HKDSE 2018 數學科 Paper II Q33 題解

• 02/04/2019

Thomas 運用三種不同的方法來解答此題。 此題涉及 log 和直線方程,在試卷二經常出現,但亦曾經在試卷一出現。

方法一:
$$\begin{align*}
\text{slope 斜率} &=\frac{6-2}{9-1}\\[2pt] &=\frac{1}{2}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\log_4 y-2 &=\frac{1}{2}(\log_4 x-1)\\
\log_4 y-2 &=\frac{1}{2}\log_4 x-\frac{1}{2}\\[1pt] \log_4 y-\frac{1}{2}\log_4 x &= \frac{3}{2}\\
\log_4 \frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= \frac{3}{2}\\
\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= \big(4\big)^{\frac{3}{2}}\\
\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} &= 8\\
y&=8x^{\frac{1}{2}}
\end{align*}$$

$$\therefore k=8$$
方法二:
$$\begin{align*}
y &= kx^a\\
\log_4 y &= \log_4(kx^a)\\
\log_4 y &= a\log_4 x + \log_4 k
\end{align*}$$

和直線方程 ##y=mx+c## 比較。

$$c = \log_4 k$$

從圖像,
$$\begin{align*}
\frac{6-2}{9-1} &= \frac{c-2}{0-1}\\
\frac{1}{2} &= \frac{c-2}{-1}\\
c &= \frac{3}{2}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\log_4 k &= \frac{3}{2}\\
k &= 4^\frac{3}{2}\\
k &=8
\end{align*}$$

方法三:
圖像共給了兩點坐標 (1,2)(9,6)

(1,2),

$$\begin{cases}
\log_4 x=1\\
\log_4 y=2
\end{cases}
$$
$$\begin{cases}
x=4\\
y=4^2
\end{cases}$$

(9,6),

$$\begin{cases}
\log_4 x=9\\
\log_4 y=6
\end{cases}
$$
$$\begin{cases}
x=4^9\\
y=4^6
\end{cases}$$

然後把 ##(4,4^2)## 及 ##(4^9,4^6)## 代入 ##y=kx^a##。

$$\begin{cases}
4^2 = k \cdot 4^a\ \ …(1)\\
4^6 = k \cdot \big(4^9\big)^a\ …(2)
\end{cases}$$

##(2) \div (1)## 

$$\begin{align*}
\frac{4^6}{4^2} &= \frac{k\cdot4^{9a}}{k\cdot4^a}\\[2pt] 4^4 &= 4^{8a}\\
4 &= 8a\\
a &=\frac{1}{2}
\end{align*}$$

把 ##a=\frac{1}{2}## 代入 (1)

$$\begin{align*}
4^2 &= k \cdot \big(4\big)^\frac{1}{2}\\
k &= 8
\end{align*}$$

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分類: 計數機應用及歷屆試題

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