HKDSE 2018 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
&\ \frac{8^{2n+1}}{4^{3n+1}}\\[3pt] =&\ \frac{\big(2^3\big)^{2n+1}}{\big(2^2\big)^{3n+1}}\\[3pt] =&\ \frac{2^{6n+3}}{2^{6n+2}}\\[3pt] =&\ 2^{(6n+3)-(6n+2)}\\[2pt] =&\ 2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{\alpha}{1-x} &= \frac{\beta}{x}\\[2pt] \alpha x &= \beta-\beta x\\[2pt] \alpha x+\beta x &= \beta\\[2pt] x(\alpha+\beta) &= \beta\\[2pt] x &= \frac{\beta}{\alpha+\beta}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ h^2-6h-4k^2-12k\\[1pt] =&\ h^2-4k^2-6h-12k\\[1pt] =&\ h^2-(2k)^2-(6h+12k)\\[1pt] =&\ (h+2k)(h-2k)-6(h+2k)\\[1pt] =&\ (h+2k)(h-2k-6)
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #8 四項式因式分解 Factoring of polynomials with 4 terms

$$\begin{align*}
&\ \frac{1}{3x +7}-\frac{1}{3x -7}\\[3pt] =&\ \frac{(3x -7) -(3x +7)}{(3x +7)(3x -7)}\\[3pt] =&\ \frac{3x -7 -3x -7}{9x^2 -49}\\[3pt] =&\ \frac{-14}{9x^2 -49}\\[3pt] =&\ \frac{14}{49 -9x^2}\\[3pt] \end{align*}$$

A)

Vertex 頂點 = (+6,16) 
The graph opens downwards. Thus, it cuts the x-axis.
因為圖像開口向下，所以圖像與 x軸相交。

因此選項 A 為正確答案。

B)

The coefficient of ##x^2## is negative. Thus,the graph opens downwards.
##x^2## 的係數為負數，即是圖像開口向下。

因此選項 B 錯誤。

C)

當 ##x=0##,

$$\begin{align*}
y &= 16 -(0 -6)^2\\
&= 16 -(-6)^2\\
&= 16 -36\\
&= -20\\
\end{align*}$$

y-intercept is −20 
y-截距為 −20 

因此選項 C 錯誤。

D)

當 ##x=0##,

$$\begin{align*}
y &= 16 -(0 -6)^2\\
&= 16 -(-6)^2\\
&= 16 -36\\
&= -20\\
&\neq 0
\end{align*}$$

因此選項 D 錯誤。

先判斷各常數的正負。

直線 3x+ay=b:
  x-intercept x截距 = ##\large \frac{b}{3}##
  y-intercept y截距 = ##\large \frac{b}{a}##
  slope 斜率 = ##\large \frac{-3}{a}##

從其圖像得知，L₁的斜率是正數而 x截距是負數。
From the graph, the slope of L₁ is positive while the x-intercept is negative.

$$\begin{align*}
\frac{-3}{a} &\gt 0\\
\frac{1}{a} &\lt 0\\
a &\lt 0\\[10pt] \frac{b}{3} &\lt 0\\
b &\lt 0
\end{align*}$$

直線 cx+y=d:
  x-intercept x截距 = ##\large \frac{d}{c}##
  y-intercept y截距 = ##d##
  slope 斜率 = ##-c##

從其圖像得知，L₂的斜率及 y截距是正數。
From the graph, the slope and y-intercept of L₂ are positive.

$$\begin{align*}
-c &\gt 0\\
c &\lt 0\\[10pt] d &\gt 0
\end{align*}$$

I)
The slope L₁ is greater than that of L₂.
L₁ 的斜率比L₂ 的大。

$$\begin{align*}
\frac{-3}{a} &\gt -c\\[2pt] \frac{3}{a} &\lt c\\[2pt] 3 &\color{red}\gt ac\ \ (\because a \lt 0)\\[2pt] ac &\lt 3
\end{align*}$$

∴選項 I 正確。

II)
The y-intercept of L₁ is greater than that of L₂.
L₁ 的 y-截距比 L₂ 的大。

$$\begin{align*}
\frac{b}{a} &\gt d\\[2pt] b &\color{red}\lt ad\ \ (\because a \lt 0)\\[2pt] ad &\gt b
\end{align*}$$

