HKDSE 2018 Maths Paper II 題解

• 11/05/2018

HKDSE 2018 Maths Paper II Answers and Solutions
文憑試 2018數學卷二答案+題解。

請按 + 開啟各題的詳解
01. B
$$\begin{align*}
&\frac{8^{2n+1}}{4^{3n+1}}\\[3pt] =&\frac{\big(2^3\big)^{2n+1}}{\big(2^2\big)^{3n+1}}\\[3pt] =&\frac{2^{6n+3}}{2^{6n+2}}\\[3pt] =&2^{(6n+3)-(6n+2)}\\[2pt] =&2
\end{align*}$$

02. D
$$\begin{align*}
\frac{\alpha}{1-x} &= \frac{\beta}{x}\\[2pt] \alpha x &= \beta-\beta x\\[2pt] \alpha x+\beta x &= \beta\\[2pt] x(\alpha+\beta) &= \beta\\[2pt] x &= \frac{\beta}{\alpha+\beta}
\end{align*}$$

03. C
$$\begin{align*}
&h^2-6h-4k^2-12k\\[1pt] =&h^2-(2k)^2-6h-12k\\[1pt] =&(h+2k)(h-2k)-6(h+2k)\\[1pt] =&(h+2k)(h-2k-6)
\end{align*}$$

相關文章:文憑試實戰篇 #8 四項式因式分解 Factoring of polynomials with 4 terms

04. A
$$\begin{align*}
&\frac{1}{3x+7}-\frac{1}{3x-7}\\[3pt] =&\frac{(3x-7)-(3x+7)}{(3x+7)(3x-7)}\\[3pt] =&\frac{3x-7-3x-7}{9x^2-49}\\[3pt] =&\frac{-14}{9x^2-49}\\[3pt] =&\frac{14}{49-9x^2}\\[3pt] \end{align*}$$

05. A
A)

$$\begin{align*}
y &= 16-(x-6)^2\\
&=-(x-6)^2+16
\end{align*}$$Vertex 頂點 = (+6,16) 
The graph opens downwards. Thus, it cuts the x-axis.
因為圖像開口向下,所以圖像與 x軸相交。

因此選項 A 為正確答案。

B)
$$\begin{align*}
y &= 16-(x-6)^2\\
&=16-(x^2-12x+36)\\
&=16-x^2+12x-36)\\
&=-x^2+12x-20
\end{align*}$$

The coefficient of ##x^2## is negative. Thus,the graph opens downwards.
##x^2## 的係數為負數,即是圖像開口向下。

因此選項 B 錯誤。

C)

當 ##x=0##,

$$\begin{align*}
y &= 16-(0-6)^2\\
&= 16-(-6)^2\\
&= 16-36\\
&= -20\\
\end{align*}$$

y-intercept is -20 
y-截距為-20 

因此選項 C 錯誤。

D)

當 ##x=0##,

$$\begin{align*}
y &= 16-(0-6)^2\\
&= 16-(-6)^2\\
&= 16-36\\
&= -20\\
&\neq 0
\end{align*}$$

因此選項 D 錯誤。

06. D
先判斷各常數的正負。

直線 3x+ay=b:
  x-intercept x截距 = ##\large \frac{b}{3}##
  y-intercept y截距 = ##\large \frac{b}{a}##
  slope 斜率 = ##\large \frac{-3}{a}##

從其圖像得知,L1的斜率及 x截距是正數。
From the graph, the slope and x-intercept of L1 are positive.

$$\begin{align*}
\frac{-3}{a} &\gt 0\\
\frac{1}{a} &\lt 0\\
a &\lt 0\\[10pt] \frac{b}{3} &\gt 0\\
b &\gt 0
\end{align*}$$

直線 cx+y=d:
  x-intercept x截距 = ##\large \frac{d}{c}##
  y-intercept y截距 = ##d##
  slope 斜率 = ##-c##

從其圖像得知,L1的斜率及 y截距是正數。
From the graph, the slope and y-intercept of L1 are positive.

$$\begin{align*}
-c &\gt 0\\
c &\lt 0\\[10pt] d &\gt 0
\end{align*}$$

I)
The slope L1 is greater than that of L2.
L1 的斜率比L2 的大。

$$\begin{align*}
\frac{-3}{a} &\gt -c\\[2pt] \frac{3}{a} &\lt c\\[2pt] 3 &\color{red}\gt ac\ \ (\because a \lt 0)\\[2pt] ac &\lt 3
\end{align*}$$

