HKDSE 2016 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
&\ 8^{222}\cdot 5^{666}\\
=&\ \big(2^3\big)^{222}\cdot 5^{666}\\
=&\ 2^{666}\cdot 5^{666}\\
=&\ (2 \cdot 5)^{666}\\
=&\ 10^{666}
\end{align*}$$

相關文章: HKDSE 2016 數學科 Paper II Q01 題解

$$\begin{align*}
\frac{a}{x}+\frac{b}{y} &= 3\\
\frac{ay+bx}{xy} &= 3\\
ay +bx &= 3xy\\[2pt] ay &= 3xy -bx\\[2pt] ay &= x(3y -b)\\[2pt] x &= \frac{ay}{3y -b}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ 16 -(2x – 3y)^2\\
=&\ 4^2 -(2x – 3y)^2\\
=&\ [4-(2x – 3y)][4+(2x – 3y)]\\
=&\ (4 -2x +3y)(4 +2x -3y)
\end{align*}$$

C 是正確。以下列出各選項的正確近似值。

A. 0.077 (correct to 2 significant figures)
B. 0.077 (correct to 3 decimal places)
D. 0.07654 (correct to 5 decimal places)

相關文章：為什麼小數最左手面的零並非有效數字？

$$\begin{cases}
4\alpha + \beta = 5\cdots(1)\\
7\alpha + 3\beta = 5\cdots(2)
\end{cases}$$

From (1), ##\beta = 5 -4\alpha \cdots(3)##

Sub. (3) into (2)
把 (3) 代入 (2)

$$\begin{align*}
7\alpha +3(5 -4\alpha) &= 5\\
7\alpha +15 -12\alpha &= 5\\
-5\alpha &= 5 -15\\
\alpha &=2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\beta &=5 -4\alpha\\
&= 5-4(2)\\
&= -3
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
f\Big(\frac{-1}{2}\Big) &= 0\\
4\Big(\frac{-1}{2}\Big)^3 +k\Big(\frac{-1}{2}\Big) +3 &=0\\
\frac{-1}{2} +k\Big(\frac{-1}{2}\Big) +3 &=0\\
k\Big(\frac{-1}{2}\Big) &= \frac{-5}{2}\\[3pt] k &= 5
\end{align*}$$

   
$$\begin{align*}
\text{Remainder 餘數} &= f(-1)\\
&= 4(-1)^3 +5(-1) +3\\
&= -6
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
-5x &\gt 21-2x & \text{and}&\ & 6x-18&\lt 0\\
-3x &\gt 21 & \text{and}&\ & 6x&\lt 18\\
x &\lt -7 & \text{and}&\ & x&\lt 3\\\end{align*}\\[9pt] \therefore x\lt -7$$

$$\begin{align*}
\Delta &= 0\\
(k)^2 -4(1)(8k+36) &=0\\
k^2 -32k -144 &=0\\
(k+4)(k-36) &=0
\end{align*}\\
\therefore k=-4 \text{ or } k=36$$

可參考以下影片之講解

$$\begin{align*}
&(ax+1)^2+a\\
=&a^2x^2+2ax+1+a
\end{align*}\\$$

##x^2## 的係數 (coefficient) 為 ##a^2##，所以必定為正數，因此開口向上 (open upward)。

而 y截距 (y-intercept) 為 ##a+1##。

$$\begin{eqnarray}
-1 &\lt a &\lt 0\\[3pt] -1 +1 &\lt a +1 &\lt 0 +1\\[3pt] 0 &\lt a +1 &\lt 1
\end{eqnarray}$$

即是 y截距 (y-intercept) 必定為正數。

綜合以上兩點，D 為正確答案。

According to the question, we have

$$\begin{cases}
\text{Donald}=\text{Peter} \times (1+25\%)\\
\text{Peter}=\text{Teresa} \times (1-25\%)\\
\end{cases}$$

$$\begin{align*}
\text{Peter} &= \text{Donald} \div (1+25\%)\\
&= 33360 \div 1.25\\
&= 26688
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Teresa} &= \text{Peter} \div (1-25\%)\\
&= 26688\div 0.75\\
&= 35584
\end{align*}$$

