HKDSE 2019 Maths Paper II 題解
HKDSE 2019 Maths Paper II Answers and Solutions
香港中學文憑考試 2019 數學卷二答案+題解,括號內數字為答對百分率。
因版權關係,無法在網上刊登試題。請自行購買,或到公共圖書館借閱。
資料來源:香港考試及評核局─考試報告及試題專輯
&\ (a-b)(a^2+ab-b^2)\\
=&\ a^3+a^2b-ab^2-a^2b-ab^2+b^3\\
=&\ a^3-2ab^2+b^3
\end{align*}$$
&\ \frac{(6x^7)^2}{4x^5}\\[2pt] =&\ \frac{36x^{14}}{4x^5}\\[2pt] =&\ 9x^9
\end{align*}$$
6x-7y=40\ …(1)\\
2x+11y=40\ …(2)
\end{cases}$$
$$(1)-(2)\times3\\
\begin{align*}-40y &= -80\\
y &= 2\end{align*}$$
\text{LHS} &= (x-8)(x+\alpha)-6\\
&=x^2-8x+\alpha x-8\alpha-6\\[10pt] \text{RHS} &= (x-9)^2+\beta\\
&=x^2-18x+81+\beta
\end{align*}$$
Comparing the coefficients,
比較係數,
$$\begin{cases}
-8+\alpha = -18\\
-8\alpha-6=81+\beta
\end{cases}$$
解聯立方程,
Solving the equations,
\beta&=-8\alpha -6 -81\\
\beta&=-8(-10) -6 -81\\
\beta&=-7\end{align*}$$
h &= 3-\frac{5}{k+4}\\[2pt] h-3 &=-\frac{5}{k+4}\\[2pt] (h-3)(k+4) &=-5\\[2pt] hk+4h-3k-12 &=-5\\[2pt] hk-3k &= 7-4h\\[2pt] k &= \frac{7-4h}{h-3}\\[2pt] k &= \frac{4h-7}{3-h}
\end{align*}$$
A) 2 decimal places 兩個小數位
0.06564 ≈ 0.07
0.06557 ≈ 0.07
兩者皆不等於 0.065,因此選項 A 錯誤。
B) 2 significant figures 兩個有效數字
0.06564 ≈ 0.066
0.06557 ≈ 0.066
兩者皆不等於 0.065,因此選項 B 錯誤。
C) 3 decimal places 三個小數位
0.06564 ≈ 0.066
0.06557 ≈ 0.066
兩者皆不等於 0.0656,因此選項 C 錯誤。
D) 3 significant figures 三個有效數字
0.06564 ≈ 0.0656
0.06557 ≈ 0.0656
兩者相同並等於 0.0656,因此選項 D 正確。
-2(x-5)+5 &\lt 21 & \text{or}&\ & \frac{3x-5}{7}&\gt 1\\
-2x+10 &\lt 16 & \text{or}&\ & 3x-5&\gt 7\\
-2x &\lt 6 & \text{or}&\ & 3x&\gt 12\\
x &\gt -3 & \text{or}&\ & x&\gt 4
\end{align*}\\
\ \\
\therefore x\gt -3
$$
因此答案是 B (−2)。
&\ f(c)+f(-c)\\
=&\ c^3+c\cdot c^2+c+(-c)^3+c(-c)^2+c\\
=&\ c^3+c^3+c-c^3+c^3+c\\
=&\ 2c^3+2c
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
f\Big(\frac{-k}{2}\Big)&=0\\
2\Big(\frac{-k}{2}\Big)^4+k\Big(\frac{-k}{2}\Big)^3-4\Big(\frac{-k}{2}\Big)-16&=0\\
\frac{k^4}{8}-\frac{k^4}{8}+2k-16&=0\\
2k&=16\\[2pt]
k&=8
\end{align*}$$
y &=(3-x)(x+2)+6\\
&=3x+6-x^2-2x+6\\
&=-x^2+x+12
\end{align*}$$
I) x2 的係數 coefficient 為負數,所以選項 I 正確。
II) 把 x=1 代入
$$\begin{align*}
\text{RHS}&=-(1)^2+1+12\\
&=12\\
&\neq 10
\end{align*}$$
因此選項 II 錯誤。
III)
##x=-3\text{ or }x=4##
因此選項 III 錯誤。
&65000 \times \Big(1+\frac{7\%}{4}\Big)^{8 \times 4}\\
=&113243.9\\
\approx &113244
\end{align*}$$
\frac{140x+315y}{x+y} &= 210\\[2pt] 140x+315y &= 210x+210y\\[2pt] 105y &= 70x\\[2pt] \frac{105}{70} &= \frac{x}{y}\\[2pt] \frac{x}{y} &= \frac{3}{2}\\[9pt] \therefore x:y &= 3:2
\end{align*}$$
\text{Let 設}\ z &=\frac{kx^2}{\sqrt{y}}\\
\end{align*}$$
New Value of z z的新值
=&\frac{k[(1 -40\%)x]^2}{\sqrt{(1+44\%)y}}\\[2pt] =&\frac{0.6^2}{\sqrt{1.44}} \cdot \frac{kx^2}{\sqrt{y}}\\[2pt] =&\ 0.3z