∴選項 II 錯誤。

III)
The x-intercept of L₁ is greater than that of L₂.
L₁ 的 x-截距比 L₂ 的大。

$$\begin{align*}
\frac{b}{3} &\gt \frac{d}{c}\\
b &\gt \frac{3d}{c}\\[2pt] bc &\color{red}\lt 3d\ \ (\because c \lt 0)
\end{align*}$$

∴選項 III 正確。

相關文章：文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

$$\begin{align*}
&\ f(2m -1)\\
=&\ 3(2m -1)^2 -2(2m -1) +1\\
=&\ 3(4m^2 -4m +1) -4m +2 +1\\
=&\ 12m^2 -12m +3 -4m +3\\
=&\ 12m^2 -16m +6
\end{align*}$$

∵ g(x) is divisible by x−1.
   g(x) 可被 x−1 整除。$$\begin{align*}
\therefore g(1) &= 0\\
1+a+b &= 0\\
b &= -1-a
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{remainder 餘式}\\
=&\ g(-1)\\
=&\ (-1)^8+a(-1)^7+b\\
=&\ 1 -a+b\\
=&\ 1 -a+(-1 -a)\\
=&\ 1 -a -1 -a\\
=&\ -2a
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Interest 利息}\\
=&\ 100\,000 \times \Big(1+\frac{2\%}{12}\Big)^{3 \times 12}-100\,000\\
=&\ 6178.35\\
\approx&\ 6178
\end{align*}$$

方法一:
$$\begin{align*}
3a&=4b\\
b&=\frac{3a}{4}\\[12pt] \frac{a}{c} &= \frac{2}{5}\\[2pt] \frac{c}{a} &= \frac{5}{2}\\[2pt] c &= \frac{5a}{2}\\
\
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \frac{a+3b}{b+3c}\\[2pt] =&\ \frac{a+3 \times \frac{3a}{4}}{\frac{3a}{4}+3 \times \frac{5a}{2}}\\[2pt] =&\ \frac{\frac{14}{4}a}{\frac{33}{4}a}\\[2pt] =&\ \frac{13}{33}
\end{align*}$$

方法二:
$$\begin{align*}
3a &= 4b\\
\frac{a}{b} &= \frac{4}{3}\\
a:b &= 4:3
\end{align*}$$

$$\begin{eqnarray}
a &: &b &\ &= 4 &: &3 &\ \\
a &\ &\ &:c &= 2 &\ &\ &:5 \\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}
a &: &b &\ &= 4 &: &3 &\ \\
a &\ &\ &:c &= 4 &\ &\ &:10 \\
\hline{}
a &: &b &: c &= 4 &: &3 &:10 \\
\end{eqnarray}$$

$$\begin{align*}
&\ \frac{a+3b}{b+3c}\\[2pt] =&\ \frac{4+3 \times 3}{3+3 \times 10}\\[2pt] =&\ \frac{13}{33}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
w &= \frac{k \sqrt{u}}{v^2}\\
\frac{v^2w}{\sqrt{u}} &= k\\[1pt] \frac{v^4w^2}{u} &= k^2
\end{align*}$$

If k is a constant, k² is also a constant.
如果 k 是常數，k² 亦是常數。

先求 a₄ 

$$\begin{cases}
a_6 = a_5+a_4\ …(1)\\
a_5 = a_4+a_3\ …(2)
\end{cases}$$

Sub. (2) into (1)
把 (2) 代入 (1)

$$\begin{align*}
a_6 &= (a_4+a_3)+a_4\\
a_6 &= 2a_4+a_3\\
89 &= 2a_4+21\\
a_4 &= 34
\end{align*}$$

然後求 a₂ 

最後求 a₁ 

$$\begin{align*}
\frac{1-2x}{3} &\ge x-3 & \text{or}&\ & 4x+9&\lt 1\\
1-2x &\ge 3x-9 & \text{or}&\ & 4x&\lt -8\\
-5x &\ge -10 & \text{or}&\ & x&\lt -2\\
x &\le 2 & \text{or}&\ & x&\lt -2\\[9pt] \therefore x\le 2
\end{align*}$$

