HKDSE 2021 Maths Paper II 題解

• 18/05/2021

HKDSE 2021 Maths Paper II Answers and Solutions
文憑試 2021 數學卷二答案+題解,括號內數字為答對百分率。

因版權關係,無法在網上刊登試題。請自行購買,或到公共圖書館借閱。

資料來源:香港考試及評核局─考試報告及試題專輯

請按 + 開啟各題的詳解
01. B (73%)
$$\begin{align*}
&\ \frac{(2^n)(8^{3n})}{64^n}\\
=&\ \frac{(2^n)[(2^3)^{3n}]}{(2^6)^n}\\
=&\ \frac{(2^n)(2^{9n})}{2^{6n}}\\
=&\ 2^{n +9n -6n}\\
=&\ 2^{4n}\\
=&\ \big(2^2\big)^{2n}\\
=&\ 4^{2n}
\end{align*}$$

02. C (87%)
$$\begin{align*}
m(m -a) &=a(1 -m)\\
m^2 -am &=a -am\\
m^2 &=a\\
a &= m^2
\end{align*}$$

03. D (82%)
$$\begin{align*}
&\ (u +v)(u -v)(u -1)\\
=&\ (u^2 -v^2)(u -1)\\
=&\ u^3 -u^2 -uv^2 +v^2
\end{align*}$$

04. B (76%)
$$\begin{align*}
&\ \frac{6}{n -6} -\frac{7}{n -7}\\[3pt] =&\ \frac{6(n -7) -7(n -6)}{(n -6)(n -7)}\\[3pt] =&\ \frac{6n -42 -7n +42}{(n -6)(n -7)}\\[3pt] =&\ \frac{-n }{(n -6)(n -7)}\\[3pt] =&\ \frac{-n }{-(n -6)(7 -n)}\\[3pt] =&\ \frac{n }{(n -6)(7 -n)}
\end{align*}$$

05. D (74%)
Maximum Absolute Error ##= 0.01 \div 2 = 0.005##
最大絕對誤差 ##= 0.01 \div 2 = 0.005##

上限 Upper Limit = 6.24+0.005 =6.245 
下限 Lower Limit = 6.24−0.005 =6.235 

  上限 Upper Limit
= 6.24+0.005 
= 6.245 
  下限 Lower Limit
= 6.24−0.005 
= 6.235 

當捨入至兩個小數位,6.245 會變成 6.25,所以答案並不包括 6.245

##\therefore 6.235 \le x \lt 6.245##

相關文章:量度結果的最大值是什麼?

06. D (49%)
方法一:比較係數
$$\begin{align*}
a(x +3) +b(3x +1) &\equiv c(x +2)\\
ax +3a +3bx +b &\equiv cx +2c\\
(a +3b)x +(3a +b) &\equiv cx +2c
\end{align*}$$

Comparing the coefficients,
比較係數,

$$\begin{cases}
a +3b = c\ …(1)\\
3a+b = 2c\ …(2)
\end{cases}$$

把 (1) 代入 (2),
$$\begin{align*}
3a +b &= 2(a +3b)\\
3a +b &= 2a +6b\\
a &= 5b\\
\frac{a}{b} &= \frac{5}{1}\\
a:b &= 5:1
\end{align*}$$

方法二:
題目給予的是恆等式 Identity,因此 x 是任何數值,該等式均成立。

When ##x=\frac{-1}{3}##,

$$\begin{align*}
a\Big(\frac{-1}{3}+3\Big)+b\Big(3\times \frac{-1}{3} +1\Big) &= c\Big(\frac{-1}{3} +2\Big)\\
a \times \frac{8}{3} +0 &= c \times \frac{5}{3}\\
a &= \frac{5c}{8}
\end{align*}$$

When ##x= -3##,

$$\begin{align*}
a(-3 +3)+b\big(3 \times (-3) +1\big) &=c(-3 +2)\\
0 + b(-8) &= -c\\
b &= \frac{c}{8}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore a:b &= \frac{5c}{8}:\frac{c}{8}\\[2pt] a:b &= 5:1
\end{align*}$$

07. A (76%)
$$\begin{align*}
f(0) = (0 +h)(0 -3) +k &=1\\
-3h +k &=1\ …(1)\\[10pt] f(8) = (8 +h)(8 -3) +k &=1\\
(8 +h)(5) +k &=1\\
40 +5h +k &=1\\
5h +k &= -39\ …(2)
\end{align*}$$

Solving the equations (1) and (2),
解聯立方程 (1) 及 (2),
$$h=-5, k=-14$$

08. B (29%)
Let the quotient and remainder be ##q(x)## and ##ax +b## respectively when ##p(x)## is divided by ##x^2 -1##.
當 ##p(x)## 除以 ##x^2 -1##時,設商式及餘式分別為 ##q(x)## 及 ##ax +b##。