∴選項 I 正確。

II)
The y-intercept of L1 is greater than that of L2.
L1y-截距比 L2 的大。

$$\begin{align*}
\frac{b}{a} &\gt d\\[2pt] b &\color{red}\lt ad\ \ (\because a \lt 0)\\[2pt] ad &\gt b
\end{align*}$$

∴選項 II 錯誤。

III)
The x-intercept of L1 is greater than that of L2.
L1x-截距比 L2 的大。

$$\begin{align*}
\frac{b}{3} &\gt \frac{d}{c}\\
b &\gt \frac{3d}{c}\\[2pt] bc &\color{red}\lt 3d\ \ (\because c \lt 0)
\end{align*}$$

∴選項 III 正確。

相關文章:文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

07. D
$$\begin{align*}
&f(2m-1)\\
=&3(2m-1)^2-2(2m-1)+1\\
=&3(4m^2-4m+1)-4m+2+1\\
=&12m^2-12m+3-4m+3\\
=&12m^2-16m+6
\end{align*}$$

08. C
g(x) is divisible by x−1.
   g(x) 可被 x−1 整除。$$\begin{align*}
\therefore g(1) &= 0\\
1+a+b &= 0\\
b &= -1-a
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\text{remainder 餘式}\\
=&g(-1)\\
=&(-1)^8+a(-1)^7+b\\
=&1-a+b\\
=&1-a+(-1-a)\\
=&1-a-1-a\\
=&-2a
\end{align*}$$

09. D
$$\begin{align*}
&\text{Interest 利息}\\
=&100\,000 \times \Big(1+\frac{2%}{12}\Big)^{3 \times 12}-100\,000\\
=&6178.35\\
\approx&6178
\end{align*}$$

10. B
方法一:
$$\begin{align*}
3a&=4b\\
b&=\frac{3a}{4}\\[12pt] \frac{a}{c} &= \frac{2}{5}\\[2pt] \frac{c}{a} &= \frac{5}{2}\\[2pt] c &= \frac{5a}{2}\\
\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\frac{a+3b}{b+3c}\\[2pt] =&\frac{a+3 \times \frac{3a}{4}}{\frac{3a}{4}+3 \times \frac{5a}{2}}\\[2pt] =&\frac{\frac{14}{4}a}{\frac{33}{4}a}\\[2pt] =&\frac{13}{33}
\end{align*}$$

方法二:
$$\begin{align*}
3a &= 4b\\
\frac{a}{b} &= \frac{4}{3}\\
a:b &= 4:3
\end{align*}$$

$$\begin{eqnarray}
a &: &b &\ &= 4 &: &3 &\ \\
a &\ &\ &:c &= 2 &\ &\ &:5 \\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}
a &: &b &\ &= 4 &: &3 &\ \\
a &\ &\ &:c &= 4 &\ &\ &:10 \\
\hline{}
a &: &b &: c &= 4 &: &3 &:10 \\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{align*}
&\frac{a+3b}{b+3c}\\[2pt] =&\frac{4+3 \times 3}{3+3 \times 10}\\[2pt] =&\frac{13}{33}
\end{align*}$$

11. D
$$\begin{align*}
w &= \frac{k \sqrt{u}}{v^2}\\
\frac{v^2w}{\sqrt{u}} &= k\\[1pt] \frac{v^4w^2}{u} &= k^2
\end{align*}$$

If k is a constant, k² is also a constant.
如果 k 是常數,則 k² 亦是常數。

12. A
先求 a4 

$$\begin{cases}
a_6 = a_5+a_4\ …(1)\\
a_5 = a_4+a_3\ …(2)
\end{cases}$$

Sub. (2) into (1)
把 (2) 代入 (1)

$$\begin{align*}
a_6 &= (a_4+a_3)+a_4\\
a_6 &= 2a_4+a_3\\
89 &= 2a_4+21\\
a_4 &= 34
\end{align*}$$

然後求 a2 

$$\begin{align*}
a_4 &= a_3 + a_2\\
34 &= 21 + a_2\\
a_2 &= 13
\end{align*}$$

最後求 a1 
$$\begin{align*}
a_3 &= a_2 + a_1\\
21 &= 13 + a_1\\
a_1 &= 8
\end{align*}$$

13. C
$$\begin{align*}
\frac{1-2x}{3} &\ge x-3 & \text{or}&\ & 4x+9&\lt 1\\
1-2x &\ge 3x-9 & \text{or}&\ & 4x&\lt -8\\
-5x &\ge -10 & \text{or}&\ & x&\lt -2\\
x &\le 2 & \text{or}&\ & x&\lt -2\\[9pt] \therefore x\le 2
\end{align*}$$

14. B
  ABCDEFGH 的面積
=ABCD 面積 − EFGH 面積

要求面積的下限,ABCD 面積取最小,而EFGH 面積取最大。

$$\begin{align*}
&\text{Lower Limit of Area 面積下限}\\
=&(5.5 \times 3.5)-(2.5 \times 2.5)\\
=&13
\end{align*}$$

用相同方法求面積的上限

$$\begin{align*}
&\text{Upper Limit of Area 面積上限}\\
=&(6.5 \times 4.5)-(1.5 \times 1.5)\\
=&27
\end{align*}$$

$$\therefore 13\lt x\lt 27$$

相關文章:量度結果的最大值是什麼?