  ABCDEFGH 的面積
=ABCD 面積 − EFGH 面積

要求面積的下限，ABCD 面積取最小，而EFGH 面積取最大。

$$\begin{align*}
\ &\text{Lower Limit of Area 面積下限}\\
=&\ (5.5 \times 3.5)-(2.5 \times 2.5)\\
=&\ 13
\end{align*}$$

用相同方法求面積的上限

$$\begin{align*}
&\ \text{Upper Limit of Area 面積上限}\\
=&\ (6.5 \times 4.5)-(1.5 \times 1.5)\\
=&\ 27
\end{align*}$$

$$\therefore 13\lt x\lt 27$$

相關文章：量度結果的最大值是什麼?

先求三角形的底。

$$\begin{align*}
x^2 + 8^2 &= 17^2\\
x &= 15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Volume 體積}\\
=&\ \Big(\frac{1}{2} \times 8 \times 15\Big) \times 12\\
=&\ 720\text{ cm}^3
\end{align*}$$

先連接 DE。
Join DE.

然後依照 《文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題》 所述的方法，求 ΔDEF 及 ΔBEF 的面積。

$$\begin{align*}
\triangle DEF \text{ 面積} &= 120\\[10pt] \frac{\triangle ABF \text{ 面積}}{\triangle BEF \text{ 面積}} &= \frac{AD}{BE}\\[2pt] \frac{120}{\triangle BEF \text{ 面積}} &= \frac{8}{5}\\[2pt] \triangle BEF \text{ 面積} &= 75
\end{align*}$$

留意 ΔBED 及 ΔECD，它們的高相同，因此它們面積的比和底邊長度的比相同。
In ΔBED 及 ΔECD, their height are the same. Thus, the ratio of their areas is same as that of base lengths.

$$\begin{align*}
\frac{\triangle BED \text{ 面積}}{\triangle ECD \text{ 面積}} &= \frac{BE}{EC}\\[2pt] \frac{120+75}{\triangle ECD \text{ 面積}} &= \frac{5}{3}\\[2pt] \triangle ECD \text{ 面積} &= 117
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
CDFE\text{ 面積} &= 120+117\\
&= 237\text{ cm}^2
\end{align*}$$

從 ΔOEA 求 AO，亦即是扇形 Sector 的半徑。

Point E is the mid-point of AD.
E 點為 AD 的中點。
$$
\begin{align*}\therefore AE &= \frac{AD}{2}\\[2pt] &= \frac{39+9}{2}\\[2pt] &= 24\end{align*}$$

$$\begin{align*}
AE^2+EO^2 &= AO^2\\
24^2+18^2 &= AO^2\\
AO &= 30
\end{align*}$$

參考下圖，在 OC 加上 G 點。 然後從 ΔOBG 求 ∠BOG。

$$\begin{align*}
BG &= EF\\
&= AE-AF\\
&=24-9\\
&=15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\sin \angle BOG &= \frac{BG}{OB}\\[2pt] \sin \angle BOG &= \frac{15}{30}\ (OB=\text{半徑})\\[2pt] \angle BOG &= 30\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{扇形 }OBC \text{ 面積}\\
=&\ \pi r^2 \times \frac{\theta}{360\deg}\\[2pt] =&\ \pi (30)^2 \times \frac{30\deg}{360\deg}\\[2pt] =&\ 75 \pi\text{ cm}^2
\end{align*}$$

先證明 ∠BCE=∠DCF。方法是以 SAS 證明 ΔBCE≅ΔDCF，詳細步驟在此省略。

Tips: 若以 AC 為對稱軸 axis of symmetry，很明顯整個圖像是對稱的，從而得知 ∠BCE=∠DCF。

參考下圗，

$$\begin{align*}
x+42\deg+x &= 110\deg\\
x &= 34\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
y &= 180\deg-110\deg\ (\because BC//AD)\\
&= 70\deg
\end{align*}$$

$$\text{In }\Delta BEC,\\
\begin{align*}
\angle BEC &= 180\deg-x-y\\
&= 180\deg-34\deg-70\deg\\
&= 76\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Interior Angle 正五邊形內角}\\[2pt] =&\ \frac{(5-2)\times 180\deg}{5}\\[2pt] =&\ 108\deg
\end{align*}$$

