HKDSE 2019 Maths Paper II 題解

• 14/04/2019

HKDSE 2019 Maths Paper II Answers and Solutions
文憑試 2019數學卷二答案+題解

請按 + 開啟各題的詳解
01. C
$$\begin{align*}
&(a-b)(a^2+ab-b^2)\\
=&a^3+a^2b-ab^2-a^2b-ab^2+b^3\\
=&a^3-2ab^2+b^3
\end{align*}$$

02. D
$$\begin{align*}
&\frac{(6x^7)^2}{4x^5}\\[2pt] =&\frac{36x^{14}}{4x^5}\\[2pt] =&9x^9
\end{align*}$$

03. B
$$\begin{cases}
6x-7y=40\ …(1)\\
2x+11y=40\ …(2)
\end{cases}$$

$$(1)-(2)\times3\\
\begin{align*}-40y &= -80\\
y &= 2\end{align*}$$

04. C
$$\begin{align*}
\text{LHS} &= (x-8)(x+\alpha)-6\\
&=x^2-8x+\alpha x-8\alpha-6\\[10pt] \text{RHS} &= (x-9)^2+\beta\\
&=x^2-18x+81+\beta
\end{align*}$$

Comparing the coefficients,
比較係數,

$$\begin{cases}
-8+\alpha = -18\\
-8\alpha-6=81+\beta
\end{cases}$$

$$\alpha = -10\\[10pt] \begin{align*}-8\alpha-6&=81+\beta\\
\beta&=-8\alpha-6-81\\
&=-8(-10)-6-81\\
&=-7\end{align*}$$

05. A
$$\begin{align*}
h &= 3-\frac{5}{k+4}\\[2pt] h-3 &=-\frac{5}{k+4}\\[2pt] (h-3)(k+4) &=-5\\[2pt] hk+4h-3k-12 &=-5\\[2pt] hk-3k &= 7-4h\\[2pt] k &= \frac{7-4h}{h-3}\\[2pt] k &= \frac{4h-7}{3-h}
\end{align*}$$

06. D
x 的上限和下限分別是 0.06564 及 0.06557。把它們按各選項的要求取近似值,如果兩者的結果相同並等於選項中的數字,則該選項為正確答案。

A) 2 decimal places 兩個小數位
0.06564 ≈ 0.07
0.06557 ≈ 0.07

兩者皆不等於 0.065,因此選項 A 錯誤。

B) 2 significant figures 兩個有效數字
0.06564 ≈ 0.066
0.06557 ≈ 0.066

兩者皆不等於 0.065,因此選項 B 錯誤。

C) 3 decimal places 三個小數位
0.06564 ≈ 0.066
0.06557 ≈ 0.066

兩者皆不等於 0.0656,因此選項 C 錯誤。

D) 3 significant figures 三個有效數字
0.06564 ≈ 0.0656
0.06557 ≈ 0.0656

兩者相同並等於 0.0656,因此選項 D 正確。

07. B
$$\begin{align*}
-2(x-5)+5 &\lt 21 & \text{or}&\ & \frac{3x-5}{7}&\gt 1\\
-2x+10 &\lt 16 & \text{or}&\ & 3x-5&\gt 7\\
-2x &\lt 6 & \text{or}&\ & 3x&\gt 12\\
x &\gt -3 & \text{or}&\ & x&\gt 4
\end{align*}\\
\ \\
\therefore x\gt -3
$$

因此答案是 B (−2)。

08. C
$$\begin{align*}
&f(c)+f(-c)\\
=&c^3+c\cdot c^2+c+(-c)^3+c(-c)^2+c\\
=&c^3+c^3+c-c^3+c^3+c\\
=&2c^3+2c
\end{align*}$$