##\therefore p(x) = (x^2 -1)q(x) +ax +b##

$$\begin{align*}
p( -1) &= -2\\
\big((-1)^2 -1\big)q(-1) -a +b &= -2\\
-a +b &= -2\\[10pt] p( 1) &= 0\\
(1^2 -1)q(1) +a +b &= 0\\
a +b &=0
\end{align*}$$

Solving the equations,
解聯立方程,

$$\begin{cases}
-a +b = -2\\
a +b =0
\end{cases}\\[18pt] a=1, b=-1$$

∴ remainder 餘式 = ##x -1## 

相關文章:HKDSE 2020 數學科 Paper I Q13 題解

09. A (62%)
$$\begin{align*}
60\% \times 45\% +(1 -60\%) \times x\% &= 33\%\\
0.27 + 0.4x\% &= 0.33\\
x\% &= 0.15\\
x\% &= 15\%
\end{align*}$$

10. C (68%)
$$\begin{align*}
9x +8 &\le 4(x -3) & \text{or}&\ & 6 -7x &\gt 20\\
9x +8 &\le 4x -12 & \text{or}&\ & -7x &\gt 14\\
5x &\le -20 & \text{or}&\ & x &\lt -2\\
x &\le -4 & \text{or}&\ & x &\lt -2\\
\end{align*}\\
\ \\
\therefore x\lt -2$$

11. C (73%)
$$\begin{align*}
\frac{2\alpha +3\beta}{3\alpha +2\beta} &= \frac{7}{10}\\[2pt] 7(3\alpha +2\beta) &= 10(2\alpha +3\beta)\\
21\alpha +14\beta &= 20\alpha +30\beta\\
\alpha &= 16\beta
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\ \frac{2\alpha +\beta}{\alpha +2\beta}\\[2pt] =&\ \frac{2(16 \beta) +\beta}{16\beta +2\beta}\\[2pt] =&\ \frac{32\beta +\beta}{18\beta}\\[2pt] =&\ \frac{33\beta}{18\beta}\\[2pt] =&\ \frac{11}{6}
\end{align*}$$

12. B (74%)
$$\begin{align*}
w &= \frac{kx^2}{y^3}\\[2pt] \frac{wy^3}{x^2} &= k\\[2pt] \frac{x^2}{wy^3} &= \frac{1}{k}
\end{align*}$$

If ##k## is a constant, ##\frac{1}{k}## is also a constant.
如果 ##k## 是常數,##\frac{1}{k}## 亦是常數。

13. C (83%)
方法一: 從數列的定義入手
$$(n+1)^{\text{th}}\text{ term} = n^{\text{th}}\text{ term} + (2n +3)$$

$$\begin{array} {c|l|c} n & n^{\text{th}}\text{ term} & 2n+3 \\ \hline 1 & 3 & 5 \\ \hline 2 & 3+5=8 & 7 \\ \hline 3 & 8+7=15 & 9 \\ \hline 4 & 15+9=24 & 11 \\ \hline 5 & 24+11=35 & 13 \\ \hline 6 & 35+13=48 & 15 \\ \hline 7 & 48+15=63 & 17 \\ \hline 8 & 63+17=\color{red}{80} & \\ \end{array}$$

方法二: 觀察數列的模式 Observe the pattern

參考以下圖像,黑色數字為各圖案點子的數目,紅色數字為它們的差。從而得知每項之差每次增加2。
Referring to the figure below, the numbers in black are the numbers of dots of each pattern and the numbers in red are their differences. Thus, it can be determined that each difference increases by 2.

$$1^\text{st} \text{ term} = \ 3\\
2^\text{nd} \text{ term} = \ 3+5 = 8\\
3^\text{rd} \text{ term} = \ 8+7 = 15\\
4^\text{th} \text{ term} = 15+9 = 24\\
5^\text{th} \text{ term} = 24+11 = 35\\
6^\text{th} \text{ term} = 35+13= 48\\
7^\text{th} \text{ term} = 48+15= 63\\
8^\text{th} \text{ term} = 63+17 = \color{red}{80}$$

14. A (52%)
$$\begin{align*}
y &= (m -x)^2 +n\\
&= m^2 -2mx +x^2 +n\\
&= x^2 -2mx +m^2 +n
\end{align*}$$

I) The coefficient of x² is positive. So, the graph opens upwards.
x² 的係數為正數,因此圖像開口向上。

因此選項 I 正確。

II)
y-intercept y-截距 = ##m^2 + n##

無法判斷其正負,因此選項 II 並非必定正確。

III) When ##x=n##,
$$\begin{align*}
y &= n^2 -2mn +m^2 +n\\
&\neq m
\end{align*}$$

因此選項 III 並非必定正確。

15. C (43%)
Find the base area. Referring to the figure below, ΔABG is an equilateral triangle.
先計算底面積。留意下圖,ΔABG 為等邊三角形。

$$\begin{align*}
\text{base area 底面積} &= \frac{1}{2}(8)(8)\sin 60\deg \times 6\\
&= 96\sqrt{3}\text{ cm}^2
\end{align*}$$