15. D
先求三角形的底。

$$\begin{align*}
x^2 + 8^2 &= 17^2\\
x &= 15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\text{Volume 體積}\\
=&\Big(\frac{1}{2} \times 8 \times 15\Big) \times 12\\
=&720\text{ cm}^3
\end{align*}$$

16. A
先連接 DE
Join DE.

然後依照 《文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題》 所述的方法,求 ΔBEF 的面積。

$$\begin{align*}
\frac{\Delta DEF \text{ 面積}}{\Delta BEF \text{ 面積}} &= \frac{AD}{BE}\\[2pt] \frac{120}{\Delta BEF \text{ 面積}} &= \frac{8}{5}\\[2pt] \Delta BEF \text{ 面積} &= 75
\end{align*}$$

留意 ΔBEDΔECD,它們的高相同,因此它們面積的比和底邊長度的比相同。
In ΔBEDΔECD, their height are the same. Thus, the ratio of their areas is same as that of base lengths.

$$\begin{align*}
\frac{\Delta BED \text{ 面積}}{\Delta ECD \text{ 面積}} &= \frac{BE}{EC}\\[2pt] \frac{120+75}{\Delta ECD \text{ 面積}} &= \frac{5}{3}\\[2pt] \Delta ECD \text{ 面積} &= 117
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
CDFE\text{ 面積} &= 120+117\\
&= 237\text{ cm}^2
\end{align*}$$

17. B
ΔOEAAO,亦即是扇形 Sector 的半徑。

Point E is the mid-point of AD.
E 點為 AD 的中點。
$$
\begin{align*}\therefore AE &= \frac{AD}{2}\\[2pt] &= \frac{39+9}{2}\\[2pt] &= 24\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AE^2+EO^2 &= AO^2\\
24^2+18^2 &= AO^2\\
AO &= 30
\end{align*}$$

參考下圖,在 OC 加上 G 點。 然後從 ΔOBGBOG


$$\begin{align*}
BG &= EF\\
&= AE-AF\\
&=24-9\\
&=15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\sin \angle BOG &= \frac{BG}{OB}\\[2pt] \sin \angle BOG &= \frac{15}{30}\ (OB=\text{半徑})\\[2pt] \angle BOG &= 30\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\text{扇形 }OBC \text{ 面積}\\
=& \pi r^2 \times \frac{\theta}{360\deg}\\[2pt] =& \pi (30)^2 \times \frac{30\deg}{360\deg}\\[2pt] =& 75 \pi\text{ cm}^2
\end{align*}$$

18. B
Rhombus is a parallelogram with four equal sides.
菱形是四邊相等的平行四邊形。

先證明 BCE=∠DCF。方法是以 SAS 證明 ΔBCE≅ΔDCF,詳細步驟在此省略。

Tips: 若以 AC 為對稱軸 axis of symmetry,很明顯整個圖像是對稱的,從而得知 BCE=∠DCF

參考下圗,

$$\begin{align*}
x+42\deg+x &= 110\deg\\
x &= 34\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
y &= 180\deg-110\deg\ (\because BC//AD)\\
&= 70\deg
\end{align*}$$

$$\text{In }\Delta BEC,\\
\begin{align*}
\angle BEC &= 180\deg-x-y\\
&= 180\deg-34\deg-70\deg\\
&= 76\deg
\end{align*}$$

19. D
$$\begin{align*}
&\text{Interior Angle 正五邊形內角}\\[2pt] =&\frac{(5-2)\times 180\deg}{5}\\[2pt] =&108\deg
\end{align*}$$

留意 BA//CE

$$\begin{align*}
\angle BCE &= 180\deg – \angle ABC\\
&= 180\deg – 108\deg\\
&=72\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle BCE + \angle ECD &= 108\deg\\
72\deg + \angle ECD &= 108\deg\\
\angle ECD &= 36\deg
\end{align*}$$