09. D
$$\text{設 } f(x)=2x^4+kx^3-4x-16$$

$$\begin{align*}
f\Big(\frac{-k}{2}\Big)&=0\\
2\Big(\frac{-k}{2}\Big)^4+k\Big(\frac{-k}{2}\Big)^3-4\Big(\frac{-k}{2}\Big)-16&=0\\
\frac{k^4}{8}-\frac{k^4}{8}+2k-16&=0\\
2k&=16\\[2pt] k&=8
\end{align*}$$

10. A
$$\begin{align*}
y &=(3-x)(x+2)+6\\
&=3x+6-x^2-2x+6\\
&=-x^2+x+12
\end{align*}$$

I) x2 的係數 coefficient 為負數,所以選項 I 正確。

II) 把 x=1 代入
$$\begin{align*}
\text{RHS}&=-(1)^2+1+12\\
&=12\\
&\neq 10
\end{align*}$$

因此選項 II 錯誤。

III)

解方程 ##-x^2+x+12=0##,

##x=-3\text{ or }x=4##

因此選項 III 錯誤。

11. C
$$\begin{align*}
&65000 \times \Big(1+\frac{7\%}{12}\Big)^{8 \times 4}\\
=&113243.9\\
\approx &113244
\end{align*}$$

12. B
$$\begin{align*}
\frac{140x+315y}{x+y} &= 210\\[2pt] 140x+315y &= 210x+210y\\[2pt] 105y &= 70x\\[2pt] \frac{105}{70} &= \frac{x}{y}\\[2pt] \frac{x}{y} &= \frac{3}{2}\\[9pt] \therefore x:y &= 3:2
\end{align*}$$

13. A
$$\begin{align*}
z &=\frac{kx^2}{\sqrt{y}}\\
\end{align*}$$

   New Value of z  z的新值

$$\begin{align*}
=&\frac{k[(1-40\%)x]^2}{\sqrt{(1+44\%)y}}\\[2pt] =&\frac{0.6^2}{\sqrt{1.44}} \cdot \frac{kx^2}{\sqrt{y}}\\[2pt] =& 0.3z
\end{align*}$$

   Percentage Change 百份數變化

$$\begin{align*}
=&\frac{0.3z-z}{z}\times 100\%\\[2pt] =&\frac{-0.7z}{z}\times 100\%\\[2pt] =&-70\%
\end{align*}$$

相關文章: 變分與百分數變化 Variation and Percentage Change

14. C
首項 First Term = 6
公差 Common difference = 4

  第9項 The 9th term
=6+(9−1)4 
=38 

15. D

$$\begin{align*}
h &= \sqrt{\Big(\frac{18}{2}\Big)^2+12^2}\\
&=15
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\text{總表面面積 Total Surface Area}\\[2pt] =&\frac{15 \times 18}{2} \times 4 + 18^2\\[2pt] =&864\text{ cm}^2
\end{align*}$$

16. D
1) 連接 ED,求 ΔBEXΔDAX 的面積。

BEDA為一梯形,然後依照 《文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題》 所述的方法,求 ΔBEXΔDAX 的面積。

$$\begin{align*}
\frac{\triangle BEX \text{ 面積}}{\triangle ABX \text{ 面積}} &= \frac{BE}{AD}\\[2pt] \frac{\triangle BEX \text{ 面積}}{24} &= \frac{2k}{12k}\\[2pt] \triangle BEX \text{ 面積} &= 4
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{\triangle ABX \text{ 面積}}{\triangle ADX \text{ 面積}} &= \frac{BE}{AD}\\[2pt] \frac{24}{\triangle ADX \text{ 面積}} &= \frac{2k}{12k}\\[2pt] \triangle ADX \text{ 面積} &= 144
\end{align*}$$

2) 留意 ΔBEXBFY,由此求 ΔBFY 面積。

$$\begin{align*}
\frac{\triangle BEX \text{ 面積}}{\triangle BFY \text{ 面積}} &=\Big(\frac{BE}{BF}\Big)^2\\[2pt] \frac{4}{\triangle BFY \text{ 面積}} &= \Big(\frac{2k}{2k+7k}\Big)^2\\[2pt] \frac{4}{\triangle BFY \text{ 面積}} &= \frac{4}{81}\\[2pt] \triangle BFY \text{ 面積} &= 81\\[2pt] \end{align*}$$