Then, find the height of the prism.
然後計算棱柱的高。

$$\begin{align*}
\text{底面積} \times \text{高} &= \text{體積}\\
96\sqrt{3} \times h &= 288\\
h &= \sqrt{3}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\text{Total surface area 總表面面積}\\
=&\ 8\times \sqrt{3} \times 6 + 96\sqrt{3} \times 2\\
\approx&\ 416\text{ cm}^2
\end{align*}$$

16. A (34%)
##\text{Volume of sphere 球體體積}=\frac{4}{3}\pi r^3\\
\text{Surface Area of sphere 球體表面面積}=4\pi r^2##
##\text{Volume of sphere 球體體積}\\
=\frac{4}{3}\pi r^3\\
\text{Surface Area of sphere 球體表面面積}\\
=4\pi r^2##

  Total Surface Area of a hemisphere
  半球體總表面面積
##=4\pi r^2 \div 2 + \pi r^2\\
=3 \pi r^2##

Let the radii of the hemispheres be 3k and 2k.
設半球體的半徑為 3k2k

$$\begin{align*}
3 \pi(3k)^2 + 3\pi(2k)^2 &= 351 \pi\\
39k^2 &= 351\\
k^2 &= 9\\
k &= 3
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\text{Difference 體積差}\\
=&\ \frac{4}{3}\pi(3 \times 3)^3 \times \frac{1}{2} -\frac{4}{3}\pi(2 \times 3)^3 \times \frac{1}{2}\\[2pt] =&\ 342\pi\text{ cm}^3
\end{align*}$$

相關文章:被遺棄的 k-method

17. B (50%)
I)
Let r be the radius of the sector.
r 為扇形的半徑。

$$\begin{align*}
\pi r^2 \times \frac{90\deg}{360\deg} &= \pi\\
r^2 &= 4\\
r &= 2\text{ cm}
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II)

$$\begin{align*}
&\ \text{Perimeter 周界}\\
=&\ 2 + 2 + 2\pi(2)\times \frac{90\deg}{360\deg}\\
=&\ (4 +\pi)\text{ cm}
\end{align*}$$

因此選項 II 錯誤。

III) 參考圖像,AB 為圓形的直徑。

$$ \begin{align*}
AB &= \sqrt{2^2 +2^2}\\
&= 2\sqrt{2}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Area 圓面積}\\
=&\ \pi\Big(\frac{2\sqrt{2}}{2}\Big)^2\\
=&\ 2\pi\text{ cm}^2
\end{align*}$$

因此選項 III 正確。

18. B (72%)

$$\begin{align*}
&\angle BAC = \angle ADC = 28\deg\ (alt\ \angle s,AB//CD)\\
&\angle BCA = \angle BAC = x+28\deg\ (base\ \angle s,isos\ \triangle)
\end{align*}$$

$$\text{In }\triangle ACE,\\ \begin{align*}
\angle BEA &= \angle EAC + \angle ECA\ (ext.\ \angle\ of \triangle)\\
94\deg &= x + (x +28\deg)\\
66\deg &= 2x\\
x &= 33\deg
\end{align*}$$

19. D (36%)
Referring to the figure, the line segments having the same length are in the same colour.
參考下圖,長度相同的線段以相同顏色表示。

ΔCFB 是等腰三角形 isosceles triangle 及 CEB = 90°
BE = FE 

CAB = xDAC = 90°−x
運用各種幾何定理,以 x90°−x 表示下圖所示的角。

I) DAE = ∠DGF = 90°−x

因此選項 I 正確。

II)
BCE = ∠CGE = 90°−x 
CEB = ∠GEC = 90° 
∴ ΔBCE ~ ΔCGE (AA) 

因此選項 II 正確。

BC = FC 
BE = FE 
CE = CE 
∴ ΔBCE ≅ ΔFCE (SSS) 

因此選項 III 正確。

20. C (34%)
下圖為題目所給的資料。

Step 1) Find BF and CF.

DEA = x
ADE = ∠BEF = 90°−x 
ΔADE ~ ΔBEF

$$\begin{align*}
\frac{AD}{AE} &= \frac{BE}{BF}\\[2pt] \frac{4k}{3k} &= \frac{k}{BF}\\[2pt] 4k(BF) &= 3k^2\\[2pt] BF &= \frac{3}{4}k\\[8pt] CF &= 4k -\frac{3}{4}k\\[2pt] &= \frac{13}{4}k
\end{align*}$$

Step 2: Find k.

$$\begin{align*}
(4k)^2 -\frac{(4k)(3k)}{2} -\frac{(k)(\frac{3}{4}k)}{2} -\frac{(4k)(\frac{13}{4}k)}{2} &= 25\\
16k^2 -6k^2 -\frac{3}{8}k^2 -\frac{13}{2}k^2 &= 25\\
\frac{25}{8}k^2 &= 25\\
k^2 &= 8\\
k &= \sqrt{8}
\end{align*}$$