由於 AD//BC,用同一方法,可找到以下的角的大小。

I)
$$\text{In }\Delta CDF,\\[2pt] \begin{align*}
\angle CFD &= 180\deg – \angle FCD – \angle CDF\\
&=180\deg – 36\deg – 72\deg\\
&=72\deg\\
&=\angle CDF\\[8pt] \therefore CD&=CF
\end{align*}$$

因此選項 I 正確

II)
Refer to the figure, ABCF is a parallelogram. Thus, the lengths of opposite sides are equal. As ABCDE is a regular pentagon. i.e. AB=BC.
參考下圖,ABCF 是平行四邊形,因此對邊長度相等。而由於 ABCDE 是正五邊形,即是 AB=BC

$$\therefore AB=BC=CF=FA$$

從而可透過 SSS 證明 ΔABF≅ΔCBF

因此選項 II 正確

III)
已知 ΔABF≅ΔCBF 

$$\begin{align*}
\angle AFC &= \angle ABC\text{ (平行四邊形性質)}\\
\angle AFB + \angle CFB &= 108\deg\\
\angle AFB + \angle AFB &= 108\deg\\
\angle AFB &= 54\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle AFB+\angle EAF &= 54\deg+36\deg\\
&= 90\deg
\end{align*}$$

因此選項 III 正確

20. B
參考下圖,設 x=AB=ADy=DF

$$\begin{align*}
BF &= \sqrt{5^2-4^2}\\
&=3
\end{align*}$$

很明顯 ΔEBF∼ΔEAD

$$\begin{align*}
\frac{EB}{EA} &= \frac{BF}{AD}\\[2pt] \frac{4}{4+x} &= \frac{3}{x}\\[2pt] 4x &= 12+3x\\
x &=12
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{BF}{AD} &= \frac{EF}{ED}\\[2pt] \frac{3}{12} &= \frac{5}{5+y}\\[2pt] 5+y &= 20\\
y&= 15
\end{align*}$$

DF=15 cm

21. C
留意 AE=EF=FB

$$\begin{align*}
AF &= AE + EF\\
&= FB + EF\\
&= BE
\end{align*}$$

I)
雖然 ##AF=BE##,但無法判斷 ##\sin\alpha=\sin\beta## 是否正確。

因此選項 I 並非必定正確。

II)
$$\begin{align*}
\cos \alpha &= \frac{BE}{CE}\\[2pt] CE\cos \alpha &= BE
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\cos \beta &= \frac{AF}{DF}\\[2pt] DF\cos \beta &= AF
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\because BE &= AF\\
\therefore CE\cos \alpha &= DF\cos \beta
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)
$$\begin{align*}
\tan \alpha &= \frac{BC}{BE}\\[2pt] BE &= \frac{BC}{\tan \alpha}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\tan \beta &= \frac{AD}{AF}\\[2pt] AF &= \frac{AD}{\tan \beta}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\because BE &= AF\\
\therefore \frac{BC}{\tan \alpha} &= \frac{AD}{\tan \beta}\\[2pt] AD\tan \alpha &= BC\tan \beta
\end{align*}$$

因此選項 III 正確。

22. B
參考下圖,設 CED=x

$$\because BD=DE\\
\therefore \angle CBD= x$$

$$\begin{align*}
\angle CAD &= \angle CBD\text{ (}\angle s\text{ in the same segment 同弓形內的圓周角)}\\
&= x
\end{align*}$$

$$\text{In }\Delta ABE,\\
\begin{align*}
(x+66\deg)+(x+30\deg)+x &= 180\deg\\
3x+96\deg &= 180\deg\\
x &= 28\deg
\end{align*}$$

$$\therefore \angle CED = 28\deg$$

23. B
把整份試卷旋轉一周,該圖形共出現四次。

24. A

$$\begin{align*}
\angle COE &= 317\deg-127\deg\\
&=180\deg
\end{align*}$$

COE 為直線。

$$\begin{align*}
\angle COD &= 217\deg-127\deg\\
&=90\deg
\end{align*}$$

COD 為直角。

$$\begin{align*}
DE &= \sqrt{OE^2+OD^2}\\
&= \sqrt{5^2+12^2}\\
&= 13
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
CD &= \sqrt{OC^2+OD^2}\\
&= \sqrt{16^2+12^2}\\
&= 20
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\text{Perimeter 周界}\\
=&(16+5)+13+20\\
=&54
\end{align*}$$

25. D
The slope of L1 and L2 are both 3. Thus, they are parallel. The locus of P is located at the middle of the two straight lines.
L1L2 的斜率皆為 3,亦即是它們平行。而 P 的軌跡為於兩條直線的中間。