3) 留意 ΔABDΔCDB 面積相同

$$\begin{align*}
&CDYF\text{ 面積}\\
=&\triangle CDB\text{ 面積}-\triangle BFY \text{ 面積}\\
=&(24+144)-(81)\\
=&87\text{ cm}^2
\end{align*}$$

17. A
參考下圖,設 ##\angle DAB = \angle ADB =x##

$$\begin{align*}
\angle BDC &= \angle DBC\\
&= \angle DAB + \angle ADB\\
&= x + x\\
&=2x
\end{align*}$$

$$\text{At point }D,\\
\begin{align*}
x+2x+66\deg &= 180\deg\\
3x&=114\deg\\
x &= 38\deg
\end{align*}$$

$$\text{In }\triangle BCD,\\
\begin{align*}
2x+2x+\theta &= 180\deg\\
\theta &= 180\deg -4\times38\deg\\
&= 28\deg
\end{align*}$$

18. D
1) 證明 FAC 的中點 mid-point

留意 ΔAEC

AD = DE and DF//EC 
AF = FC (intercept theorem 截線定理) 
DF=30 (mid-point theorem 中點定理) 

AB=10k。以下圖像把所有已知的資料顯示出來。

2) 證明 ##\triangle FAD \cong \triangle FED## 

$$\begin{align*}
AD &= ED\ \text{(given)}\\
FD &= FD\ \text{(common)}\\
\angle ADF &= \angle EDF = 90\deg\ \text{(given)}\\
\end{align*}\\[4pt] \therefore \triangle FAD \cong \triangle FED\ (SAS)$$

因此 EF=AF=5k

3) 求 EF 

$$\text{In }\triangle DEF,\\[2pt] \begin{align*}
DE^2+DF^2 &= EF^2\\
(4k)^2 + 30^2 &= (5k)^2\\
16k^2 + 900 &= 25k^2\\
900 &= 9k^2\\
k^2 &= 100\\
k &= 10
\end{align*}\\
\ \\
\therefore EF = 5k = 5 \times 10 = 50\text{ cm}$$

19. A
參考下圖,留意 BDC=90°。只要運用畢氏定理便可找到 BDCD 的長度。

$$\begin{align*}
\text{面積 area} &= \frac{18\times24}{2}+\frac{24\times10}{2}\\[2pt] &= 336\text{ cm}^2
\end{align*}$$

20. C
1) 求 ##\angle FBE## 

$$\begin{align*}
\angle FBE &= \frac{180\deg-56\deg}{2}\\[2pt] &= 62\deg
\end{align*}$$

2) 求 ##\angle BCD## 
$$\because CD //AE\\
\therefore \angle BCD = \angle FBE= 62\deg$$

3) 求 ##\angle BDC## 

$$\begin{align*}
\angle BDC &= \frac{180\deg-62\deg}{2}\\[2pt] &= 59\deg
\end{align*}$$

21. B
1) 證明 ##\triangle OAC \cong \triangle OBD## 及 ##\angle OAC = \angle OBD##

$$\begin{align*}
AC &= BD\ \text{(given 已知)}\\
OA &= OB\ \text{(radii 半徑)}\\
OC &= OD\ \text{(radii 半徑)}\\
\end{align*}\\[4pt] \therefore \triangle OAC \cong \triangle OBD\text{ (SSS)}$$

因此 ##\angle OAC = \angle OBD##

2) 連接 BC。求 ##\angle DBC## 及 ##\angle ACB##。

$$\begin{align*}
\angle DBC &= \frac{\angle DOC}{2}\ (\angle \text{ at centre twice }\angle \text{ at }\odot^{ce})\\[3pt] &= \frac{48\deg}{2}\\[3pt] &=24\deg\\[10pt] \angle ACB &= 90\deg\ (\angle \text{ in semi-circle})
\end{align*}$$