Step 3: Find area of ΔCDF.
$$\begin{align*}
&\text{Area 面積}\\
=&\ \frac{(4k)(\frac{13}{4}k)}{2}\\[2pt] =&\ \frac{13}{2}k^2\\[2pt] =&\ \frac{13}{2}\big(\sqrt{8}\big)^2\\[2pt] =&\ 52\text{ cm}^2
\end{align*}$$

21. D (40%)

Sum of Interior Angles 內角和 = (n − 2)×180°

  Sum of Interior Angles 內角和
= (n − 2)×180°

Interior angle 內角 ##=(8 -2)\times 180\deg \div 8 = 135\deg##

I) 參考下圖,

$$\begin{align*}
\angle GAH &= (180\deg -135\deg) \div 2\\
&= 22.5\deg\\[10pt] \angle GAB &= 180\deg -22.5\deg\\
&= 112.5\deg\\[10pt] \angle FBA &= \frac{135\deg}{2}\text{ (by symmetry 對稱性質)}\\
&= 67.5\deg
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\angle GAB +\angle FBA &= 112.5\deg + 67.5\deg\\
&= 180\deg
\end{align*}\\
\therefore AG\,//\,BF$$

因此選項 I 正確。

II)

Obviously, the triangles are congruent.
很明顯,圖中的兩個三角形全等。

∴ BD = EG 

因此選項 II 正確。

III)

$$\begin{align*}
\angle CAG &= 135\deg -22.5\deg -22.5\deg\\
&= 90\deg
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\angle BDH &= 67.5\deg -22.5\deg\\
&= 45\deg
\end{align*}\\
\therefore \angle CAG = 2\angle BDH$$

因此選項 III 正確。

22. A (56%)
下圖為題目所給的資料。

Step 1) Find ACD and BAC 

$$\begin{align*}
\angle ACD &= 180\deg -96\deg\ (opp.\ \angle s, cyclic\ quad.,\text{圓內接四邊形對角})\\
&= 84\deg\\[10pt] \angle BAC &= \angle BDC\ (\angle s\ in\ the\ same\ seg.,\text{同弓形內的圓周角})\\
&= 14\deg
\end{align*}$$

Step 2) Prove 證明 CAD = ∠BDA 

$$\begin{align*}
\because BD &= AC\\
\angle BAD &= \angle CDA\ (equal\ chords,equal\ \angle s,\text{等弦對等角})\\
14\deg +\angle CAD &= 14\deg +\angle BDA\\
\therefore \angle CAD &= \angle BDA
\end{align*}$$

Step 3) Find CAD 
$$\text{In }\triangle ACD,\\
\begin{align*}
84\deg +14\deg +x +x &= 180\deg\\
2x &= 82\deg\\
x &= 41\deg
\end{align*}$$

23. B (65%)

相關文章:文憑試實戰篇 #5 坐標旋轉 Rotation of Coordinates

24. D (64%)
AC is the common side of the triangles. Express AB and CD in term of AC.
AC 是兩個三角形的公共邊,以 AC 表示 ABCD

$$\begin{align*}
\sin \phi &= \frac{AB}{AC}\\[2pt] AB &=AC \sin \phi\\[12pt] \tan \theta &= \frac{AC}{CD}\\[2pt] CD &= \frac{AC}{\tan \theta}\\[13pt] \frac{AB}{CD} &= \frac{AC \sin \phi}{\frac{AC}{\tan \theta}}\\[2pt] &= \tan \theta \sin \phi
\end{align*}$$

25. C (36%)
方法一:
Let P be (x, y).
$$\begin{align*}
PM &= MN\\
\sqrt{(x -5)^2 +(y -7)^2} &= \sqrt{(5-6)^2 +(7-8)^2}\\
x^2 -10x +25 +y^2 -14y +49 &= 1 + 1\\
x^2 +y^2 -10x -14y +72 &=0
\end{align*}$$

方法二:
M and N are two fixed points. So, the length MN is a constant. Thus, PM=MN means that the distance between point P and M is a constant. The locus of P is a circle with centre M(5, 7). Obviously, C is the answer.
MN 是兩個固定點,因此 MN的長度不變。而 PM=MN 的意思是 P 點 及 M 點的距離是常數。P 的軌跡是一個以 M(5, 7) 為圓心的圓形。明顯地,C 為正確答案。

相關文章:常見軌跡 Common Loci

26. A (43%)
P is the mid-point of BC.
P 點是 BC 的中點。
$$\begin{align*}
P &= \Big(\frac{5+9}{2},\frac{8+2}{2}\Big)\\
&=(7, 5)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
y -3 &=\frac{5-3}{7-3}\big(x -3\big)\\
y -3 &=\frac{1}{2}\big(x -3\big)\\
2y -6 &= x -3\\[2pt] x -2y +3 &=0
\end{align*}$$

27. C (35%)
方法一:

$$\begin{align*}
\text{圓心 Centre} &= \Big(\frac{-18}{-2},\frac{-20}{-2}\Big)\\
&= (9, 10)
\end{align*}$$