 

Note that the y-intercept of P is at the mid-point of the y-intercepts of L1 and L2.
留意 Py-截距為於 L1L2y-截距的中點。

   y-intercept of L1 
   L1y-軸截距
= 7

   y-intercept of L2 
   L2y-軸截距
= ##\large \frac{-11}{4}##

   y-intercept of P 
   Py-軸截距
= ##(7+\frac{-11}{4}) \div 2## 
= ##\large \frac{17}{8}##

$$\text{Equation of }P\text{ 方程}\\
y =3x+\frac{17}{8}\\[2pt] 8y =24x+17\\[2pt] 24x-8y+17 =0$$

26. C
參考下圖,先求 L2 的方程。

$$\begin{align*}
L_1\text{ 斜率} &= \frac{-4}{3}\\[2pt] L_2\text{ 斜率} &= \frac{-1}{\frac{-4}{3}}\\[2pt] &= \frac{3}{4}
\end{align*}$$

   y-intercept of L1 
   L1y-截距
= 12

$$\text{Equation of }L_2\text{ 方程}\\
y = \frac{3}{4}x+12$$

然後求兩直線的 x-intercept 截距。

   x-intercept of L1 
   L1x-截距
##4x+3(0)-36=0\\
x = 9##

   x-intercept of L2 
   L2x-截距
##0 = \frac{3}{4}x+12\\
x = -16##

$$\begin{align*}
&\text{Area 面積}\\
=&\frac{(9+16) \times 12}{2}\\[2pt] =&150
\end{align*}$$

27. C
Divide the equation by 5. Then, find the centre and radius.
先把整條方程除以 5,然後求圓心及半徑。

$$\begin{align*}
5x^2+5y^2-30x+10y+6 &= 0\\
x^2+y^2-6x+2y+\frac{6}{5} &=0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Centre 圓心} &= \Big( \frac{-6}{-2},\frac{2}{-2} \Big)\\
&=(3,-1)\\[7pt] \text{Radius 半徑} &= \sqrt{ 3^2+1^2-\frac{6}{5} }\\
&=\sqrt{\frac{44}{5}}\\
&\approx 2.97
\end{align*}$$

A)

$$\begin{align*}
&\text{Distance between origin and centre}\\
&\text{原點與圓心之距離}\\
=&\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2}\\
=&\sqrt{10}\\
\approx &3.16\\
\gt &\text{radius 半徑}
\end{align*}$$

Thus, the origin lies outside C.
因此, 圓心為於 C 之外。

B)
Centre 圓心 = (3,−1) 

The centre is in the forth quadrant.
圓心為於第四象限。

因此選項 B 錯誤。

C)
$$\begin{align*}
\text{Circumference 圓周} &= 2 \pi r\\
&=2(2.97)(3.14)\\
&\approx 18.7\\
&\lt 20
\end{align*}$$

因此選項 C 正確。

D)
Centre 圓心 = (3,−1) 

因此選項 D 錯誤。

28. A
$$\begin{align*}
&\text{P(sum=5)}\\[2pt] =&\text{P(1,4)}+\text{P(2,3)}\\[2pt] =&\frac{3}{7}\times\frac{1}{6}\times 2+\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\times 2\\[2pt] =&\frac{5}{21}
\end{align*}$$

29. C
$$\begin{align*}
&\frac{10 \times 132-6 \times 108}{4}\\
=&168
\end{align*}$$

30. A
$$Q_1=(30+a),\ \ Q_3=(60+b)$$

如果 ##Q_1\le 34##, IQR 四分位數間距 >25 
如果 ##Q_1=35##,##Q_3=60## 
如果 ##Q_1=36##,##Q_3=60, 61## 
如此類推,從而得到以下列表。

$$
\newcommand\T{\Rule{0pt}{.8em}{.1em}}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\ Q_1\ & \ \ 35\ \ & \ \ 36\ \ & \ \ 37\ \ & \ \ 38\ \ & \ \ 39\ \ \\\hline
Q_3 & 60 & 60 & 60 & 60 & 60\\
& & 61 & 61 & 61 & 61\\
& & & 62 & 62 & 62\\
& & & & 63 & 63\\
& & & & & 64\\
\end{array}
$$

I)
很上表得知, ##35 \le Q_1 \le 39##。
即是 ##5 \le a \le 9##。

因此選項 I 正確。

II)
很上表得知, ##60 \le Q_3 \le 64##。
即是 ##0 \le b \le 4##。

因此選項 II 正確。

III)
考慮 ##Q_1=39, Q_3=60## 的情況。

##a-b=9##

因此選項 III 錯誤。

31. C
Assume the curve on the right is f(x).
f(x) is translated to left by 4 units. Then, it is reflected along x-axis. The curve on the left can be obtained.