根據題目的資料，可得到以下的數式。

$$\begin{cases}
\text{漢林}=\text{文俊} \times (1+25\%)\\
\text{文俊}=\text{佩恰} \times (1-25\%)\\
\end{cases}$$

$$\begin{align*}
\text{文俊} &= \text{漢林} \div (1+25\%)\\
&= 33360 \div 1.25\\
&= 26688
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{佩恰} &= \text{文俊} \div (1-25\%)\\
&= 26688\div 0.75\\
&= 35584
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{3y -4x}{2x +y} &= \frac{5}{6}\\[2pt] 18y -24x &= 10x +5y\\[2pt] 13y &= 34x\\[2pt] \frac{13}{34} &= \frac{x}{y}\\[2pt] x:y &= 13:34
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Let 設}\ z &=\frac{k\sqrt{x}}{y}\\
\end{align*}$$

   New Value of z  z的新值

   Percentage Change 百份數變化

相關文章: 變分與百分數變化 Variation and Percentage Change

Let y be the cost of brand Y
設 y 為 Y 牌麵粉的成本。

$$\begin{align*}
\frac{3 \times 42 + 2 \times y}{3+2} &= 36\\[2pt] 126 + 2y &= 180\\[2pt] y &= 27
\end{align*}$$

$$1^\text{st} \text{ term} = \ 9\\
2^\text{nd} \text{ term} = \ 9+5 = 14\\
3^\text{rd} \text{ term} = \ 14+5 = 19\\
4^\text{th} \text{ term} = 19+5 = 24\\
5^\text{th} \text{ term} = 24+5 = 29\\
6^\text{th} \text{ term} = 29+5 = 34\\
7^\text{th} \text{ term} = 34+5 = 39$$

參考下圖，

$$\begin{align*}
(180\deg -c) +a +b &= 360\deg\\
a +b -c &= 180\deg
\end{align*}$$

∴ 選項 II 正確。而選項 I 和 III 無法確定是否正確。因此答案是 B。

留意 ∠ABD = 90 °，證明如下：

$$\begin{align*}
AB^2 +BD^2 &= 24^2 + 32^2\\
&= 1600\\
&= AD^2
\end{align*}$$

In ΔBDC,

$$\begin{align*}
BC^2 +BD^2 &= CD^2\\
BC^2 +32^2 &= 68^2\\
BC &= 60
\end{align*}$$

$$\because AD//BC\\
\begin{align*}
\therefore \angle BCD &= 180\deg -114\deg\\
&=66\deg
\end{align*}$$

$$\because BE=CE\\
\therefore \angle EBC = \angle BCD = 66\deg$$

$$\begin{align*}
\angle BEC &= 180\deg – 66\deg \times 2\\
&= 48\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle ABE &= \angle BEC\\
&= 48\deg
\end{align*}$$

先計算梯形下底長度。

$$\begin{align*}
x^2 + 5^2 &= 13^2\\
x^2 + 25 &= 169\\
x^2 &= 144\\
x &= 12
\end{align*}$$

   Volume 體積

I)
Let θ be the angle of sector OAB.
設 θ 為扇形 OAB 的角.

根據題目資料，可得到

$$\begin{align*}
(\pi \cdot 39^2 – \pi \cdot 33^2)\times \frac{\theta}{360\deg} &= 72\pi\\[2pt] 432 \times \frac{\theta}{360\deg} &=72\\[2pt] \theta &= 60\deg
\end{align*}$$