\end{align*}$$
Percentage Change 百份數變化
=&\frac{0.3z-z}{z}\times 100\%\\[2pt] =&\frac{-0.7z}{z}\times 100\%\\[2pt] =&-70\%
\end{align*}$$
相關文章: 變分與百分數變化 Variation and Percentage Change
公差 Common difference = 4
第9項 The 9th term
=6+(9−1)4
=38

$$\begin{align*}
h &= \sqrt{\Big(\frac{18}{2}\Big)^2+12^2}\\
&=15
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
&\text{總表面面積 Total Surface Area}\\[2pt]
=&\frac{15 \times 18}{2} \times 4 + 18^2\\[2pt]
=&\ 864\text{ cm}^2
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\frac{\triangle BEX \text{ 面積}}{\triangle ABX \text{ 面積}} &= \frac{BE}{AD}\\[2pt]
\frac{\triangle BEX \text{ 面積}}{24} &= \frac{2k}{12k}\\[2pt]
\triangle BEX \text{ 面積} &= 4
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\frac{\triangle ABX \text{ 面積}}{\triangle ADX \text{ 面積}} &= \frac{BE}{AD}\\[2pt]
\frac{24}{\triangle ADX \text{ 面積}} &= \frac{2k}{12k}\\[2pt]
\triangle ADX \text{ 面積} &= 144
\end{align*}$$
2) 留意 ΔBEX~ΔBFY,由此求 ΔBFY 面積。
$$\begin{align*}
\frac{\triangle BEX \text{ 面積}}{\triangle BFY \text{ 面積}} &=\Big(\frac{BE}{BF}\Big)^2\\[2pt]
\frac{4}{\triangle BFY \text{ 面積}} &= \Big(\frac{2k}{2k+7k}\Big)^2\\[2pt]
\frac{4}{\triangle BFY \text{ 面積}} &= \frac{4}{81}\\[2pt]
\triangle BFY \text{ 面積} &= 81\\[2pt]
\end{align*}$$
3) 留意 ΔABD 和 ΔCDB 面積相同
$$\begin{align*}
&\ CDYF\text{ 面積}\\
=&\ \triangle CDB\text{ 面積}-\triangle BFY \text{ 面積}\\
=&\ (24+144)-(81)\\
=&\ 87\text{ cm}^2
\end{align*}$$
相關文章:文憑試實戰篇 #22 再談面積問題

$$\begin{align*}
\angle BDC &= \angle DBC\\
&= \angle DAB + \angle ADB\\
&= x + x\\
&=2x
\end{align*}$$
$$\text{At point }D,\\
\begin{align*}
x+2x+66\deg &= 180\deg\\
3x&=114\deg\\
x &= 38\deg
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle BCD,\\
\begin{align*}
2x+2x+\theta &= 180\deg\\
\theta &= 180\deg -4\times38\deg\\
&= 28\deg
\end{align*}$$
留意 ΔAEC,
AD = DE and DF//EC∴ AF = FC (intercept theorem 截線定理)
∴ DF=30 (mid-point theorem 中點定理)
設 AB=10k。以下圖像把所有已知的資料顯示出來。
2) 證明 ##\triangle FAD \cong \triangle FED##
$$\begin{align*}
AD &= ED\ \text{(given)}\\
FD &= FD\ \text{(common)}\\
\angle ADF &= \angle EDF = 90\deg\ \text{(given)}\\
\end{align*}\\[4pt]
\therefore \triangle FAD \cong \triangle FED\ (SAS)$$
因此 EF=AF=5k。
3) 求 EF
$$\text{In }\triangle DEF,\\[2pt]
\begin{align*}
DE^2+DF^2 &= EF^2\\
(4k)^2 + 30^2 &= (5k)^2\\
16k^2 + 900 &= 25k^2\\
900 &= 9k^2\\
k^2 &= 100\\
k &= 10
\end{align*}\\
\ \\
\therefore EF = 5k = 5 \times 10 = 50\text{ cm}$$

$$\begin{align*}
\text{面積 Area} &= \frac{18\times24}{2}+\frac{24\times10}{2}\\[2pt]
&= 336\text{ cm}^2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\angle FBE &= \frac{180\deg-56\deg}{2}\\[2pt]