Referring to the figure, the blue line is L. M is the mid-point of PQ. Note that M must be on the red line. The red line passes through the centre and is perpendicular to L.
參考以下圖像,藍色線是直線 LMPQ 的中點。留意 M 點必定在紅線上。紅線穿過圓心並與 L 互相垂直。

Equation of red line 紅線方程

$$\begin{align*}
y -10 &= \frac{-1}{4}(x -9)\\
4y -40 &= -x +9\\
x +4y -49 &=0
\end{align*}$$

Since point M must be on the red line, its coordinates (s, t) can be put into the equation.
由於 M 點必定在紅線上,可把其坐標 (s, t) 代入方程。

$$\therefore s +4t -49 =0$$

方法二:比較繁複,只作參考
Let L be y = 4x + c.
$$\begin{cases}
x^2 +y^2 -18x -20y +96 = 0\\
y = 4x +c
\end{cases}$$

By substitution,

$$\begin{align*}
x^2 +(4x +c)^2 -18x -20(4x +c) +96 &= 0\\
17x^2 +(8c -98)x +c^2 -20c +96 &= 0
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
s &= \frac{-(8c -98)}{2(17)}\\
17s &= -4c +49\\[10pt] t &= 4\Big(\frac{-4}{17}c +\frac{49}{17}\Big) +c\\
t &= \frac{1}{17}c +\frac{196}{17}\\
c &= 17t -196
\end{align*}$$ $$\begin{cases}
17s = -4c +49\\
c = 17t -196
\end{cases}$$

By substitution,

$$17s = -4(17t -196) +49\\
17s = -68t +784 +49\\
s +4t -49 = 0$$

相關文章:HKDSE 2019 數學科 Paper II Q37 題解

28. D (60%)
總共有 24 個數據,分成兩組,每組 12 個。再從當中找到 Q1 位於第 6 和第 7 個數據之間。

$$\begin{align*}
Q_1 &= \frac{62 +62}{2}\\
&=62\\[12pt]\end{align*}$$ $$\begin{align*}
P(\ge 62) &= \frac{20}{24}\\[2pt] &= \frac{5}{6}
\end{align*}$$

29. B (88%)
$$\begin{align*}
Q_1 &= 26\\
Q_3 &=36\\[10pt] \text{IQR} &= 36 -26\\
&= 10
\end{align*}$$

30. A (77%)
Let x be the required mean.
x 為所需平均數。
$$\begin{align*}
30 \times 24 + 40x &= 32 \times 70\\
40x &= 1520\\
x &= 38
\end{align*}$$

31. A (65%)
$$\begin{eqnarray}
& x^3 & y^2 & z^2 \\
& x^3 & y^3 & z^5 \\
& x^d & y^e & z^f \\
\hline
\text{HCF}\ =\ & x^\color{red}{2} & y^2 & z^\color{red}{1}\\
\text{LCM}\ =\ & x^3 & y^\color{red}{4} & z^5
\end{eqnarray}$$

Comparing the indices, the values of d, e, f can be determined.
比較各指數,可判斷 def 的值。

d = 2
e = 4
f = 1
 
∴ 第三個數式是 ##x^2y^4z##。

相關文章:文憑試實戰篇 #17 代數式的 HCF 及 LCM

32. D (41%)
方法一:
$$\begin{align*}
&14 \times 16^{15} +17 \times 16^{14} +16^2 + 17\\
=&\ \color{red}{1.7366 \times 10^{19}}
\end{align*}$$

Express each option as expanded form and calculate its value.
把各選項以展開式表示,並計算其值。
A)

$$\begin{align*}
&\text{ E10100000000021}_{16}\\[1pt] =&\ 14\times 16^{14} +1\times 16^{13} +1\times 16^{11} + 1\times 16 + 1\\
=&\ 1.0133 \times 10^{18}
\end{align*}$$

B)

$$\begin{align*}
&\text{ F10000000000111}_{16}\\[1pt] =&\ 15\times 16^{14} +1\times 16^{13} +1\times 16^2 + 1\times 16 + 1\\
=&\ 1.0854 \times 10^{18}
\end{align*}$$

C)

$$\begin{align*}
&\text{ E110000000000021}_{16}\\[1pt] =&\ 14\times 16^{15} +1\times 16^{14} +1\times 16^{13} + 2\times 16 + 1\\
=&\ 1.6217 \times 10^{19}
\end{align*}$$

D)

$$\begin{align*}
&\text{ F100000000000111}_{16}\\[1pt] =&\ 15\times 16^{15} +1\times 16^{14} +1\times 16^2 + 2\times 16 + 1\\
=&\ \color{red}{1.7366 \times 10^{19}}
\end{align*}$$