∴選項 I 正確。

II)
   Area of Sector OAB 扇形面積

∴選項 II 錯誤。

III)
   Perimeter 周界

∴選項 III 錯誤。

可參考以下影片之講解：

Assume the length of the side of the square be 3.
假設正方形邊長為 3。

參考以下圖像

由於 ##\triangle ABG\sim\triangle PCG\sim\triangle QFG##，從而得到

$$PC =2 \text{ and } QF =1$$　
   DEQP 面積

   ABCP 面積

    Ratio of the area 面積之比

參考下圖，在圖中加上 M 及 N 點。

$$\begin{align*}
AD &= AM + BN\\
&= AB \cos a + BC \sin c
\end{align*}$$

Let ∠FED be θ.
設 ∠FED 為 θ。

留意 ∠C 及 ∠E

$$\begin{align*}
\angle BCD &= \angle FED \times 2\\
&= 2\theta
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle BCD + \angle ADC &= 180\deg\\
2\theta +118\deg &= 180\deg\\
\theta &= 31\deg
\end{align*}$$

$$\text{In }\triangle EFD,\\[5pt] \begin{align*}
\angle DFE + \angle FED &= \angle ADC\\
\angle DFE +31\deg &= 118\deg\\
\angle DFE &= 87\deg
\end{align*}$$

A)

$$\begin{align*}
(n -2) \times 180\deg &= 3240\deg\\
n -2 &= 18\\
n &= 20
\end{align*}$$

因此選項 A 錯誤。

B)

$$\begin{align*}
\text{Exterior Angle 外角} &= \frac{360\deg}{20}\\[3pt] &= 18\deg
\end{align*}$$

因此選項 B 為正確答案。

C)

$$\begin{align*}
\text{Number of diagonals 對角線數目} &= C_2^{20} -20\\[2pt] &= 170
\end{align*}$$

因此選項 C 錯誤。

D)
$$\begin{align*}
\text{Interior Angle 內角} &= \frac{3240\deg}{20}\\[3pt] &= 162\deg
\end{align*}$$

因此選項 D 錯誤。

相關文章：文憑試實戰篇 #7 多邊形性質

留意該兩條直線的 x 截距 (x-intercept) 相同。

先求它們的 x 截距 (x-intercept)，方法是把 ##y=0## 代入直線中。

$$\begin{align*}
hx +k(0) +15 &= 0\\
hx &= -15\\
x &= \frac{-15}{h}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
4x +3(0) -5 &= 0\\
4x &= 5\\
x &= \frac{5}{4}
\end{align*}$$

它們的 x 截距相同，因此

$$\begin{align*}
\frac{-15}{h} &= \frac{5}{4}\\[2pt] h &= -12
\end{align*}$$

然後求各線的斜率(slope)

$$\begin{align*}
hx +ky +15 &=0\\
ky &= -hx -15\\
y &= \frac{-h}{k}x -\frac{15}{k}
\end{align*}\\
\therefore m = \frac{-h}{k}$$

$$\begin{align*}
4x +3y -5 &=0\\
3y &= -4x +5\\
y &= \frac{-4}{3}x +\frac{5}{3}
\end{align*}\\
\therefore m = \frac{-4}{3}$$

它們互相垂直 (perpendicular)，因此

$$\begin{align*}
\frac{-h}{k} \times \frac{-4}{3} &= -1\\
\frac{12}{k} \times \frac{-4}{3} &= -1\ (\because h = -12)\\
\frac{12}{k} &= \frac{3}{4}\\[2pt] k &= 16
\end{align*}$$

方法一：

根據題目的資料，C 點在 AB 的垂直平分線 (perpendicular bisector) 之上。 因此，先求該線的方程。

$$\begin{align*}
m_{AB} &= \frac{-2-8}{9+1}\\[3pt] &= -1
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AB\text{ 的中點} &=\Big(\frac{9-1}{2},\frac{-2+8}{2}\Big)\\[2pt] &=(4,3)
\end{align*}$$

垂直平分線的方程
Equation of the perpendicular bisector

$$\begin{align*}
y -3 &= \frac{-1}{-1} (x -4)\\
y -3 &= x -4\\
x -y &= 1
\end{align*}$$