&= 62\deg
\end{align*}$$
2) 求 ##\angle BCD##
$$\because CD //AE\\
\therefore \angle BCD = \angle FBE= 62\deg$$
3) 求 ##\angle BDC##
$$\begin{align*}
\angle BDC &= \frac{180\deg-62\deg}{2}\\[2pt]
&= 59\deg
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
AC &= BD\ \text{(given 已知)}\\
OA &= OB\ \text{(radii 半徑)}\\
OC &= OD\ \text{(radii 半徑)}\\
\end{align*}\\[4pt]
\therefore \triangle OAC \cong \triangle OBD\text{ (SSS)}$$
因此 ##\angle OAC = \angle OBD##
2) 連接 BC。求 ##\angle DBC## 及 ##\angle ACB##。
$$\begin{align*}
\angle DBC &= \frac{\angle DOC}{2}\ (\angle \text{ at centre twice }\angle \text{ at }\odot^{ce})\\[3pt]
&= \frac{48\deg}{2}\\[3pt]
&=24\deg\\[10pt]
\angle ACB &= 90\deg\ (\angle \text{ in semi-circle})
\end{align*}$$
3) 求 ##\angle ABD##
設 ∠BAC 及 ∠ABD 為 x。
$$\text{In }\triangle ABC,\\
\begin{align*}
x+x+24\deg+90\deg &= 180\deg\\
2x &= 66\deg\\
x &=33\deg
\end{align*}$$
\cos \beta&=\frac{CD}{CE}\\[2pt] CE&=\frac{CD}{\cos \beta}
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\cos \alpha &=\frac{AB}{AC}\\[2pt]
AC &= \frac{AB}{\cos \alpha}
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\frac{CE}{AC}=&\frac{\frac{CD}{\cos \beta}}{\frac{AB}{\cos \alpha}}\\[2pt]
=&\frac{CD}{\cos \beta}\times\frac{\cos \alpha}{AB}\\[2pt]
=&\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}\ (\because AB=CD)
\end{align*}$$
$$x\text{截距 }x\text{-intercept} = \frac{-15}{a}\\[3pt] y\text{截距 }y\text{-intercept} = \frac{-15}{b}$$
2) 判斷 a 和 b 的正負
從圖像得知,x截距 x-intercept 為正數,因此 a 必定是負數。
同樣,y截距 y-intercept 為正數,因此 b 必定是負數。
$$\therefore a\lt 0\text{ and }b\lt 0$$
3) 判斷 a 和 b 的範圍
由於 x截距 x-intercept 大於5。
$$\begin{align*}
\frac{-15}{a}&\gt 5\\[2pt]
-15 &\lt 5a\ (\because a\lt 0)\\[2pt]
-3 &\lt a\\[2pt]
a &\gt -3
\end{align*}$$
由於 y截距 y-intercept 小於3。
$$\begin{align*}
\frac{-15}{b}&\lt 3\\[2pt]
-15 &\gt 3b\ (\because b\lt 0)\\[2pt]
-5 &\gt b\\[2pt]
b &\lt -5
\end{align*}$$
I) ##\because a \gt -3\text{ and } b \lt -5##
因此選項 I 正確。
II) 已證明 ##a \gt -3##
因此選項 II 正確。
III) ##\because b \lt -5##
因此選項 III 錯誤。
相關文章:文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係
$$\begin{align*}
3x+2y+k&=0\\
2y &= -3x-k\\
y &= \frac{-3}{2}x-\frac{k}{2}
\end{align*}\\[3pt]
\therefore \text{斜率 slope=}\frac{-3}{2}$$
$$\begin{align*}
kx+12y-6&=0\\
12y &= -kx+6\\
y &= \frac{-k}{12}x-\frac{1}{2}
\end{align*}\\[3pt]
\therefore \text{斜率 slope=}\frac{-k}{12}$$
$$\begin{align*}
\frac{-3}{2}\times\frac{-k}{12} &= -1\\[2pt]
\frac{3k}{24} &= -1\\[2pt]
3k &= -24\\[2pt]
k &=-8
\end{align*}$$

相關文章:文憑試實戰篇 #5 坐標旋轉 Rotation of Coordinates

紅色線為 P 的軌跡
The red lines are the locus of P.