3) 求 ##\angle ABD## 

BACABDx

$$\text{In }\triangle ABC,\\
\begin{align*}
x+x+24\deg+90\deg &= 180\deg\\
2x &= 66\deg\\
x &=33\deg
\end{align*}$$

22. B
$$\begin{align*}
\cos \beta&=\frac{CD}{CE}\\[2pt] CE&=\frac{CD}{\cos \beta}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\cos \alpha &=\frac{AB}{AC}\\[2pt] AC &= \frac{AB}{\cos \alpha}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{CE}{AC}=&\frac{\frac{CD}{\cos \beta}}{\frac{AB}{\cos \alpha}}\\[2pt] =&\frac{CD}{\cos \beta}\times\frac{\cos \alpha}{AB}\\[2pt] =&\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}\ (\because AB=CD)
\end{align*}$$

23. A
1) 求直線的截距 intercept

$$x\text{截距 }x\text{-intercept} = \frac{-15}{a}\\[3pt] y\text{截距 }y\text{-intercept} = \frac{-15}{b}$$

2) 判斷 ab 的正負

從圖像得知,x截距 x-intercept 為正數,因此 a 必定是負數。
同樣,y截距 y-intercept 為正數,因此 b 必定是負數。

$$\therefore a\lt 0\text{ and }b\lt 0$$

3) 判斷 ab 的範圍

由於 x截距 x-intercept 大於5。
$$\begin{align*}
\frac{-15}{a}&\gt 5\\[2pt] -15 &\lt 5a\ (\because a\lt 0)\\[2pt] -3 &\lt a\\[2pt] a &\gt -3
\end{align*}$$

由於 y截距 y-intercept 小於3。
$$\begin{align*}
\frac{-15}{b}&\lt 3\\[2pt] -15 &\gt 3b\ (\because b\lt 0)\\[2pt] -5 &\gt b\\[2pt] b &\lt -5
\end{align*}$$

I) ##\because a \gt -3\text{ and } b \lt -5## 

因此選項 I 正確。

II) 已證明 ##a \gt -3## 

因此選項 II 正確。

III) ##\because b \lt -5## 

因此選項 III 錯誤。

相關文章:文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

24. A
先求直線的斜率

$$\begin{align*}
3x+2y+k&=0\\
2y &= -3x-k\\
y &= \frac{-3}{2}x-\frac{k}{2}
\end{align*}\\[3pt] \therefore \text{斜率 slope=}\frac{-3}{2}$$

$$\begin{align*}
kx+12y-6&=0\\
12y &= -kx+6\\
y &= \frac{-k}{12}x-\frac{1}{2}
\end{align*}\\[3pt] \therefore \text{斜率 slope=}\frac{-k}{12}$$

$$\begin{align*}
\frac{-3}{2}\times\frac{-k}{12} &= -1\\[2pt] \frac{3k}{24} &= -1\\[2pt] 3k &= -24\\[2pt] k &=-8
\end{align*}$$

25. D

相關文章:文憑試實戰篇 #5 坐標旋轉 Rotation of Coordinates

26. D
 

紅色線為 P 的軌跡
The red lines are the locus of P.

相關文章:常見軌跡 Common Loci

27. B
先把整條方程除2
$$x^2+y^2+2x-6y+7.5=0$$
$$\begin{align*}
\text{圓心 centre}&=(-1,3)\\[2pt] \text{半徑 radius}&=\sqrt{1^2+3^2-7.5}\\[2pt] &=\sqrt{2.5}
\end{align*}$$

I) Area 面積 = ##\pi(\sqrt{2.5})^2=2.5\pi## 

因此選項 I 錯誤。

II)
方法一: 把 (−3,3) 代入 C 
$$\begin{align*}
\text{LHS} &= 2(-3)^2+2(3)^2+4(-3)-12(3)+15\\
&=3\\
&\gt0
\end{align*}$$