C 點就是這兩條直線的交點

$$\begin{cases}
x -2y = 0\\
x -y =1
\end{cases}$$

解方程， ##x=2, y=1##

方法二：
Let the coordinates of C be ##(h,k)##.
設 C 點的坐標為 ##(h,k)##。

由於 C 點在直線之上，因此

$$\begin{align*}
h -2k &= 0\\[3pt] k &= \frac{h}{2}
\end{align*}$$

$$\therefore C=\Big(h,\frac{h}{2}\Big)$$

$$\begin{align*}
AC &= BC\\
\sqrt{(h -9)^2 + \Big(\frac{h}{2} +2\Big)^2} &= \sqrt{(h +1)^2 + \Big(\frac{h}{2} -8\Big)^2}\\
h^2 -18h +81 +\frac{h^2}{4} +2h +4 &= h^2 +2h +1 +\frac{h^2}{4} -8h +64\\
-16h +85 &= -6h +65\\[3pt] -10h &= -20\\[3pt] h &= 2
\end{align*}$$

相關文章：當某點在一直線上

首先把方程除3，

$$\begin{align*}
3x^2 +3y^2 -12x +30y +65 &=0\\
x^2 +y^2 -4x +10y +\frac{65}{3} & =0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{圓心}&=\Big(\frac{-4}{-2},\frac{+10}{-2}\Big)\\[2pt] &=(2,-5)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{半徑}&=\sqrt{(2)^2 +(5)^2 -\frac{65}{3}}\\
&=\sqrt{\frac{22}{3}}
\end{align*}$$

I) 半徑≠14，因此選項 I 錯誤。

II)

   Distance between origin and the centre
   原點和圓心距離

∴選項 II 正確

III) 圓心=##(2,-5)##，所以選項 III 正確

相關文章：文憑試實戰篇 #10 圓形方程基本答題技巧

從4個硬幣選取3個，其實只有4種可能(##C_3^4##)：

$$\begin{eqnarray}
&\{ 1,2,5\} &= 8\\
&\{1,2,10\} &= \color{red}{13}\\
&\{1,5,10\} &= \color{red}{16}\\
&\{2,5,10\} &= \color{red}{17}
\end{eqnarray}$$

當中有三個組合的總和是不少於13。因此 ##P=\Large{\frac{3}{4}}##。

   Expected Value 期望值

相關文章：期望值 Expected Value 的含義

由於眾數(mode)是68，而數據中98出現兩次，從而可判斷 ##a=b=68##。

然後從平均值(mean)計算 ##c## 的值。

$$\begin{align*}
\frac{32 +68 +79 +86 +88 +98 +98 +68 +68 +c}{10} &= 77\\
685+c &= 770\\[3pt] c &= 85
\end{align*}$$

把整組數據從新排列，

32 68 68 68 79 85 86 88 98 98

$$\begin{align*}
\text{median 中位數} &= \frac{79+85}{2}\\
&= 82
\end{align*}$$

$$\begin{eqnarray*}
9a^2b &= &\ &\ &\color{red}{3^2} &\ &\cdot &a^2 \cdot b\\
12a^4b^3 &= &\color{red}{2^2}\ &\cdot &3 &\ &\cdot &a^4 \cdot \color{red}{b^3}\\
15a^6 &= &\ &\ &3 \cdot &\color{red}{5} &\cdot &\color{red}{a^6}
\end{eqnarray*}$$

$$\begin{align*}
\text{LCM} &= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot a^6 \cdot b^3\\
&=180a^6b^3
\end{align*}$$

方法一：
$$\begin{align*}
y &= ab^x\\
\log_9 y &= \log_9 a + \log_9 b \cdot x\\
\log_9 y &= \log_9 b \cdot x + \log_9 a\\
\end{align*}$$

和直線方程 ##y=mx+c## 比較，可得到

$$\begin{align*}
\text{slope 斜率} &= \log_9 b\\[2pt] \frac{-2-0}{0-4} &= \log_9 b\\[2pt] \frac{1}{2} &= \log_9 b\\[2pt] 9^\frac{1}{2} &= b\\
b &= 3
\end{align*}$$