因此答案是 D。

方法二:

$$\begin{align*}
14 \times 16^{15} &= \text{E000000000000000}_{16}\\
17 \times 16^{14} &= 11_{16} \times 16^{14} = \text{1100000000000000}_{16}\\
16^2 &= 1 \times 16^2 = 100_{16}\\
17 &= 11_{16}
\end{align*}$$

$$\begin{array}{lr}
& \text{E000000000000000}&\\
& 1100000000000000&\\
& 100&\\
+& 11&\\
\hline{}
& \text{F100000000000111}&
\end{array}$$

相關文章:文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

33. C (30%)

##\text{Let }S = (s,\,0)\ \text{and}\ T = (t,\,0)##

$$\begin{align*}
y &= a +\log_b x\\
0 &= a +\log_b s\\
\log_b s &= -a\\
s &= b^{-a}\\[10pt] y &= \log_c x\\
0 &= \log_c t\\
t &= c^0 \\
t &= 1
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
OT : OS &= t : s\\
&= 1 : b^{-a}\\
&= 1 : \frac{1}{b^a}\\
&= 1 \times b^a: \frac{1}{b^a} \times b^a\\
&= b^a : 1
\end{align*}$$

34. C (46%)
方法一:利用直線方程

參考 y=mx+c 

$$\begin{align*}
\log_5 y -2 &= \frac{2 -0}{0 +4}\big(\log_5 x -0 \big)\\
\log_5 y -2 &= \frac{1}{2}\big(\log_5 x\big)\\
2\log_5 y -4 &= \log_5 x\\[2pt] \log_5 y^2 – \log_5 x &= 4\\
\log_5 \frac{y^2}{x} &= 4\\
\frac{y^2}{x} &= 5^4\\
\frac{y^2}{x} &= 625\\
\end{align*}$$

方法二:題目共給了兩個坐標,其意思如下:

$$\begin{cases}
\log_5 x = -4\\
\log_5 y = 0
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
\log_5 x = 0\\
\log_5 y = 2
\end{cases}$$

從而得到

$$\begin{cases}
x = \frac{1}{625}\\
y = 1
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
x = 1\\
y = 25
\end{cases}$$

只要把這兩組數代入各選項中,若兩組數字同時成立,該選項為正確答案。

A) 當 ##x=\frac{1}{625},\ y=1## 
$$\begin{align*}
xy^2 &= \frac{1}{625} \cdot 1^2\\
&= \frac{1}{625}\\[2pt] &\neq 625
\end{align*}$$

因此選項 A 錯誤。

B) 當 ##x=\frac{1}{625},\ y=1## 
$$\begin{align*}
x^2y &= \Big(\frac{1}{625}\Big)^2 \cdot 1\\
&= \frac{1}{390625}\\[2pt] &\neq 625
\end{align*}$$

因此選項 B 錯誤。

C) 當 ##x=\frac{1}{625},\ y=1## 
$$\begin{align*}
\frac{y^2}{x} &= \frac{1^2}{\frac{1}{625}}\\[2pt] &= 625\\
&= \text{RHS}
\end{align*}$$

當 ##x=1,\ y=25## 
$$\begin{align*}
\frac{y^2}{x} &= \frac{25^2}{1}\\[2pt] &= 625\\
&= \text{RHS}
\end{align*}$$

兩組數字同時成立,因此選項 C 正確。

D) 當 ##x=\frac{1}{625},\ y=1## 
$$\begin{align*}
\frac{y}{x^2} &= \frac{1}{(\frac{1}{625})^2}\\[2pt] &= 390625\\
&\neq 625
\end{align*}$$

因此選項 D 錯誤。

相關文章:HKDSE 2018 數學科 Paper II Q33 題解

35. A (33%)
I)

$$\begin{align*}
u &= \frac{\alpha +i}{\alpha -i} +\frac{\alpha -i}{\alpha+i}\\[2pt] &= \frac{(\alpha +i)^2 +(\alpha -i)^2}{(\alpha -i)(\alpha +i)}\\[2pt] &=\frac{\alpha^2 +2\alpha i +i^2 +\alpha^2 -2\alpha i +i^2}{\alpha^2 -i^2}\\[2pt] &=\frac{2\alpha^2 -2}{\alpha^2 +1}\\[2pt] &=\frac{2(\alpha^2 -1)}{\alpha^2 +1}\\
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II)

$$\begin{align*}
v &= \frac{\alpha +i}{\alpha -i} -\frac{\alpha -i}{\alpha+i}\\[2pt] &= \frac{(\alpha +i)^2 -(\alpha -i)^2}{(\alpha -i)(\alpha +i)}\\[2pt] &=\frac{\alpha^2 +2\alpha i +i^2 -\alpha^2 +2\alpha i -i^2}{\alpha^2 -i^2}\\[2pt] &=\frac{4\alpha i}{\alpha^2 +1}\\[2pt] &=\frac{4\alpha}{\alpha^2 +1}i
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)

$$\begin{align*}
w &= \frac{\alpha +i}{\alpha -i}\\[2pt] &=\frac{\alpha +i}{\alpha -i} \times \frac{\alpha +i}{\alpha +i}\\[2pt] &=\frac{\alpha^2 +2\alpha i +i^2}{\alpha^2 -i^2}\\[2pt] &=\frac{\alpha^2 -1 +2\alpha i}{\alpha^2 +1}\\[2pt] &=\frac{\alpha^2 -1}{\alpha^2 +1} +\color{red}{\frac{2\alpha}{\alpha^2 +1}i}\\[10pt] 2w&=\frac{2(\alpha^2 -1)}{\alpha^2 +1} +\color{red}{\frac{4\alpha}{\alpha^2 +1}i}\\[10pt] \end{align*}$$