留意 BA//CE。

$$\begin{align*}
\angle BCE &= 180\deg – \angle ABC\\
&= 180\deg – 108\deg\\
&= 72\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle BCE + \angle ECD &= 108\deg\\
72\deg + \angle ECD &= 108\deg\\
\angle ECD &= 36\deg
\end{align*}$$

由於 AD//BC，用同一方法，可找到以下的角的大小。

I)
$$\text{In }\Delta CDF,\\[2pt] \begin{align*}
\angle CFD &= 180\deg – \angle FCD – \angle CDF\\
&=180\deg – 36\deg – 72\deg\\
&=72\deg\\
&=\angle CDF\\[8pt] \therefore CD&=CF
\end{align*}$$

因此選項 I 正確

II)
Referring to the figure, ABCF is a parallelogram. Thus, the lengths of opposite sides are equal. As ABCDE is a regular pentagon. i.e. AB=BC.
參考下圖，ABCF 是平行四邊形，因此對邊長度相等。而由於 ABCDE 是正五邊形，即是 AB=BC。

$$\therefore AB=BC=CF=FA$$

從而可透過 SSS 證明 ΔABF≅ΔCBF。

因此選項 II 正確

III)
已知 ΔABF≅ΔCBF 

$$\begin{align*}
\angle AFC &= \angle ABC\text{ (平行四邊形性質)}\\
\angle AFB + \angle CFB &= 108\deg\\
\angle AFB + \angle AFB &= 108\deg\\
\angle AFB &= 54\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle AFB+\angle EAF &= 54\deg+36\deg\\
&= 90\deg
\end{align*}$$

因此選項 III 正確

參考下圖，設 x=AB=AD 及 y=DF。

$$\begin{align*}
BF &= \sqrt{5^2-4^2}\\
&=3
\end{align*}$$

很明顯 ΔEBF∼ΔEAD，

$$\begin{align*}
\frac{EB}{EA} &= \frac{BF}{AD}\\[2pt] \frac{4}{4+x} &= \frac{3}{x}\\[2pt] 4x &= 12+3x\\
x &=12
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{BF}{AD} &= \frac{EF}{ED}\\[2pt] \frac{3}{12} &= \frac{5}{5+y}\\[2pt] 5+y &= 20\\
y&= 15
\end{align*}$$

∴ DF=15 cm

留意 AE=EF=FB。

$$\begin{align*}
AF &= AE + EF\\
&= FB + EF\\
&= BE
\end{align*}$$

I)
雖然 ##AF=BE##，但無法判斷 ##\sin\alpha=\sin\beta## 是否正確。

因此選項 I 並非必定正確。

II)

$$\begin{align*}
\cos \beta &= \frac{AF}{DF}\\[2pt] DF\cos \beta &= AF
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\because BE &= AF\\
\therefore CE\cos \alpha &= DF\cos \beta
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)

$$\begin{align*}
\tan \beta &= \frac{AD}{AF}\\[2pt] AF &= \frac{AD}{\tan \beta}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\because BE &= AF\\
\therefore \frac{BC}{\tan \alpha} &= \frac{AD}{\tan \beta}\\[2pt] AD\tan \alpha &= BC\tan \beta
\end{align*}$$

因此選項 III 正確。

參考下圖，設 ∠CED=x。

$$\because BD=DE\\
\therefore \angle CBD= x$$

$$\begin{align*}
\angle CAD &= \angle CBD\text{ (}\angle s\text{ in the same segment 同弓形內的圓周角)}\\
&= x
\end{align*}$$

$$\text{In }\Delta ABE,\\
\begin{align*}
(x+66\deg)+(x+30\deg)+x &= 180\deg\\
3x+96\deg &= 180\deg\\
x &= 28\deg
\end{align*}$$

$$\therefore \angle CED = 28\deg$$

把整份試卷旋轉一周，該圖形共出現四次。

$$\begin{align*}
\angle COE &= 307\deg-127\deg\\
&=180\deg
\end{align*}$$

∴ COE 為直線。

$$\begin{align*}
\angle COD &= 217\deg-127\deg\\
&=90\deg
\end{align*}$$

∴ ∠COD 為直角。

$$\begin{align*}
DE &= \sqrt{OE^2+OD^2}\\
&= \sqrt{5^2+12^2}\\
&= 13
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
CD &= \sqrt{OC^2+OD^2}\\
&= \sqrt{16^2+12^2}\\
&= 20
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Perimeter 周界}\\
=&\ (16+5)+13+20\\
=&\ 54
\end{align*}$$