方法二：

從圖像得知，當 ##x=0, \log_9 y =-2##，即是 ##y = 9^{-2}##。

把 ##x=0, y=9^{-2}## 代入方程，

$$\begin{align*}
y &=ab^x\\[2pt] 9^{-2} &= a \cdot b^0\\
\frac{1}{81} & = a\\
a &= \frac{1}{81}
\end{align*}$$

同樣地，當 ##x=4, log_9 y =0##，即是 ##y=1##。

把 ##x=4, y=1## 代入方程，

$$\begin{align*}
y &=ab^x\\
1 &= \frac{1}{81} \cdot b^4\\
b^4 &= 81\\
b &= 3
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #16 對數(log)與直線圖像

$$\begin{align*}
&\ \text{BC000DE000000}_{16}\\
=&\ 11\times16^{12} +12\times16^{11}+13\times16^7+14\times16^6\\
=&\ 11\times16\times16^{11} +12\times16^{11} +13\times16\times16^6+14\times16^6\\
=&\ (11\times16 +12)\times16^{11} +(13\times16+14)\times16^6\\
=&\ 188\times16^{11} + 222\times16^6
\end{align*}$$

或參考以下片段之講解：

相關文章：文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

I)

$$\begin{align*}
uv &= \frac{7}{a +i} \cdot \frac{7}{a-i}\\[3pt] &=\frac{7 \times 7 }{(a+i)(a-i)}\\[3pt] &=\frac{49}{a^2 -i^2}\\[3pt] &=\frac{49}{a^2 +1}
\end{align*}$$

Since a is a real number, it can be rational or irrational. So, it cannot be determined whether uv is a rational number.
由於 a 是實數，它可以是有理數或無理數，所以無法判斷 uv 是否有理數。

所以選項 I 並非必定正確。

II)

$$\begin{align*}
u &= \frac{7}{a +i}\\[3pt] &= \frac{7}{a +i} \cdot \frac{a -i}{a -i}\\[3pt] &= \frac{7a -7i}{(a +i)(a -i)}\\[3pt] &= \frac{7a -7i}{a^2 -i^2}\\[3pt] &= \frac{7a -7i}{a^2 +1}\\[3pt] &= \frac{7a}{a^2 +1} -\frac{7}{a^2 +1}i
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
v &= \frac{7}{a -i}\\[3pt] &= \frac{7}{a -i} \cdot \frac{a +i}{a +i}\\[3pt] &= \frac{7a +7i}{(a -i)(a +i)}\\[3pt] &= \frac{7a +7i}{a^2 -i^2}\\[3pt] &= \frac{7a +7i}{a^2 +1}\\[3pt] &= \frac{7a}{a^2 +1} +\frac{7}{a^2 +1}i
\end{align*}$$

兩者的實部 (real part) 皆為 ##\Large{\frac{7a}{a^2 +1}}##。

因此選項 II 正確。

III)

$$\begin{align*}
\frac{1}{u} &= \frac{a +i}{7}\\[3pt] &= \frac{a}{7} \color{red}{+\frac{1}{7}i}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{1}{v} &= \frac{a -i}{7}\\[3pt] &= \frac{a}{7} \color{red}{-\frac{1}{7}i}
\end{align*}$$

兩者的虛部 (imaginary part) 並不相同，因此選項 III 錯誤。

首先找出各點的坐標。從圖像得知 S 和 R 的 y 坐標為 12，而P 和 Q 的 y 坐標為 6。

設 S 點的坐標為 (h,12)。

從直線的斜率 (slope)，

$$\begin{align*}
\frac{12-0}{h -12} &= \frac{24-0}{0-12}\\[2pt] \frac{12}{h -12} &= -2\\
12 &= -2h +24\\
2h &= 12\\
h &=6
\end{align*}$$

$$\therefore S = (6,12)$$

用相同方法，可找到餘下各點的坐標。

$$P=(9,6)\\
Q=(18,6)\\
R=(12,12)\\
S=(6,12)$$

然後把各點代入 7y−5x+3 中，

$$\begin{eqnarray}
P:& 7(6)-5(9)+3 &=& 0\\
Q:& 7(6)-5(18)+3 &=& – 45\\
R:& 7(12)-5(12)+3 &=& 27\\
S:& 7(12)-5(6)+3 &=& \color{red}{57}
\end{eqnarray}$$