設右面的曲線為 f(x)
只要把 f(x) 向左平移4單位,然後沿 x-軸反射,便可得到左面的曲線。

因此答案是 C。

32. C
I)
Refer to the figure below, if the base of log > 1,the function is increasing. i.e. The slope is positive.
參考以下圖像,當 log 的底數 > 1,該函數為遞增,即是斜率為正數。

 

因此選擇 I 正確。

II)
方法一:
Let ##A=(OC,AC),\ B=(OC,BC)##. Then, put them into the corresponding equations.
設 ##A=(OC,AC),\ B=(OC,BC)##,然後把它們代入對應的方程。

$$\begin{cases}
AC = \log_a\,OC\\
BC = \log_b\,OC
\end{cases}$$

從圖像得知 ##AC \gt BC##,

$$\begin{align*}
AC &\gt BC\\
\log_a\,OC &\gt \log_b\,OC\\
\frac{\log OC}{\log a} &\gt \frac{\log OC}{\log b}\\
\frac{1}{\log a} &\gt \frac{1}{\log b}\\
\log a &\lt \log b\\
a &\lt b
\end{align*}$$

因此選擇 II 錯誤。

方法二:
參考以下圖像,如果 x>1log 的底數越大,其圖像上升越慢。因此選擇 II 錯誤。

 

III)
$$\begin{cases}
AC = \log_a\,OC\\
BC = \log_b\,OC
\end{cases}$$

$$\begin{align*}
\frac{AB}{BC} &= \frac{AC-BC}{BC}\\[1pt] &=\frac{AC}{BC}-1\\[1pt] &=\frac{\log_a\,OC}{\log_b\,OC}-1\\[2pt] &=\frac{\frac{\log OC}{\log a}}{\frac{\log OC}{\log b}}-1\\[1pt] &=\frac{\log b}{\log a}-1\\
&=\frac{\log b-\log a}{\log a}\\
&=\frac{\log \frac{b}{a}}{\log a}\\
&=\log_a\frac{b}{a}
\end{align*}$$

因此選項 III 正確。

33. D
方法一:
$$\begin{align*}
\text{slope 斜率} &=\frac{6-2}{9-1}\\[2pt] &=\frac{1}{2}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\log_4 y-2 &=\frac{1}{2}(\log_4 x-1)\\
\log_4 y-2 &=\frac{1}{2}\log_4 x-\frac{1}{2}\\[1pt] \log_4 y-\frac{1}{2}\log_4 x &= \frac{3}{2}\\
\log_4 \frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= \frac{3}{2}\\
\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= \big(4\big)^{\frac{3}{2}}\\
\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= 8\\
y&=8x^{\frac{1}{2}}
\end{align*}$$

$$\therefore k=8$$

方法二:
圖像共給了兩點坐標 (1,2)(9,6)

(1,2),

$$\begin{cases}
\log_4 x=1\\
\log_4 y=2
\end{cases}
$$
$$\begin{cases}
x=4\\
y=4^2
\end{cases}$$

(9,6),

$$\begin{cases}
\log_4 x=9\\
\log_4 y=6
\end{cases}
$$
$$\begin{cases}
x=4^9\\
y=4^6
\end{cases}$$

然後把 ##(4,4^2)## 及 ##(4^9,4^6)## 代入 ##y=kx^a##。

$$\begin{cases}
4^2 = k \cdot 4^a\ \ …(1)\\
4^6 = k \cdot \big(4^9\big)^a\ …(2)
\end{cases}$$

##(2) \div (1)## 

$$\begin{align*}
\frac{4^6}{4^2} &= \frac{4^{9a}}{4^a}\\[2pt] 4^4 &= 4^{8a}\\
4 &= 8a\\
a &=\frac{1}{2}
\end{align*}$$

把 ##a=\frac{1}{2}## 代入 (1)

$$\begin{align*}
4^2 &= k \cdot \big(4\big)^\frac{1}{2}\\
k &= 8
\end{align*}$$

相關文章:文憑試實戰篇 #16 對數(log)與直線圖像

34. C
先作圖以瞭解各直線的位置。

 

