 及 (2)

$$\mu =79,\ \sigma = 8$$

14 – a 可改寫成 −a + 14。亦即是把各數據先乘上 −1 然後再加 14。要了解這些變換的影響，先從標準差 standard deviation 的公式入手。

重點是 (x_i – μ)² 這部份。x_i – μ就是數據 (x_i) 和平均值 (μ) 之差，亦即是在數線上兩者之間的距離，但有可能出現負數。然後再把這數值二次方，所以最終只會出現正數。換句話說，(x_i – μ)² 就是數據和平均值之間的距離的二次方。

返回原有題目。先分析 +14 的影響，由於每一個數據都加上14，所以平均值亦增加 14，所以數據和平均值之間的距離不變。因此，把各數據同時加 14 對標準差 standard deviation 的值沒有影響。

至於乘上 −1的影響，先參閱下圖，假設原有數據是 a,b,c,d，而平均值是 μ，以藍色點表示在數線上。如果把各數據乘上 (−1)，就等同把所有點沿紅色虛線反射，以紅色點表示。而新的平均值是 μ′，很明顯各數據和新平均值的距離並沒有改變。因此標準差 standard deviation 沒有改變。

由於方差只是標準差的平方，
Since variance is the square of standard deviation,

因此答案是 B。

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