相關文章:常見軌跡 Common Loci

\text{圓心 centre}&=(-1,3)\\[2pt] \text{半徑 radius}&=\sqrt{1^2+3^2-7.5}\\[2pt] &=\sqrt{2.5}
\end{align*}$$
I) Area 面積 = ##\pi(\sqrt{2.5})^2=2.5\pi##
因此選項 I 錯誤。
II)
方法一: 把 (−3,3) 代入 C
$$\begin{align*}
\text{LHS} &= 2(-3)^2+2(3)^2+4(-3)-12(3)+15\\
&=3\\
&\gt0
\end{align*}$$
因此 (−3,3) 位於 C 以外,即是選項 II 正確。
方法二: 計算 (−3,3) 與圓心之距離,並與半徑作比較。
$$(-3,3)\text{ 與圓心之距離}\\
=\sqrt{(-3+1)^2+(3-3)^2}\\
=2\\
\gt \sqrt{2.5}\ (\approx 1.6)$$
由於 (−3,3) 與圓心之距離大於半徑,因此選項 II 正確。
III) 圓心 centre = (−1,3),位於第二象限 second quadrant
因此選項 III 錯誤。
{1,2} {2,3}
{3,4} {4,5}
{5,6} {6,7}
{7,8} {8,9}
$$\begin{align*}
P &= \frac{8}{C_2^9}\\[2pt]
&=\frac{2}{9}
\end{align*}$$

框線圖 box-and-whisker diagram 可直接得到以下資料
1. Lowest Value 最小值
2. Lower Quartile 下四分位數
3. Median 中位數
4. Upper Quartile 上四分位數
5. Highest Value 最大值
從而可間接得到:
6. Range 分佈域
7. Inter-quartile Range 四分位數間距
因此答案是 B。
median 中位數 = 7
lower quartile 下四分位數 = 6
upper quartile 上四分位數 = 8
因此答案是 C。
方法一:利用直線方程
參考 y=mx+c,
\log_9 y &=\frac{0-7}{8-0}\cdot\log_3 x +7\\[2pt] \log_9 y &=\frac{-7}{8}\log_3 x +7\\[2pt] 8\log_9 y &=-7\log_3 x+56\\[2pt] 7\log_3 x+\frac{8\log_3 y}{\log_3 9} &= 56\\[2pt] 7\log_3 x+\frac{8\log_3 y}{2} &= 56\\[2pt] \log_3 x^7 + \log_3 y^4 &=56\\[2pt] \log_3 x^7y^4 &= 56\\[2pt] x^7y^4 &=3^{56}
\end{align*}$$
方法二:題目共給了兩個坐標,其意思如下:
\log_3 x = 0\\
\log_9 y = 7
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
\log_3 x = 8\\
\log_9 y = 0
\end{cases}$$
從而得到
x = 1\\
y = 9^7
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
x = 3^8\\
y = 1
\end{cases}$$
只要把這兩組數代入各選項中,若兩組數字同時成立,該選項為正確答案。
A) 當 ##x=1, y=9^7##
$$\begin{align*}
x^4y^7&=1^4\times\big(9^7\big)^7\\
&=(3^{14})^7\\
&=3^{98}\\
&\neq 3^{56}
\end{align*}$$
因此選項 A 錯誤。
B) 當 ##x=1, y=9^7##
$$\begin{align*}
x^7y^4&=1^7\times\big(9^7\big)^4\\
&=(3^{14})^4\\
&=3^{56}\\
&=\text{RHS}
\end{align*}$$
當 ##x=3^8, y=1##
$$\begin{align*}
x^7y^4&= \big(3^8\big)^7\times1^4\\
&=3^{56}\\
&=\text{RHS}
\end{align*}$$
兩組數字同時成立,因此選項 B 正確。
C) 當 ##x=1, y=9^7##
$$\begin{align*}
x^7y^8&=1^7\times\big(9^7\big)^8\\
&=(3^{14})^8\\
&=3^{112}\\
&\neq 3^{56}
\end{align*}$$
因此選項 C 錯誤。
D) 當 ##x=1, y=9^7##
$$\begin{align*}
x^8y^7&=1^8\times\big(9^7\big)^7\\