因此 (−3,3) 位於 C 以外,即是選項 II 正確。

方法二: 計算 (−3,3) 與圓心之距離,並與半徑作比較。

$$(-3,3)\text{ 與圓心之距離}\\
=\sqrt{(-3+1)^2+(3-3)^2}\\
=2\\
\gt \sqrt{2.5}$$

由於 (−3,3) 與圓心之距離大於半徑,因此選項 II 正確。

III) 圓心 centre = (−1,3),位於第二象限 second quadrant

因此選項 III 錯誤。

28. C
該數字是兩個連續整數,共有8個可能組合。
(1,2) (2,3)
(3,4) (4,5)
(5,6) (6,7)
(7,8) (8,9)

$$\begin{align*}
P &= \frac{8}{C_2^9}\\[2pt] &=\frac{2}{9}
\end{align*}$$

29. B

框線圖 box-and-whisker diagram 可直接得到以下資料
1. Lowest Value 最小值
2. Lower Quartile 下四分位數
3. Median 中位數
4. Upper Quartile 上四分位數
5. Highest Value 最大值

從而可間接得到:
6. Range 分佈域
7. Inter-quartile Range 四分位數間距

因此答案是 B。

30. C
mode 眾數 = 7
median 中位數 = 7
lower quartile 下四分位數 = 6
upper quartile 上四分位數 = 8

因此答案是 C。

31. B
題目只有文字,沒有圖像。但其意思如下圖所示。

方法一:利用直線方程

參考 y=mx+c
$$\begin{align*}
\log_9 y &=\frac{0-7}{8-0}\cdot\log_3 x +7\\[2pt] \log_9 y &=\frac{-7}{8}\log_3 x +7\\[2pt] 8\log_9 y &=-7\log_3 x+56\\[2pt] 7\log_3 x+\frac{8\log_3 y}{\log_3 9} &= 56\\[2pt] 7\log_3 x+\frac{8\log_3 y}{2} &= 56\\[2pt] \log_3 x^7 + \log_3 y^4 &=56\\[2pt] \log_3 x^7y^4 &= 56\\[2pt] x^7y^4 &=3^{56}
\end{align*}$$

方法二:題目共給了兩個坐標,其意思如下:
$$\begin{cases}
\log_3 x = 0\\
\log_9 y = 7
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
\log_3 x = 8\\
\log_9 y = 0
\end{cases}$$

從而得到
$$\begin{cases}
x = 1\\
y = 9^7
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
x = 3^8\\
y = 1
\end{cases}$$

只要把這兩組數代入各選項中,若兩組數字同時成立,該選項為正確答案。

A) 當 ##x=1, y=9^7## 
$$\begin{align*}
x^4y^7&=1^4\times\big(9^7\big)^7\\
&=(3^{14})^7\\
&=3^{98}\\
&\neq 3^{56}
\end{align*}$$

因此選項 A 錯誤。

B) 當 ##x=1, y=9^7## 
$$\begin{align*}
x^7y^4&=1^7\times\big(9^7\big)^4\\
&=(3^{14})^4\\
&=3^{56}\\
&=\text{RHS}
\end{align*}$$

當 ##x=3^8, y=1## 
$$\begin{align*}
x^7y^4&= \big(3^8\big)^7\times1^4\\
&=3^{56}\\
&=\text{RHS}
\end{align*}$$

兩組數字同時成立,因此選項 B 正確。

C) 當 ##x=1, y=9^7## 
$$\begin{align*}
x^7y^8&=1^7\times\big(9^7\big)^8\\
&=(3^{14})^8\\
&=3^{112}\\
&\neq 3^{56}
\end{align*}$$

因此選項 C 錯誤。

D) 當 ##x=1, y=9^7## 
$$\begin{align*}
x^8y^7&=1^8\times\big(9^7\big)^7\\
&=(3^{14})^7\\
&=3^{98}\\
&\neq 3^{56}
\end{align*}$$

