HKDSE 2019 數學科 Paper II Q37 題解

Thomas 教大家兩個方法去求圓形弦線的中點 (the mid-point of a chord)。

題解 Solution

方法一：參考下圖

1) 求 PQ 的中點的 y坐標
  Find the y-coordinate of the mid-point of PQ.

由於中點位於直線之上，所以可從直線方程找到中點的 y坐標。
The mid-point lies on the straight line. So, the y-coordinate of the mid-point can be found from the equation of the straight line.

設 ##M=(2,b)##，並代入直線方程

$$\begin{align*}
3x-y-2 &= 0\\
3(2)-b-2 &= 0\\
b &=4\\[6pt] \therefore M &=(2,4)
\end{align*}$$

2) 運用 PQ⊥OM 

直線的斜率 slope of the st. line = 3
圓心坐標 = ##\large(\frac{-k}{10},\frac{-2}{5})## 
M = ##(2,4)## 

$$\begin{align*}
m_{PQ} \times m_{OM} &= -1\\[2pt] 3 \times \frac{\frac{-2}{5}-4}{\frac{-k}{10}-2} &= -1\\[2pt] 3\big(\frac{-22}{5}\big) &= \frac{k}{10}+2\\[2pt] \frac{-66}{5} &= \frac{k}{10}+2\\[2pt] \frac{-76}{5} &= \frac{k}{10}\\[2pt] k &=-152
\end{align*}$$

方法二：利用二次方程 Quadratic Equation

$$\begin{cases}
5x^2+5y^2+kx+4y-20 = 0\ …(1)\\
3x-y-2=0\ …(2)
\end{cases}$$

由 (2),

把 (3) 代入 (1)
$$\begin{align*}
5x^2+5(3x-2)^2+kx+4(3x-2)-20 &=0\\
5x^2+5(9x^2-12x+4)+kx+12x-8-20 &=0\\
5x^2+45x^2-60x+20+kx+12x-28 &= 0\\
50x^2-48x+kx-8 &= 0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&PQ \text{ 中點的 }x\text{坐標 }x\text{-coordinate of mid-point of }PQ\\[2pt] =& (\alpha+\beta) \times \frac{1}{2}\\[2pt] =& \frac{-(-48+k)}{50} \times \frac{1}{2}\\[2pt] =& \frac{48-k}{100}
\end{align*}$$

已知該坐標為2。
$$\begin{align*}
\frac{48-k}{100} &= 2\\[2pt] 48-k &= 200\\[2pt] k &= -152
\end{align*}$$

標籤: chord, equation of circle, 圓形弦線, 圓形方程

分類: 計數機應用及歷屆試題