The slope of L₁ and L₂ are both 3. Thus, they are parallel. The locus of P is located at the middle of the two straight lines.
L₁ 及 L₂ 的斜率皆為 3，亦即是它們平行。而 P 的軌跡為於兩條直線的中間。

 

Note that the y-intercept of P is at the mid-point of the y-intercepts of L₁ and L₂.
留意 P 的 y-截距為於 L₁ 及 L₂ 的 y-截距的中點。

   y-intercept of L₁ 
   L₁ 的 y-軸截距
= 7

   y-intercept of L₂ 
   L₂ 的 y-軸截距
= ##\large \frac{-11}{4}##

   y-intercept of P 
   P 的 y-軸截距
= ##(7+\frac{-11}{4}) \div 2## 
= ##\large \frac{17}{8}##

$$\text{Equation of }P\text{ 方程}\\
\ y =3x+\frac{17}{8}\\[2pt] 8y =24x+17\\[3pt] 24x-8y+17 =0$$

相關文章：常見軌跡 Common Loci

參考下圖，先求 L₂ 的方程。

$$\begin{align*}
L_1\text{ 斜率} &= \frac{-4}{3}\\[2pt] L_2\text{ 斜率} &= \frac{-1}{\frac{-4}{3}}\\[2pt] &= \frac{3}{4}
\end{align*}$$

   y-intercept of L₁ 
   L₁ 的 y-截距
= 12

$$\text{Equation of }L_2\text{ 方程}\\
y = \frac{3}{4}x+12$$

然後求兩直線的 x-intercept 截距。

   x-intercept of L₁ 
   L₁ 的 x-截距
##4x+3(0)-36=0\\
x = 9##

   x-intercept of L₂ 
   L₂ 的 x-截距
##0 = \frac{3}{4}x+12\\
x = -16##

$$\begin{align*}
&\ \text{Area 面積}\\
=&\ \frac{(9+16) \times 12}{2}\\[2pt] =&\ 150
\end{align*}$$

Divide the equation by 5. Then, find the centre and radius.
先把整條方程除以 5，然後求圓心及半徑。

$$\begin{align*}
5x^2+5y^2-30x+10y+6 &= 0\\
x^2+y^2-6x+2y+\frac{6}{5} &=0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Centre 圓心} &= \Big( \frac{-6}{-2},\frac{2}{-2} \Big)\\
&=(3,-1)\\[7pt] \text{Radius 半徑} &= \sqrt{ 3^2+1^2-\frac{6}{5} }\\
&=\sqrt{\frac{44}{5}}\\
&\approx 2.97
\end{align*}$$

A)

Thus, the origin lies outside C.
因此, 圓心為於 C 之外。

B)
Centre 圓心 = (3,−1) 

The centre is in the forth quadrant.
圓心為於第四象限。

因此選項 B 錯誤。

C)

因此選項 C 正確。

D)
Centre 圓心 = (3,−1) 

因此選項 D 錯誤。

$$\begin{align*}
&\ \text{P(sum=5)}\\[2pt] =&\ \text{P(1,4)}+\text{P(2,3)}\\[2pt] =&\ \frac{3}{7}\times\frac{1}{6}\times 2+\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\times 2\\[2pt] =&\ \frac{5}{21}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \frac{10 \times 132-6 \times 108}{4}\\
=&\ 168
\end{align*}$$

$$Q_1=(30+a),\ \ Q_3=(60+b)$$

如果 ##Q_1\le 34##， IQR 四分位數間距 >25 
如果 ##Q_1=35##，##Q_3=60## 
如果 ##Q_1=36##，##Q_3=60, 61## 
如此類推，從而得到以下列表。

I)
很上表得知， ##35 \le Q_1 \le 39##。
即是 ##5 \le a \le 9##。

因此選項 I 正確。

II)
很上表得知， ##60 \le Q_3 \le 64##。
即是 ##0 \le b \le 4##。

因此選項 II 正確。

III)
考慮 ##Q_1=39, Q_3=60## 的情況。

##a-b=9##

因此選項 III 錯誤。

Assume the curve on the right is f(x).
f(x) is translated to left by 4 units. Then, it is reflected along x-axis. The curve on the left can be obtained.