&=(3^{14})^7\\
&=3^{98}\\
&\neq 3^{56}
\end{align*}$$
因此選項 D 錯誤。
相關文章:HKDSE 2018 數學科 Paper II Q33 題解
$$\begin{align*}
\frac{3}{3u-2}+7 &= \frac{2}{2u+1}\\[2pt]
\frac{3+7(3u-2)}{3u-2} &= \frac{2}{2u+1}\\[2pt]
\frac{21u-11}{3u-2} &=\frac{2}{2u+1}\\[2pt]
(21u-11)(2u+1) &= 2(3u-2)\\[2pt]
42u^2+21u-22u-11&=6u-4\\[2pt]
42u^2-7u-7 &= 0\\[2pt]
6u^2-u-1 &=0\\[2pt]
u&=\frac{1}{2}\text{ or }\frac{-1}{3}\\[2pt]
\log x&=\frac{1}{2}\text{ or }\frac{-1}{3}
\end{align*}\\
$$
留意 ##\log x = -\log \frac{1}{x}##,證明如下:
$$\begin{align*}
-\log \frac{1}{x} &= -\log x^{-1}\\
&=-(-1)\log x\\
&=\log x
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\therefore -\log \frac{1}{x} &= \frac{1}{2}\text{ or }\frac{-1}{3}\\[2pt]
\log \frac{1}{x} &= \frac{-1}{2}\text{ or }\frac{1}{3}
\end{align*}$$
$$\begin{align*}&\ 100110000010110_2\\
=&\ 2^{14}+2^{11}+2^{10}+2^4+2^2+2^1\\
=&\ \color{red}{19478}\end{align*}$$
然後計算各選項的數值
A) ##19\times 2^{10}+22 = \color{red}{19478}##
B) ##19\times 2^{10}+44 = 19500##
C) ##19\times 2^{11}+22 = 38934##
D) ##19\times 2^{11}+44 = 38956##
因此答案是 A。
方法二:
$$\begin{align*}
&\ 100110000010110_2\\
=&\ 100110000000000_2 + 10110_2\\
=&\ 10011_2 \times 2^{10} + 10110_2\\
=&\ 19 \times 2^{10} + 22
\end{align*}$$
##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##
之後不斷重複循環,由此可得知
##i^5=i\\
i^6=-1##
&\frac{4+i^5}{a+i}-i^6\\[2pt] =&\frac{4+i}{a+i}-(-1)\\[2pt] =&\frac{4+i}{a+i}\times\frac{a-i}{a-i}+1\\[2pt] =&\frac{4a-4i+ai-i^2}{a^2-i^2}+1\\[2pt] =&\frac{4a+1-4i+ai}{a^2+1}+1\\[2pt] =&\frac{4a+1-4i+ai+a^2+1}{a^2+1}\\[2pt] =&\frac{a^2+4a+2-4i+ai}{a^2+1}
\end{align*}$$
$$\text{實部 real part }= \frac{a^2+4a+2}{a^2+1}$$

x+2y =20\\
13x+6y=20
\end{cases}\\[4pt] P=(-4,12)
$$
13x+6y=20\\
7x-6y=20
\end{cases}\\[4pt] Q=(2,-1)
$$
x+2y=20\\
7x-6y=20
\end{cases}\\[4pt] R=(8,6)
$$
然後把各點坐標代入 ##7x+8y+9##。
$$
P:7(-4)+8(12)+9 = 77\\
Q:7(2)+8(-1)+9 = 15\\
R:7(8)+8(6)+9 = \color{red}{113}$$
∴ 最大值 =113
ar+ar^4 = 9\ …(1)\\
ar^6+ar^9 = 288\ …(2)
\end{cases}$$
$$(2) \div (1)\\
\begin{align*}
\frac{ar^6+ar^9}{ar+ar^4} &= \frac{288}{9}\\[2pt]
\frac{ar^6(1+r^3)}{ar(1+r^3)} &= 32\\[2pt]
r^5 & =32\\[2pt]
r &= 2
\end{align*}$$
把 r=2 代入 (1)
a(2)+a(2)^4 &= 9\\