S 點的值最大，因此答案是 D。

首先找 a 和 r 的值。

$$a_3 = a \cdot r^2 = 21\\
a_7 = a \cdot r^6 = 189$$

$$\begin{align*}
\frac{a_7}{a_3} &= \frac{189}{21}\\[3pt] \frac{a \cdot r^6}{a \cdot r^2} &= \frac{189}{21}\\[3pt] r^4 &= 9\\[3pt] r &= +\sqrt{3} \text{ or } \color{red}{-\sqrt{3}}
\end{align*}$$

When ##r = +\sqrt{3}##,

$$\begin{align*}
a \cdot (\sqrt{3})^2 &= 21\\
a &= 7
\end{align*}$$

When ##r = -\sqrt{3}##,

$$\begin{align*}
a \cdot (-\sqrt{3})^2 &= 21\\
a &= 7
\end{align*}$$

∴ a 的值必定是 7。

I) Common ratio 公比 = ##+\sqrt{3} \text{ or } -\sqrt{3}##，因此選項 I 並非必定正確。

II) 由於公比 (common ratio) 是無理數，因些選項 II 正確。

III)

$$S(n) = \frac{a(r^n -1)}{r -1}$$

When ##r=+\sqrt{3}##,

$$\begin{align*}
S(99) &= \frac{7[(\sqrt{3})^{99} -1]}{\sqrt{3} -1}\\[2pt] &= 3.96 \times 10^{24}\\
&\gt 3 \times 10^{24}
\end{align*}$$

When ##r=\color{red}{-\sqrt{3}}##,

$$\begin{align*}
S(99) &= \frac{7[(-\sqrt{3})^{99} -1]}{-\sqrt{3} -1}\\[2pt] &= 1.06 \times 10^{24}\\
&\lt 3 \times 10^{24}
\end{align*}$$

因此選項 III 並非必定正確。

相關文章：HKDSE 2015 數學科 Paper II Q37 題解

方法一: 利用函數變換 Transformation of function 求答案。在此不加解釋了。

方法二: 把各選項的值代入方程，測試等式是否成立，從而排除錯誤的答案。

從圖像得知，當 x=b 時，y=2。

A) ##x=b=90, a =-2##

$$\begin{align*}
y &= a\cos 2x\deg\\
&= (-2)\cos (2\times 90\deg)\\
&= \color{red}{2}
\end{align*}$$

B) ##x=b=360, a=-2##

$$\begin{align*}
y &= a\cos 2x\deg\\
&= (-2)\cos (2\times 360\deg)\\
&= -2
\end{align*}$$

C) ##x=b=90, a=2##

$$\begin{align*}
y &= a\cos 2x\deg\\
&= (2)\cos (2\times 90\deg)\\
&= -2
\end{align*}$$

D) ##x=b=360, a=2##

$$\begin{align*}
y &= a\cos 2x\deg\\
&= (2)\cos (2\times 360\deg)\\
&= \color{red}{2}
\end{align*}$$

∴已可排除選項 B 及 C。

而題目的圖像還隱藏了一點坐標，就是 (0,-2)，再用此點作測試。

A) ##x=0, a=-2##

$$\begin{align*}
y &= a\cos 2x\deg\\
&= (-2)\cos (2\times 0\deg)\\
&= \color{red}{-2}
\end{align*}$$