因此選項 D 錯誤。

相關文章:HKDSE 2018 數學科 Paper II Q33 題解

32. D
設 ##u=\log x##,

$$\begin{align*}
\frac{3}{3u-2}+7 &= \frac{2}{2u+1}\\[2pt] \frac{3+7(3u-2)}{3u-2} &= \frac{2}{2u+1}\\[2pt] \frac{21u-11}{3u-2} &=\frac{2}{2u+1}\\[2pt] (21u-11)(2u+1) &= 2(3u-2)\\[2pt] 42u^2+21u-22u-11&=6u-4\\[2pt] 42u^2-7u-7 &= 0\\[2pt] 6u^2-u-1 &=0\\[2pt] u&=\frac{1}{2}\text{ or }\frac{-1}{3}\\[2pt] \log x&=\frac{1}{2}\text{ or }\frac{-1}{3}
\end{align*}\\
$$

留意 ##\log x = -\log \frac{1}{x}##,證明如下:

$$\begin{align*}
-\log \frac{1}{x} &= -\log x^{-1}\\
&=-(-1)\log x\\
&=\log x
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore -\log \frac{1}{x} &= \frac{1}{2}\text{ or }\frac{-1}{3}\\[2pt] \log \frac{1}{x} &= \frac{-1}{2}\text{ or }\frac{1}{3}
\end{align*}$$

33. A
方法一:
$$\begin{align*}&100110000010110_2\\
=&2^{14}+2^{11}+2^{10}+2^4+2^2+2^1\\
=&\color{red}{19478}\end{align*}$$

然後計算各選項的數值
A) ##19\times 2^{10}+22 = \color{red}{19478}## 
B) ##19\times 2^{10}+44 = 19500## 
C) ##19\times 2^{11}+22 = 38934## 
D) ##19\times 2^{11}+44 = 38956## 

因此答案是 A。

方法二:
$$\begin{align*}
&100110000010110_2\\
=&100110000000000_2 + 10110_2\\
=&10011_2 \times 2^{10} + 10110_2\\
=&19 \times 2^{10} + 22
\end{align*}$$

相關文章:文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

34. D

##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

之後不斷重複循環,由此可得知
##i^5=i\\
i^6=-1## 

$$\begin{align*}
&\frac{4+i^5}{a+i}-i^6\\[2pt] =&\frac{4+i}{a+i}-(-1)\\[2pt] =&\frac{4+i}{a+i}\times\frac{a-i}{a-i}+1\\[2pt] =&\frac{4a-4i+ai-i^2}{a^2-i^2}+1\\[2pt] =&\frac{4a+1-4i+ai}{a^2+1}+1\\[2pt] =&\frac{4a+1-4i+ai+a^2+1}{a^2+1}\\[2pt] =&\frac{a^2+4a+2-4i+ai}{a^2+1}
\end{align*}$$

$$\text{實部 real part }= \frac{a^2+4a+2}{a^2+1}$$

35. C
先作圖以瞭解各直線的位置。

 

(x, y) 位於已塗上顏色的區域內。然後透過聯立方程(Simultaneous Equations),可找到 P, QR 點坐標。

P 點:

$$\begin{cases}
x+2y =20\\
13x+6y=20
\end{cases}\\[4pt] P=(-4,12)
$$
Q 點:

$$\begin{cases}
13x+6y=20\\
7x-6y=20
\end{cases}\\[4pt] Q=(2,-1)
$$
R 點:

$$\begin{cases}
x+2y=20\\
7x-6y=20
\end{cases}\\[4pt] R=(8,6)
$$

然後把各點坐標代入 ##7x+8y+9##。

$$
P:7(-4)+8(12)+9 = 77\\
Q:7(2)+8(-1)+9 = 15\\
R:7(8)+8(6)+9 = \color{red}{113}$$