因此選項 III 錯誤。

36. A (54%)
Let a and b be the first term and common ratio respectively.
ab 分別是首項及公比。
$$\begin{align*}
p &= a\\
q &= ab\\
r &= ab^2\\
s &= ab^3
\end{align*}$$

I)

$$\begin{align*}
ps &= (a)(ab^3)\\
&=a^2b^3\\[10pt] qr &=(ab)(ab^2)\\
&=a^2b^3
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II)

$$\begin{align*}
p +s &= a +ab^3\\
&= a(1 +b^3)\\[10pt] q +r &= ab +ab^2\\
&= a(b +b^2)
\end{align*}$$

因此選項 II 錯誤。

III)

$$\text{If } a=8, b=\frac{1}{2},\\
p = 8\\
q = 4\\
r = 2\\
s = 1\\[10pt] p \gt q \gt r \gt s$$

因此選項 III 並非必定正確。

37. B (27%)
$$\begin{align*}
\Delta &\le 0\\
k^2 -4(1)(k +8) &\le 0\\
k^2 -4k -32 &\le 0\\
-4 \le k &\le 8
\end{align*}$$

附註: ##x^2 +kx +k +8 \ge 0##的意思是曲線在 x-軸上方,與 x-軸不相交或相交於一點。因此設 ##\Delta \le 0##。

38. B (34%)
Step 1) Find BAF and CGE.

$$\text{In }\triangle ABF,\\
\begin{align*}
\tan \angle BAF &= \frac{BF}{AB}\\[2pt] &= \frac{280}{960}\\
\angle BAF &= 16.260\deg
\end{align*}$$ $$ \text{In }\triangle EGI,\\
\begin{align*}
\tan \angle CGE &= \frac{EI}{GI}\\[2pt] &= \frac{597}{638 -480}\\
\angle CGE &= 75.176\deg
\end{align*}$$

Step 2) Find AEH, DAH and AH.

$$\begin{align*}
\angle AEH &= \angle CGE\\
&= 75.176\deg\\[12pt] \angle DAH &= 90\deg -\angle BAF\\
&=90\deg -16.260\deg\\
&=73.740\deg
\end{align*}$$ $$\text{In }\triangle AEH,\\
\begin{align*}
\frac{AH}{\sin \angle AEH} &= \frac{AE}{\sin \angle AHE}\\[2pt] \frac{AH}{\sin 75.176\deg} &= \frac{638}{\sin (180\deg -16.260\deg -75.176\deg)}\\[2pt] AH &= 616.989
\end{align*}$$

Step 3) Find DH.

$$\text{In }\triangle ADH,\\
\begin{align*}
\cos \angle DAH &= \frac{AD^2 +AH^2 -DH^2}{2(AD)(AH)}\\[2pt] \cos 73.740\deg &= \frac{597^2 +616.989^2 -DH^2}{2(597)(616.989)}\\[2pt] DH^2 &= 530815.1904\\
DH &= 728.57\\
DH &\approx 729\text{ cm}
\end{align*}$$

附註:此題選項 A 與 B 只相差 1,選項 C 與 D 同樣只相差 1,因此計算時須保留較多小數位,以免導致捨入誤差 (Rounding Error)。

39. D (37%)
Referring to the figure, find α, β and θ.
參考下圖,求 α, β and θ

$$\because AB\ //\ EC\\
\begin{align*}
\alpha + x +90\deg &= 180\deg\\
\alpha &= 90\deg -x
\end{align*}$$ $$\text{In }\triangle CDE,\\
\begin{align*}
\angle CDF &= \angle ECD +\angle CED\ (ext.\ \angle\ of\ \triangle)\\
49\deg &= \beta +31\deg\\
\beta &= 18\deg
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\theta &= \angle CDF\ (\angle\ in\ alt.\ segment)\\
&= 49\deg
\end{align*}$$


$$\text{In }\triangle ACD,\\
\begin{align*}
90\deg +18\deg +(90\deg -x) +49\deg &= 180\deg\\
90\deg -x &= 23\deg\\
x &= 90\deg -23\deg\\
x &= 67\deg
\end{align*}$$

40. A (31%)

$$\begin{align*}
4x &= 3y\\
y &= \frac{4x}{3}\\
\end{align*} \\
\begin{cases}
x^2 +y^2 -4x -22y +75 = 0\\
y = \frac{4x}{3}
\end{cases} $$