D) ##x=0, a=2##

$$\begin{align*}
y &= a\cos 2x\deg\\
&= (2)\cos (2\times 0\deg)\\
&= 2
\end{align*}$$

因此可排除選項 D，所以答案是 A。

相關文章：文憑試實戰篇 #14 sin/cos 圖像變換

解方程：

$$\begin{align*}
5x^2 +x -4 &= 0\\
(x +1)(5x -4) &= 0\\
x &= -1 \text{ or } 0.8
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
5\sin^2 \theta +\sin \theta -4 &= 0\\
\sin \theta &= -1 \text{ or } 0.8
\end{align*}$$

當 ##\sin \theta = -1##，

$$\begin{align*}
\sin \theta &= -1\\
\theta &= 270\deg
\end{align*}$$

當 ##\sin \theta = 0.8##，

$$\begin{align*}
\sin \theta &= 0.8\\
\theta &= 53.1\deg \text{ or } 180\deg -53.1\deg\\
\theta &= 53.1\deg \text{ or } 126.9\deg
\end{align*}$$

因此共有 3 個根(roots)。

先說明基礎知識。參考下圖，長方體的長、闊、高分別是 a,b,c，求對角線(diagonal) AH 的長度。

只要運用畢氏定理兩次，便可找到 AH。

$$\begin{align*}
AB^2 +BC^2 &= AC^2\\
a^2 +b^2 &= AC^2\\
AC^2 &= a^2 +b^2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AC^2 +CH^2 &= AH^2\\
(a^2 +b^2) + c^2&= AH^2\\
AH^2 &= a^2 +b^2 +c^2\\
AH &= \sqrt{a^2 +b^2 +c^2}
\end{align*}$$

長方體對角線長度= ##\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}##

運用此公式便可快捷地找到 PF,PQ 及 FQ 的長度。

$$\begin{align*}
PF &= \sqrt{8^2 +6^2 +(15+9)^2}\\
&= \sqrt{676}\\
&= 26
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
PQ &= \sqrt{8^2 +6^2 +9^2}\\
&= \sqrt{181}\\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
FQ &= \sqrt{16^2 +12^2 +15^2}\\
&= \sqrt{625}\\
&= 25
\end{align*}$$

找 sin ∠PFQ 有兩種方法。

方法一： 透過 cos ∠PFQ 的值

$$\begin{align*}
\cos \angle PFQ &= \frac{FP^2 +FQ^2 -PQ^2}{2 \cdot FP \cdot FQ}\\[3pt] &= \frac{26^2 +25^2 -(\sqrt{181})^2}{2(25)(26)}\\[3pt] &= \frac{1120}{1300}\\[3pt] &= \frac{56}{65}
\end{align*}$$

然後從 ##\cos \angle PFQ## 轉換成 ##\sin \angle PFQ##，

$$\begin{align*}
\sin^2 \angle PFQ + \cos^2 \angle PFQ &=1\\[3pt] \sin^2 \angle PFQ + \Big(\frac{56}{65}\Big)^2 &=1\\[3pt] \sin^2 \angle PFQ &= \frac{1089}{4225}\\[3pt] \sin \angle PFQ &= \frac{33}{65}
\end{align*}$$

方法二：透過三角形面積

ΔFPQ 的面積可用計算機內置的希羅公式 (Heron's Formula) 求取，結果是 165。

$$\begin{align*}
\frac{1}{2}(FP)(FQ)\sin \angle PFQ &= \text{Area 面積}\\
\frac{1}{2}(26)(25)\sin \angle PFQ &= 165\\
\sin \angle PFQ &= \frac{33}{65}
\end{align*}$$

相關文章：長方體對角線長度

Step 1) 求 ∠BAD。

參考下圖，連接 BD。

$$\because BP = DP\\
\therefore \angle PBD = (180\deg – 68\deg) \div 2 = 56\deg$$