設右面的曲線為 f(x)。
只要把 f(x) 向左平移4單位，然後沿 x-軸反射，便可得到左面的曲線。

因此答案是 C。

I)
Referring to the figure below, if the base of log > 1,the function is increasing. i.e. The slope is positive.
參考以下圖像，當 log 的底數 > 1，該函數為遞增，即是斜率為正數。

 

因此選擇 I 正確。

II)
方法一：
Let ##A=(OC,AC),\ B=(OC,BC)##. Then, put them into the corresponding equations.
設 ##A=(OC,AC),\ B=(OC,BC)##，然後把它們代入對應的方程。

$$\begin{cases}
AC = \log_a\,OC\\
BC = \log_b\,OC
\end{cases}$$

從圖像得知 ##AC \gt BC##，

$$\begin{align*}
AC &\gt BC\\
\log_a\,OC &\gt \log_b\,OC\\
\frac{\log OC}{\log a} &\gt \frac{\log OC}{\log b}\\
\frac{1}{\log a} &\gt \frac{1}{\log b}\\
\log a &\lt \log b\\
a &\lt b
\end{align*}$$

因此選擇 II 錯誤。

方法二：
參考以下圖像，如果 x>1，log 的底數越大，其圖像上升越慢。因此選擇 II 錯誤。

 

III)

$$\begin{align*}
\frac{AB}{BC} &= \frac{AC-BC}{BC}\\[1pt] &=\frac{AC}{BC}-1\\[1pt] &=\frac{\log_a\,OC}{\log_b\,OC}-1\\[2pt] &=\frac{\frac{\log OC}{\log a}}{\frac{\log OC}{\log b}}-1\\[1pt] &=\frac{\log b}{\log a}-1\\
&=\frac{\log b-\log a}{\log a}\\
&=\frac{\log \frac{b}{a}}{\log a}\\
&=\log_a\frac{b}{a}
\end{align*}$$

因此選項 III 正確。

方法一：

$$\begin{align*}
\log_4 y-2 &=\frac{1}{2}(\log_4 x-1)\\
\log_4 y-2 &=\frac{1}{2}\log_4 x-\frac{1}{2}\\[1pt] \log_4 y-\frac{1}{2}\log_4 x &= \frac{3}{2}\\
\log_4 \frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= \frac{3}{2}\\
\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= \big(4\big)^{\frac{3}{2}}\\
\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= 8\\
y&=8x^{\frac{1}{2}}
\end{align*}$$

$$\therefore k=8$$

方法二:
圖像共給了兩點坐標 (1,2) 及 (9,6)。

從 (1,2),

從 (9,6),

然後把 ##(4,4^2)## 及 ##(4^9,4^6)## 代入 ##y=kx^a##。

$$\begin{cases}
4^2 = k \cdot 4^a\ \ …(1)\\
4^6 = k \cdot \big(4^9\big)^a\ …(2)
\end{cases}$$

##(2) \div (1)## 

$$\begin{align*}
\frac{4^6}{4^2} &= \frac{k\cdot4^{9a}}{k\cdot4^a}\\[2pt] 4^4 &= 4^{8a}\\
4 &= 8a\\
a &=\frac{1}{2}
\end{align*}$$

把 ##a=\frac{1}{2}## 代入 (1)

$$\begin{align*}
4^2 &= k \cdot \big(4\big)^\frac{1}{2}\\
k &= 8
\end{align*}$$

相關文章：HKDSE 2018 數學科 Paper II Q33 題解

先作圖以瞭解各直線的位置。

 