∴ 最大值 =113 

36. C
$$\begin{cases}
ar+ar^4 = 9\ …(1)\\
ar^6+ar^9 = 288\ …(2)
\end{cases}$$

$$(2) \div (1)\\
\begin{align*}
\frac{ar^6+ar^9}{ar+ar^4} &= \frac{288}{9}\\[2pt] \frac{ar^6(1+r^3)}{ar(1+r^3)} &= 32\\[2pt] r^5 & =32\\[2pt] r &= 2
\end{align*}$$

r=2 代入 (1)
$$\begin{align*}
a(2)+a(2)^4 &= 9\\
18a &= 9\\
a &= \frac{1}{2}
\end{align*}$$

$$\text{ 第20項 the 20th term}\\
=ar^{20-1}\\
=\frac{1}{2}\times2^{19}\\
=262\,144$$

37. A
方法一: 參考下圖

1) 求 PQ 的中點的 y坐標
  Find the y-coordinate of the mid-point of PQ.

由於中點位於直線之上,所以可從直線方程找到中點的 y坐標。
The mid-point lies on the straight line. So, the y-coordinate of the mid-point can be found from the equation of the straight line.

設 ##M=(2,b)##,並代入直線方程

$$\begin{align*}
3x-y-2 &= 0\\
3(2)-b-2 &= 0\\
b &=4
\end{align*}$$

2) 運用 PQOM 

直線的斜率 slope of the st. line = 3
圓心坐標 = ##\large(\frac{-k}{10},\frac{-2}{5})## 
M = ##(2,4)## 

$$\begin{align*}
m_{PQ} \times m_{OM} &= -1\\[2pt] 3 \times \frac{\frac{-2}{5}-4}{\frac{-k}{10}-2} &= -1\\[2pt] 3\big(\frac{-22}{5}\big) &= \frac{k}{10}+2\\[2pt] \frac{-66}{5} &= \frac{k}{10}+2\\[2pt] \frac{-76}{5} &= \frac{k}{10}\\[2pt] k &=-152
\end{align*}$$

方法二:利用二次方程 Quadratic Equation

$$\begin{cases}
5x^2+5y^2+kx+4y-20 = 0\ …(1)\\
3x-y-2=0\ …(2)
\end{cases}$$

由 (2),

##y=3x-2\ …(3)##

把 (3) 代入 (1)
$$\begin{align*}
5x^2+5(3x-2)^2+kx+4(3x-2)-20 &=0\\
5x^2+5(9x^2-12x+4)+kx+12x-8-20 &=0\\
5x^2+45x^2-60x+20+kx+12x-28 &= 0\\
50x^2-48x+kx-8 &= 0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&PQ \text{ 中點的 }x\text{坐標 }x\text{-coordinate of mid-point of }PQ\\[2pt] =& (\alpha+\beta) \times \frac{1}{2}\\[2pt] =& \frac{-(-48+k)}{50} \times \frac{1}{2}\\[2pt] =& \frac{48-k}{100}
\end{align*}$$

已知該坐標為2
$$\begin{align*}
\frac{48-k}{100} &= 2\\[2pt] 48-k &= 200\\[2pt] k &= -152
\end{align*}$$

38. A
1) 留意以下兩點

  • ΔOAB 為等邊三角形 equilateral triangle,因此它的角全是 60°
  • ΔOAC 為等腰直角三角形 right angled isosceles triangle,因此 OAC=∠OCA=45°

從而得到以下的資料。

2) 求 ΔOCD 面積

$$\begin{align*}
\frac{\sin 45\deg}{OD} &= \frac{\sin 105\deg}{12}\\[2pt] OD &= 8.7846
\end{align*}$$

$$\ \triangle OCD\text{ 面積}\\
=\frac{1}{2}(12)(8.7846)\sin 30\deg\\
=26.3538$$

3) 從扇形面積求答案

$$\ \text{Area of shaded region}\\
=\pi (12)^2\times\frac{30\deg}{360\deg}-26.3538\\
= 11.3262\\
\approx 11 \text{ cm}^2$$