18a &= 9\\
a &= \frac{1}{2}
\end{align*}$$
$$\text{ 第20項 the 20th term}\\
=ar^{20-1}\\
=\frac{1}{2}\times2^{19}\\
=262\,144$$
1) 求 PQ 的中點的 y坐標
Find the y-coordinate of the mid-point of PQ.
由於中點位於直線之上,所以可從直線方程找到中點的 y坐標。
The mid-point lies on the straight line. So, the y-coordinate of the mid-point can be found from the equation of the straight line.
設 ##M=(2,b)##,並代入直線方程
$$\begin{align*}
3x-y-2 &= 0\\
3(2)-b-2 &= 0\\
b &=4\\[6pt]
\therefore M &=(2,4)
\end{align*}$$
2) 運用 PQ⊥OM
直線的斜率 slope of the st. line = 3
圓心坐標 = ##\large(\frac{-k}{10},\frac{-2}{5})##
M = ##(2,4)##
$$\begin{align*}
m_{PQ} \times m_{OM} &= -1\\[2pt]
3 \times \frac{\frac{-2}{5}-4}{\frac{-k}{10}-2} &= -1\\[2pt]
3\big(\frac{-22}{5}\big) &= \frac{k}{10}+2\\[2pt]
\frac{-66}{5} &= \frac{k}{10}+2\\[2pt]
\frac{-76}{5} &= \frac{k}{10}\\[2pt]
k &=-152
\end{align*}$$
方法二:利用二次方程 Quadratic Equation
$$\begin{cases}
5x^2+5y^2+kx+4y-20 = 0\ …(1)\\
3x-y-2=0\ …(2)
\end{cases}$$
由 (2),
把 (3) 代入 (1)
$$\begin{align*}
5x^2+5(3x-2)^2+kx+4(3x-2)-20 &=0\\
5x^2+5(9x^2-12x+4)+kx+12x-8-20 &=0\\
5x^2+45x^2-60x+20+kx+12x-28 &= 0\\
50x^2-48x+kx-8 &= 0
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
&PQ \text{ 中點的 }x\text{坐標 }x\text{-coordinate of mid-point of }PQ\\[2pt]
=& (\alpha+\beta) \times \frac{1}{2}\\[2pt]
=& \frac{-(-48+k)}{50} \times \frac{1}{2}\\[2pt]
=& \frac{48-k}{100}
\end{align*}$$
已知該坐標為2。
$$\begin{align*}
\frac{48-k}{100} &= 2\\[2pt]
48-k &= 200\\[2pt]
k &=-152
\end{align*}$$
相關文章:HKDSE 2019 數學科 Paper II Q37 題解
- ΔOAB 為等邊三角形 equilateral triangle,因此它的角全是 60°
- ΔOAC 為等腰直角三角形 right angled isosceles triangle,因此 ∠OAC=∠OCA=45°
從而得到以下的資料。
2) 求 ΔOCD 面積
$$\begin{align*}
\frac{\sin 45\deg}{OD} &= \frac{\sin 105\deg}{12}\\[2pt]
OD &= 8.7846
\end{align*}$$
$$\ \triangle OCD\text{ 面積}\\
=\frac{1}{2}(12)(8.7846)\sin 30\deg\\
=26.3538$$
3) 從扇形面積求答案
$$\ \text{Area of shaded region}\\
=\pi (12)^2\times\frac{30\deg}{360\deg}-26.3538\\
= 11.3262\\
\approx 11 \text{ cm}^2$$

1) ∠DCE = ∠DAE = 22°(∠s in the same segment)
2) ∠ADB = ∠FAB (∠ in alt. segment)
$$\begin{align*}
\therefore \angle ADB &= \angle FAB\\
&=180\deg-64\deg-22\deg-38\deg\\
&=56\deg