(x, y) 位於已塗上顏色的區域內。然後透過聯立方程(Simultaneous Equations)，可找到 P, Q, R 及 S 點坐標。

P 點:

Q 點:

R 點:

S 點:

然後把各點坐標代入 ##5x+6y+234##。

$$
P:5(-14)+6(21)+234 = 290\\
Q:5(14)+6(-21)+234 = \color{red}{178}\\
R:5(21)+6(-14)+234 = 255\\
S:5(21)+6(14)+234 = 423$$

∴ 最小值 =178 

先用以上公式求通項 General Term T(n)。

$$\begin{align*}
T(n) &= S(n) -S(n -1)\\
&=(6n^2 – n) -[6(n -1)^2-(n -1)]\\
&=6n^2 -n -[6(n^2 -2n +1) -n +1]\\
&=6n^2 -n -(6n^2 -12n +6 -n +1)\\
&=6n^2 -n -6n^2 +12n +n -7\\
&=12n -7
\end{align*}$$

I)

因為 n 不是整數，因此選項 I 錯誤。

II)

因此選項 II 正確。

III)

T(n) can be expressed in the form of ##a+(n -1)d##. Thus, the sequence is a arithmetic sequence.
T(n) 能以 ##a+(n -1)d## 的方式表示，因此該數到為等差數列。

Tips: 若 T(n) 能以 an+b 的方式表示，該數列便是等差數列 A.S.。

因此選項 III 錯誤。

$$\begin{cases}
2m^2+5m = 14\\
2n^2+5n = 14
\end{cases}$$

其意思是 m 及 n 是 ##2x^2+5x-14=0## 的根 roots。

$$\begin{align*}
m+n &= \frac{-5}{2}\\[5pt] mn &= \frac{-14}{2}\\[2pt] &= -7
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ (m+2)(n+2)\\
=&\ mn+2m+2n+4\\
=&\ mn+2(m+n)+4\\
=&\ -7+2\Big(\frac{-5}{2}\Big)+4\\
=&\ -8
\end{align*}$$

##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

之後不斷重複循環，由此可得知

$$i^{12} = 1\\
i^{13} = i\\
i^{14} = -1\\
i^{15} = -i\\
i^{16} = 1$$

$$\begin{align*}
&\ \frac{2i^{12}+3i^{13}+4i^{14}+5i^{15}+6i^{16}}{1-i}\\
=&\ \frac{2(1)+3(i)+4(-1)+5(-i)+6(1)}{1-i}\\
=&\ \frac{2+3i-4-5i+6}{1-i}\\
=&\ \frac{4-2i}{1-i}\text{ (按計數機)}\\
=&\ 3+i
\end{align*}$$

∴ real part 實部 = 3 

Solve 解方程：

$$\begin{align*}
6\cos^2 x &= \cos x+5\\
6\cos^2 x-\cos x-5 &= 0\\
\cos x &= 1 \text{ or } \frac{-5}{6}
\end{align*}$$

當 ##\cos x = 1##，

當 ##\cos x = \frac{-5}{6}##，

因此共有 3 個根(roots)。

連接 AC 及 AD。 從交錯弓形的圓周角 angles in the alternate segment 可得到以下圖像。

 

$$\because AB = CD\\
\therefore \angle ACB = \angle CAD = 24\deg \text{ (equal chords,equal }\angle\text{s 等弦對等角)}$$

 

$$\text{In }ΔACE,\\
\begin{align*}
x+72\deg+x+24 &= 180\deg\\
x&= 42\deg
\end{align*}$$

$$\text{In }ΔACD,\\
\begin{align*}
\angle ADC +x+24\deg &= 180\deg\\
\angle ADC +42\deg+24\deg &= 180\deg\\
\angle ADC &= 114\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle ABC &= 180\deg – \angle ADC\text{ (opp. }\angle\text{s, cyclic quad. 圓內接四邊形對角)}\\
&=180\deg – 114\deg\\
&=66\deg
\end{align*}$$

參考下圖，留意 x-軸為三角形的高線 altitude，即是三角形的垂心 orthocentre 必定在 x-軸之上。

 