39. B

1) DCE = ∠DAE = 22°(∠s in the same segment) 
2) ADB = ∠FAB (∠ in alt. segment)

$$\begin{align*}
\therefore \angle ADB &= \angle FAB\\
&=180\deg-64\deg-22\deg-38\deg\\
&=56\deg
\end{align*}$$

40. C
ΔPRS 的三條邊長,然後運用餘弦公式 cosine formula 求RPS

PQ=1 留意 PQRPQS 是直角。

$$\text{In }\triangle PRQ,\\[2pt] \begin{align*}
\sin 47\deg &=\frac{PQ}{PR}\\[2pt] \sin 47\deg &=\frac{1}{PR}\\[2pt] PR &= 1.36733\\[11pt] \tan 47\deg &=\frac{PQ}{QR}\\[2pt] \tan 47\deg &=\frac{1}{QR}\\[2pt] QR &= 0.932515
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle PQS,\\[2pt] \begin{align*}
\sin 53\deg &=\frac{PQ}{PS}\\[2pt] \sin 53\deg &=\frac{1}{PS}\\[2pt] PS &= 1.252136\\[11pt] \tan 53\deg &=\frac{PQ}{QS}\\[2pt] \tan 53\deg &=\frac{1}{QS}\\[2pt] QS &= 0.753554
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle QRS,\\
\begin{align*}
RS^2 &= QR^2+QS^2-2\cos \angle RQS(QR)(QS)\\
&= 0.932515^2+0.753554^2-2\cos 120\deg(0.932515)(0.753554)\\
RS &= 1.462918
\end{align*}$$
$$\text{In }\triangle PRS,\\
\begin{align*}
\cos \angle RPS &= \frac{PR^2+PS^2-RS^2}{2(PR)(PS)}\\[2pt] \cos \angle RPS &= \frac{1.36733^2+1.252136^2-1.462918^2}{2(1.36733)(1.252136)}\\[2pt] \angle RPS &= 67.7\deg\\[2pt] &\approx 68\deg
\end{align*}$$

41. B

I) 直角三角形的垂心位於直角的頂點。
The orthocentre of right angled triangle is located at the vertex of the right angle.

因此選項 I 錯誤。

II) 形心 centroid 必定為位三角形之內

因此選項 II 正確。

III) 內心 in-centre 必定為位三角形之內

因此選項 III 錯誤。

相關文章:三角形四心筆記

42. C
$$\begin{align*}
&P(\text{最少一隻藍杯})\\[2pt] =&1-P(\text{沒有藍杯})\\[2pt] =&1-\frac{C_6^{11}}{C_6^{19}}\\[2pt] =&\frac{635}{646}
\end{align*}$$

43. D
$$\begin{align*}
&\text{P(最多2題正確)}\\[2pt] =&\text{P(0題正確)+P(1題正確)+P(2題正確)}\\[2pt] =&1-\text{P(3題正確)}\\[2pt] =&1-\Big(\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}\times\frac{1}{7}\Big)\\[2pt] =&\frac{104}{105}
\end{align*}$$

44. B

$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x-\bar{x}}{\sigma}$$##\bar{x}## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

Mary:$$\begin{align*}
0.5 &= \frac{69-\bar{x}}{8}\\
\bar{x} &= 65
\end{align*}$$

John:$$\begin{align*}
-1.5 &= \frac{x-65}{8}\\
x&=53
\end{align*}$$

45. A
在每個數據乘上相同的常數 k
  Range 分佈域為原來的 k
  Variance 方差為原來的 k2

在每個數據加上相同的常數

  分佈域和方差並無改變。
  range and variance do not change.

I) new mean 新的平均值 ##=6m+5## 

因此選項 I 正確。

II) new range 新的分佈域 ##=6r## 

因此選項 II 錯誤。

III) new variance 新的方差 ##=6^2v=36v## 

因此選項 III 錯誤。

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分類: 計數機應用及歷屆試題


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