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle PRQ,\\[2pt]
\begin{align*}
\sin 47\deg &=\frac{PQ}{PR}\\[2pt]
\sin 47\deg &=\frac{1}{PR}\\[2pt]
PR &= 1.36733\\[11pt]
\tan 47\deg &=\frac{PQ}{QR}\\[2pt]
\tan 47\deg &=\frac{1}{QR}\\[2pt]
QR &= 0.932515
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle PQS,\\[2pt]
\begin{align*}
\sin 53\deg &=\frac{PQ}{PS}\\[2pt]
\sin 53\deg &=\frac{1}{PS}\\[2pt]
PS &= 1.252136\\[11pt]
\tan 53\deg &=\frac{PQ}{QS}\\[2pt]
\tan 53\deg &=\frac{1}{QS}\\[2pt]
QS &= 0.753554
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle QRS,\\
\begin{align*}
RS^2 &= QR^2+QS^2-2\cos \angle RQS(QR)(QS)\\
&= 0.932515^2+0.753554^2-2\cos 120\deg(0.932515)(0.753554)\\
RS &= 1.462918
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle PRS,\\
\begin{align*}
\cos \angle RPS &= \frac{PR^2+PS^2-RS^2}{2(PR)(PS)}\\[2pt]
\cos \angle RPS &= \frac{1.36733^2+1.252136^2-1.462918^2}{2(1.36733)(1.252136)}\\[2pt]
\angle RPS &= 67.7\deg\\[2pt]
&\approx 68\deg
\end{align*}$$
I) 直角三角形的垂心位於直角的頂點。
The orthocentre of right angled triangle is located at the vertex of the right angle.
因此選項 I 錯誤。
II) 形心 centroid 必定為位三角形之內
因此選項 II 正確。
III) 內心 in-centre 必定為位三角形之內
因此選項 III 錯誤。
相關文章:三角形四心筆記
&\ P(\text{最少一隻藍色杯})\\[2pt] =&\ 1 -P(\text{沒有藍色杯})\\[2pt] =&\ 1 -\frac{C_6^{11}}{C_6^{19}}\\[2pt] =&\ \frac{635}{646}
\end{align*}$$
&\ \text{P(最多2題正確)}\\[2pt] =&\ \text{P(0題正確)+P(1題正確)+P(2題正確)}\\[2pt] =&\ 1 -\text{P(3題正確)}\\[2pt] =&\ 1 -\Big(\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}\times\frac{1}{7}\Big)\\[2pt] =&\ \frac{104}{105}
\end{align*}$$
$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差
$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##z## = standard score 標準分
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差
Mary 小麗:
0.5 &= \frac{69-\mu}{8}\\
\mu &= 65
\end{align*}$$
John 偉明:
-1.5 &= \frac{x-65}{8}\\
x&=53
\end{align*}$$
在每個數據乘上相同的常數 k。
Range 分佈域為原來的 k倍。
Variance 方差為原來的 k2倍。在每個數據加上相同的常數分佈域和方差並無改變。
range and variance do not change.
I) new mean 新的平均值 ##=6m+5##
因此選項 I 正確。
II) new range 新的分佈域 ##=6r##
因此選項 II 錯誤。
III) new variance 新的方差 ##=6^2v=36v##
因此選項 III 錯誤。
分類: 計數機應用及歷屆試題
十分仔細
thx
thx
Good
thx
thx
Thx
師兄你好 我發現你數學唔錯 ????加油