設 H 點為三角形垂心 orthocentre，其坐標為 (10,0)。基於垂心 orthocentre 的性質，##RH \perp PQ##，因此

 

$$\begin{align*}
m_{\small RH} \times m_{\small PQ} &= -1\\[2pt] \frac{k-0}{0-10} \times \frac{\frac{a}{5}-0}{0-\frac{a}{2}} &= -1\\[2pt] \frac{k}{-10} \times \frac{-2}{5} &= -1\\[2pt] k &= -25
\end{align*}$$

相關文章：求垂心 (Orthocentre)坐標的方法

Point Y is the projection of point X on plane ABGF.
Y 點為 X 點於平面 ABGF 的投影。

 

##\theta## 為 ##\angle XBY##。

 

$$\begin{align*}
BY &= \sqrt{AB^2+AY^2}\\
&= \sqrt{12^2+9^2}\\
&=15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
BX &=\sqrt{AB^2+AY^2+AD^2}\\
&= \sqrt{12^2+9^2+8^2}\\
&=17
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\cos \theta &= \frac{BY}{BX}\\[2pt] &=\frac{15}{17}
\end{align*}$$

相關文章：長方體對角線長度

$$\begin{align*}
&\ C_3^{14}+C_3^{15}\\[2pt] =&\ 819
\end{align*}$$

方法一：
情況一: John 偉明第一次擲骰時便取得 '6'。

$$P=\frac{1}{6}$$

情況二: John 偉明和 Mary 小麗在第一回合都無法擲得「1」或「6」，然後 John 偉明在第二次擲骰時取得 '6'。

$$\begin{align*}
P&=\Big(\frac{4}{6} \times \frac{4}{6}\Big)\Big(\frac{1}{6}\Big)\\
&=\Big(\frac{4}{9}\Big) \Big(\frac{1}{6}\Big)
\end{align*}$$

情況三: John 偉明和 Mary 小麗在首兩回合都無法擲得「1」或「6」，然後 John 偉明在第三次擲骰時取得 '6'。

$$\begin{align*}
P&=\Big(\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} \Big) \Big(\frac{4}{6} \times \frac{4}{6}\Big)\Big(\frac{1}{6}\Big)\\
&=\Big(\frac{4}{9}\Big)^2 \Big(\frac{1}{6}\Big)
\end{align*}$$

如此類推，因此所需概率為

$$\begin{align*}
P &= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \Big(\frac{4}{9}\Big) + \frac{1}{6} \Big(\frac{4}{9}\Big)^2 + …\\
&=\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{4}{9}}\\
&=\frac{3}{10}
\end{align*}$$

方法二：
當偉明和小麗都擲不到「1」或「6」，該遊戲從新開始。
因此可判斷偉明擲到「6」的條件為:

• 在第一回合，偉明擲到「6」 或
• 在第一回合，雙方都擲不到「1」或「6」。在遊戲從新開始後，偉明擲到「6」

When both John and Mary cannot get ‘1’ or ‘6’, the game starts over.
Thus, we can determine the condition that John get ‘6’ is:

• John gets ‘6’ at round 1. OR
• Both cannot get ‘1’ or ‘6’ at round 1. After starting over, John gets ‘6’ at round 1.

由此可得到以下方程。
Thus, the following equation can be derived.

設 P 為所求概率。
Let P be the required probability.

相關文章：HKDSE 2022 數學科 Paper II Q43 題解

$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##z## = standard score 標準分
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

Peter 文俊:

Susan 素珊:

在每個數據加上相同的常數。
  標準差及方差維持不變 

Adding a common constant to each datum,
  Standard Deviation and Variance remain unchanged.

設 d 為數列的公差及 a_n 為數列的第 n 項。
Let d be the common difference and a_n be the n^th term of the sequence.

數列的最後 7 項是 a₄₃, a₄₄, … , a₄₉。

$$a_{43} = a_1 + 42d\\
a_{44} = a_2+ 42d\\
a_{45} = a_3+ 42d\\
a_{46} = a_4+ 42d\\
a_{47} = a_5+ 42d\\
a_{48} = a_6+ 42d\\
a_{49} = a_7+ 42d
$$

只要把數列的首7項各自加上 42d，就變成該數列的最後7項。因此方差保持不變。