By substitution,
運用代入法,

$$\begin{align*}
x^2 +\Big(\frac{4x}{3}\Big)^2 -4x -22\Big(\frac{4x}{3}\Big) +75 &= 0\\
\frac{25}{9} x^2 -\frac{100}{3}x +675 &= 0\\
25x^2 -300x +675 &= 0\\
x^2 -12x +27 &= 0\\
x &= 3\text{ or }9
\end{align*}\\[10pt] M =\Big(3, \frac{4(3)}{3}\Big) = (3,4)\\
N =\Big(9, \frac{4(9)}{3}\Big) = (9,12)$$ $$\text{Centre 圓心} = \Big(\frac{3+9}{2},\frac{4+12}{2} \Big) = (6,8)\\[2pt] \begin{align*}
\text{Radius 半徑} &= MN \div 2\\
&= \sqrt{(9 -3)^2 +(12 -4)^2} \div 2 \\
&= 5
\end{align*}
$$

$$\text{The equation 所需方程}\\
\begin{align*}
(x -6)^2 +(y -8)^2 &= 5^2\\
(x -6)^2 +(y -8)^2 &= 25
\end{align*}$$

41. C (33%)

Let Q = (h, k).
$$\because QH \perp OP\\ \begin{align*}
\frac{k +3}{h -21}\times\frac{-18 -0}{26 -0} &= -1\\[2pt] \frac{k +3}{h -21} &= \frac{13}{9}\\[2pt] 13h -273 &= 9k +27\\[2pt] 13h -9k &= 300
\end{align*}$$ $$\because OH \perp QP\\ \begin{align*}
\frac{-3 -0}{21 -0}\times\frac{k +18}{h -26} &= -1\\[2pt] \frac{k +18}{h -26} &= \frac{7}{1}\\[2pt] 7h -182 &= k +18\\[2pt] 7h -k &= 200
\end{align*}$$

Solving 解聯立方程,

$$\begin{cases}
13h -9k &= 300\\
7h -k &= 200
\end{cases}\\[13pt] \ h = 30, \color{red}{k = 10}$$

相關文章:求垂心 (Orthocentre)坐標的方法

42. D (62%)
$$\begin{align*}
&\ C_4^{20} \times C_3^{10} + C_5^{20} \times C_2^{10} + C_6^{20} \times C_1^{10} + C_7^{20}\\[1pt] =&\ 1\,744\,200
\end{align*}$$

43. D (44%)
黑色 = 5個
非黑色 = 10個
總數 = 15個
$$\begin{align*}
&\ \text{P(最多3次)}\\[2pt] =&\ \text{P(一次)}+\text{P(二次)}+\text{P(三次)}\\[2pt] =&\ \frac{5}{15} +\frac{10}{15}\times\frac{5}{14} +\frac{10}{15}\times\frac{9}{14}\times\frac{5}{13}\\[2pt] =&\ \frac{67}{91}
\end{align*}$$

44. C (76%)

$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##z## = standard score 標準分
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

The boy 男生:

$$\begin{align*}
-5 &= \frac{25 -45}{\sigma}\\
\sigma &= 4
\end{align*}$$

The girl 女生:

$$\begin{align*}
7 &= \frac{x -45}{4}\\[2pt] 28 &= x -45\\
x &= 73
\end{align*}$$
45. B (41%)
Let a and d be the first term and common difference respectively.
ad 分別是首項及公差。

I)

$$\begin{align*}
x_1 &=T(25)\\
&=a +24d\\[6pt] x_2 &=T(75)\\
&=a +74d
\end{align*}\\
\ \\
x_2 -x_1 = 50d$$

If d is negative, x1 > x2.
如果 d 是負數, x1 > x2

因此選項 I 並非必定正確。

II)

$$\begin{align*}
y_1 &= T(49) -T(1)\\
&= (a +48d) -a\\
&= \color{red}{48d}\\[12pt] y_2 &= T(99) -T(51)\\
&= (a +98d) -(a +50d)\\
&= a +98d -a -50d\\
&= \color{red}{48d}
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)

在每個數據加上相同的常數。
  標準差及方差維持不變 

Adding a common constant to each datum,
  Standard Deviation and Variance remain unchanged.

$$T(51) =T(1) + 50d\\
T(52) =T(2) + 50d\\
T(53) =T(3) + 50d\\
\text{and so on …}$$

Adding 50d to each datum in the first group, it becomes the second group. Thus, their standard deviations are the same.
只要把第一組的數據加上 50d,就變成第二組。因此其標準差相同。

$$\therefore z_1=z_2$$

因此選項 III 錯誤。

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分類: 計數機應用及歷屆試題


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  1. 張書粟 說:

    想問一下第20題,點解唔可以搵DE長度去計呀?

  2. Leung Hong 說:

    5,-7

  3. Tom Hung 說:

    想問吓點解今年冇show 每題答對率?🙏🙏

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