(x, y) 位於已塗上顏色的區域內。然後透過聯立方程(Simultaneous Equations),可找到 P, Q, RS 點坐標。

P 點:

$$\begin{cases}
x+5y-91 =0\\
3x+2y=0
\end{cases}\\[4pt] P=(-14,21)
$$
Q 點:

$$\begin{cases}
x-y-35=0\\
3x+2y=0
\end{cases}\\[4pt] Q=(14,-21)
$$
R 點:

$$\begin{cases}
x-y-35=0\\
x-21=0
\end{cases}\\[4pt] R=(21,-14)
$$
S 點:

$$\begin{cases}
x+5y-91=0\\
x-21=0
\end{cases}\\[4pt] S=(21,14)
$$

然後把各點坐標代入 ##5x+6y+234##。

$$
P:5(-14)+6(21)+234 = 290\\
Q:5(14)+6(-21)+234 = \color{red}{178}\\
R:5(21)+6(-14)+234 = 255\\
S:5(21)+6(14)+234 = 423$$

∴ 最小值 =178 

35. B
##T(n)=S(n)-S(n – 1)##

先用以上公式求通項 General Term T(n)

$$\begin{align*}
T(n) &= S(n)-S(n – 1)\\
&=(6n^2 – n)-[6(n – 1)^2-(n – 1)]\\
&=6n^2-n-[6(n^2-2n+1)-n+1]\\
&=6n^2-n-[6n^2-12n+6-n+1]\\
&=6n^2-n-6n^2+12n+n-7\\
&=12n-7
\end{align*}$$

I)
$$\begin{align*}
T(n) &= 12n-7\\
22 &= 12n-7\\
29 &= 12n\\
n &= \frac{29}{12}
\end{align*}$$

因為 n 不是整數,因此選項 I 錯誤。

II)
$$\begin{align*}
T(1) &= 12(1) – 7\\
&= 5
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)
$$\begin{align*}
T(n) &= 12n-7\\
&=12n-12+12-7\\
&=12(n – 1)+5\\
&=5+(n – 1)12
\end{align*}$$

T(n) can be expressed in the form of ##a+(n – 1)d##. Thus, the sequence is a arithmetic sequence.
T(n) 能以 ##a+(n – 1)d## 的方式表示,因此該數到為等差數列。

Tips: 若 T(n) 能以 an+b 的方式表示,該數列便是等差數列 A.S.。

因此選項 III 錯誤。

36. A
$$\begin{cases}
2m^2+5m = 14\\
2n^2+5n = 14
\end{cases}$$

其意思是 mn 是 ##2x^2+5x-14=0## 的根 roots。

$$\begin{align*}
m+n &= \frac{-5}{2}\\[5pt] mn &= \frac{-14}{2}\\[2pt] &= -7
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&(m+2)(n+2)\\
=&mn+2m+2n+4\\
=&mn+2(m+n)+4\\
=&-7+2\Big(\frac{-5}{2}\Big)+4\\
=&-8
\end{align*}$$

37. D

##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

之後不斷重複循環,由此可得知

$$i^{12} = 1\\
i^{13} = i\\
i^{14} = -1\\
i^{15} = -i\\
i^{16} = 1$$

$$\begin{align*}
&\frac{2i^{12}+3i^{13}+4i^{14}+5i^{15}+6i^{16}}{1-i}\\
=&\frac{2(1)+3(i)+4(-1)+5(-i)+6(1)}{1-i}\\
=&\frac{2+3i-4-5i+6}{1-i}\\
=&\frac{4-2i}{1-i}\text{ (按計數機)}\\
=&3+i
\end{align*}$$

∴ real part 實部 = 3 

38. B
解方程:

$$\begin{align*}
6x^2-x-5 &= 0\\
(x-1)(6x+5) &= 0\\
x &= 1 \text{ or } \frac{-5}{6}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
6\cos^2 x &= \cos x+5\\
6\cos^2 x-\cos x-5 &= 0\\
\cos x &= 1 \text{ or } \frac{-5}{6}
\end{align*}$$

當 ##\cos x = 1##,

$$\begin{align*}
\cos x &= 1\\
x &= 0\deg
\end{align*}$$

當 ##\cos x = \frac{-5}{6}##,

$$\begin{align*}
\cos x &= \frac{-5}{6}\\[2pt] \theta &= (180\deg – 33.6\deg)\ \text{or}\ \ (180\deg +33.6\deg)\\
\theta &= 146.4\deg\ \text{or}\ \ 213.6\deg
\end{align*}$$

因此共有 3 個根(roots)。

39. B
連接 ACAD。 從交錯弓形的圓周角 angles in the alternate segment 可得到以下圖像。

 

$$\because AB = CD\\
\therefore \angle ACB = \angle CAD = 24\deg \text{ (equal chords,equal }\angle\text{s 等弦對等角)}$$