∠BAD = ∠PBD (∠ in alt. segment 交錯弓形的圓周角)
∴∠BAD = 56° 

Step 2) 求 ∠AQB。

參考下圖，留意 ΔABQ，由於 AC 是直徑，所以 ∠ABQ=90°。

$$\begin{align*}
\angle AQB &= 180\deg – 90\deg -56\deg\\
&=34\deg
\end{align*}$$

方法一：
P 點和 Q點的中點 (mid-point) 可透過兩根之和 (sum of roots) 找到，不用求它們的坐標。詳情可參閱以下影片之講解：

$$\begin{align*}
2x -y -6 &= 0\\
2x &= y +6\\
x &= \frac{y +6}{2} \cdots (1)
\end{align*}$$

Sub (1) into the equation of the circle
把 (1) 代入圓形方程

$$\begin{align*}
x^2 +y^2 -8y -14 &= 0\\[3pt] \Big(\frac{y +6}{2}\Big)^2 +y^2 -8y -14 &=0\\[3pt] \frac{y^2 +12y +36}{4} +y^2 -8y -14 &=0\\[3pt] y^2 +12y +36 +4y^2 -32y -56&=0\\[3pt] 5y^2 -20y -20&=0\\[3pt] y^2 -4y -4 &=0
\end{align*}$$

Let α and β be the roots.
設 α 和 β 為方程的根。

y-coordinate of mid-point of PQ 
PQ的中點的 y 坐標

方法二：
參考下圖，圓形的圓心為 (0,4) 

Let M be the mid-point of PQ and its coordinates is (h,k).
設 M 點為 PQ 的中點，而其坐標為 (h,k)。

∵ M is on the line ##2x-y-6=0##
  M 在直線 ##2x-y-6=0## 上
##\therefore 2h-k-6=0 …(1)##

$$\because CM \perp PQ\\\begin{align*}m_{CQ} \times m_{PQ} &= -1\\[2pt] \frac{k-4}{h-0} \times 2 &= -1\\
2k-8 &= -h\\
h+2k-8 &=0 …(2)
\end{align*}$$

Solving the equations,
解方程，

 
因此答案是 C

$$\begin{align*}
P &= \frac{C_2^3 \cdot C_2^9 +C_3^3 \cdot C_1^9}{C_4^{12}}\\[3pt] &=\frac{13}{55}
\end{align*}$$

Note:
##C_2^3 \cdot C_2^9## = 2罐紅茶,2罐咖啡 2 tea, 2 coffee 的組合數目
##C_3^3 \cdot C_1^9## = 3罐紅茶,1罐咖啡 3 tea, 1 coffee 的組合數目

題目要求是「至多有2名女生」(at most 2 girls)，所有要分別考慮女生數目是 0, 1 和 2 的情況。

$$\begin{align*}
&\ C_0^{15} \cdot C_6^{20} +C_1^{15} \cdot C_5^{20} +C_2^{15} \cdot C_4^{20}\\[3pt] =&\ 780\,045
\end{align*}$$

I) 總共有 20 個數據，上四分位數 (upper quartile) 是第15和第16個數據的平均值。

$$\begin{align*}
Q_3 &= \frac{70+70}{2}\\[2pt] &= 70
\end{align*}$$

因此選項 I 錯誤。

註：55 是下四分位數 (lower quartile) 的值

II) 利用計數機求平均值和標準差

平均值 mean = 63.25
標準差 standard deviation = 11.58

$$\begin{align*}
\text{standard score 標準分} &= \frac{85 -63.25}{11.58}\\[3pt] &= 1.88\\
&\lt 2
\end{align*}$$

∴ 選項 II 正確。

III)　標準差 standard deviation = 11.58，因此選項 III 錯誤。

I) 在每個數據加上相同的常數。
  Standard Deviation 標準差維持不變 

II) 在每個數據乘上相同的常數 k。
  Standard Deviation 標準差為原來的 k倍。
  Variance 方差為原來的 k²倍。

New Variance 方差新值
= 原值 × (4)² 
= 49 × 16 
= 784 

相關文章: 標準差 Standard Deviation 公式的意義