 

$$\text{In }ΔACE,\\
\begin{align*}
x+72\deg+x+24 &= 180\deg\\
x&= 42\deg
\end{align*}$$

$$\text{In }ΔACD,\\
\begin{align*}
\angle ADC +x+24\deg &= 180\deg\\
\angle ADC +42\deg+24\deg &= 180\deg\\
\angle ADC &= 114\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle ABC &= 180\deg – \angle ADC\text{ (opp. }\angle\text{s, cyclic quad. 圓內接四邊形對角)}\\
&=180\deg – 114\deg\\
&=66\deg
\end{align*}$$

40. A
參考下圖,留意 x-軸為三角形的高線 altitude,即是三角形的垂心 orthocentre 必定在 x-軸之上。

 

H 點為三角形垂心 orthocentre,其坐標為 (10,0)。基於垂心 orthocentre 的性質,##RH \perp PQ##,因此

 

$$\begin{align*}
m_{\small RH} \times m_{\small PQ} &= -1\\[2pt] \frac{k-0}{0-10} \times \frac{\frac{a}{5}-0}{0-\frac{a}{2}} &= -1\\[2pt] \frac{k}{-10} \times \frac{-2}{5} &= -1\\[2pt] k &= -25
\end{align*}$$

相關文章:求垂心 (Orthocentre)坐標的方法

41. D
Point Y is the projection of point X on plane ABGF.
Y 點為 X 點於平面 ABGF 的投影。

 

##\theta## 為 ##\angle XBY##。

 

$$\begin{align*}
BY &= \sqrt{AB^2+AY^2}\\
&= \sqrt{12^2+9^2}\\
&=15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
BX &=\sqrt{AB^2+AY^2+AD^2}\\
&= \sqrt{12^2+9^2+8^2}\\
&=17
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\cos \theta &= \frac{BY}{BX}\\[2pt] &=\frac{15}{17}
\end{align*}$$

相關文章:長方體對角線長度

42. A
$$\begin{align*}
&C_3^{14}+C_3^{15}\\[2pt] =&819
\end{align*}$$

43. C
情況一: John 第一次擲骰時便取得 '6'

$$P=\frac{1}{6}$$

情況二: John 和 Mary 在第一回合都無法勝出,然後 John 在第二次擲骰時取得 '6'

$$\begin{align*}
P&=\Big(\frac{4}{6} \times \frac{4}{6}\Big)\Big(\frac{1}{6}\Big)\\
&=\Big(\frac{4}{9}\Big) \Big(\frac{1}{6}\Big)
\end{align*}$$

情況三: John 和 Mary 在首兩回合都無法勝出,然後 John 在第三次擲骰時取得 '6'

$$\begin{align*}
P&=\Big(\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} \Big) \Big(\frac{4}{6} \times \frac{4}{6}\Big)\Big(\frac{1}{6}\Big)\\
&=\Big(\frac{4}{9}\Big)^2 \Big(\frac{1}{6}\Big)
\end{align*}$$

如此類推,因此所需概率為

$$\begin{align*}
P &= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \Big(\frac{4}{9}\Big) + \frac{1}{6} \Big(\frac{4}{9}\Big)^2 + …\\
&=\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{4}{9}}\\
&=\frac{3}{10}
\end{align*}$$

44. B
$$\begin{align*}
z &=\frac{x-\bar{x}}{\sigma}\\[2pt] -2.2 &=\frac{46-68}{\sigma}\\[2pt] \sigma &= 10
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
z &= \frac{52-68}{10}\\[2pt] &=-1.6
\end{align*}$$

45. A
在每個數據加上相同的常數。
  標準差及方差維持不變 

Adding a common constant to each datum
  Standard Deviation and Variance remain unchanged.

d 為數列的公差及 an 為數列的第 n 項。
Let d be the common difference and an be the nth term of the sequence.

數列的最後 7 項是 a43, a44, … , a49

$$a_{43} = a_1 + 42d\\
a_{44} = a_2+ 42d\\
a_{45} = a_3+ 42d\\
a_{46} = a_4+ 42d\\
a_{47} = a_5+ 42d\\
a_{48} = a_6+ 42d\\
a_{49} = a_7+ 42d
$$

只要把數列的首7項各自加上 42d,就變成該數列的最後7項。因此方差保持不變。

標籤: , , , , ,

分類: 計數機應用及歷屆試題


回應 (2)

Trackback URL | Comments RSS Feed

  1. Pen 說:

    Q40, orthocentre H 是(10, 0) 才對呀

發表回應

回應內容: