HKDSE 2022 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
&\ \alpha^2 -\alpha -\beta^2 +\beta\\
=&\ \alpha^2 -\beta^2 -(\alpha -\beta)\\
=&\ (\alpha -\beta)(\alpha +\beta) -(\alpha -\beta)\\
=&\ (\alpha -\beta)(\alpha +\beta -1)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \frac{81^{2n +3}}{(27^{n +1})^2}\\[2pt] =&\ \frac{(3^4)^{2n +3}}{27^{2n +2}}\\[2pt] =&\ \frac{3^{8n +12}}{\big(3^3\big)^{2n +2}}\\[2pt] =&\ \frac{3^{8n +12}}{3^{6n +6}}\\[2pt] =&\ 3^{8n +12 -(6n +6)}\\[2pt] =&\ 3^{2n +6}
\end{align*}$$

方法一：
$$\begin{align*}
\text{LHS 左方} &= (x+3)^2 +mx\\
&= x^2 +6x +9 +mx\\
&= x^2 +(m+6)x +9\\\\
\text{RHS 右方} &= (x -n)(x +1) +2n\\
&= x^2 +x -nx -n +2n\\
&= x^2 +(1-n)x +n
\end{align*}$$

Comparing the coefficients,
比較係數，
$$\begin{cases}
m +6 = 1 -n\ …(1)\\
n = 9\ …(2)
\end{cases}$$

$$\begin{align*}
m +6 &= 1-9\\
m &= -14
\end{align*}$$

方法二：
對於恆等式，x 是任何數值，該等式均成立。
Since it is an identity, the equality is always true regardless of values of x.

When x = 0,

When x = −1,

方法一：因式分解 Factorization

方法二：
把各選項中的解代入方程，如果左方和右方相等，該解為正確。

When x = 2c,

因此 x = 2c 為方程的解。

When x = 3c,

因此 x = 3c 並不是方程的解。

When x = c,

因此 x = c 並不是方程的解。

When x = 4c,

因此 x = 4c 為方程的解。

∴ x = 2c 和 x = 4c 為方程的解。

$$\begin{align*}
\frac{2}{u} +\frac{3}{v} &= 4\\[2pt] \frac{2v +3u}{uv} &= 4\\[2pt] 2v +3u &= 4uv\\
2v &= 4uv -3u\\
2v &= u(4v -3)\\
u &= \frac{2v}{4v -3}
\end{align*}$$

下捨入的意思是「永遠捨，不會入」。
Round down means 'round to the next lower number'.

例子：

由此可推斷 B 為正確答案。

$$\ \ \ \ \ 3y -5 \lt 5y +1 \le 11\\[3pt] \begin{align*}
3y -5 &\lt 5y +1 & \text{and}&\ & 5y +1 &\le 11\\
-2y &\lt +6 & \text{and}&\ & 5y &\le 10\\
y &\gt -3 & \text{and}&\ & y &\le 2\\
\end{align*}\\
\ \\
\therefore -3 \lt y \le 2$$

A)

B)

C)

D)

g(x) is divisible by (x +2a). i.e. g(−2a) = 0.
g(x) 可被 (x +2a) 整除，即是 g(−2a) = 0。
$$\begin{align*}
g(-2a) &= 0\\
(-2a)^2 +a(-2a) +b &= 0\\
4a^2 -2a^2 +b &=0\\
b &= -2a^2\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\text{Remainder 餘式}\\
=&\ g(2a)\\
=&\ (2a)^2 +a(2a) +b\\
=&\ 4a^2 +2a^2 \color{red}{+b}\\
=&\ 6a^2 \color{red}{-2a^2}\\
=&\ 4a^2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
y &= (h -x)(k -x)\\
&=hk -hx -kx +x^2\\
&= x^2 -(h+k)x + hk
\end{align*}$$

I)
The coefficient of ##x^2## is positive. Thus, the graph opens upwards.
##x^2## 的係數為正數，即是圖像開口向上。

因此選項 I 正確。

II)
$$\begin{align*}
(h -x)(k -x) &= 0\\
x = h\ \ \text{or}\ x &= k
\end{align*}$$

由於 hk < 0，所以 h 和 k 其中一個是正數，另一個是負數，即是 ##h \neq k##，因此圖像有兩個 x-截距 (x-intercept)。

因此選項 II 正確。

III)
$$y\text{-intercept 截距} = hk$$

因為 hk < 0，所以選項 III 錯誤。

$$\begin{align*}
&\ \text{Interest 利息}\\
=&\ 88000 \times \Big(1 +\frac{6\%}{12}\Big)^{4 \times 12} -88000\\
\approx &\ 23803
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
x : y &= 8 :5\\
\frac{x}{y} &= \frac{8}{5}\\
x &= \frac{8}{5}y
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
2x &= 4z -3y\\
2 \times \frac{8}{5}y &= 4z -3y\\
\frac{16}{5}y +3y &= 4z\\
\frac{31}{5}y &= 4z\\
\frac{y}{z} &= \frac{4}{\frac{31}{5}}\\[2pt] \frac{y}{z} &= \frac{20}{31}\\[2pt] y : z &= 20 : 31
\end{align*}$$

I)

因此選項 I 正確。

II)

因此選項 II 錯誤

III)

因此選項 III 正確。

Remark: If ##k## is a constant, ##k^2## and ##\frac{1}{k^2}## are also constants.
註：如果 ##k## 是常數，##k^2## 及 ##\frac{1}{k^2}## 都是常數。

方法一: 從數列的定義入手
$$(n+1)^{\text{th}}\text{ term} = n^{\text{th}}\text{ term} + (2n +6)$$

$$\begin{array} {c|l|c} n & n^{\text{th}}\text{ term} & 2n+6 \\ \hline 1 & 8 & 8 \\ \hline 2 & 8+8=16 & 10 \\ \hline 3 & 16+10=26 & 12 \\ \hline 4 & 26+12=38 & 14 \\ \hline 5 & 38+14=52 & 16 \\ \hline 6 & 52+16=68 & 18 \\ \hline 7 & 68+18=\color{red}{86} & \ \\ \end{array}$$

方法二: 觀察數列的模式 Observe the pattern

參考以下圖像，黑色數字為各圖案點子的數目，紅色數字為它們的差。從而得知每項之差每次增加2。
Refer to the figure below, the numbers in black are the numbers of dots of each pattern and the numbers in red are their differences. Thus, it can be determined that each difference increases by 2.

$$1^\text{st} \text{ term} = \ 8\\
2^\text{nd} \text{ term} = \ 8+8 = 16\\
3^\text{rd} \text{ term} = 16+10 = 26\\
4^\text{th} \text{ term} = 26+12 = 38\\
5^\text{th} \text{ term} = 38+14 = 52\\
6^\text{th} \text{ term} = 52+16= 68\\
7^\text{th} \text{ term} = 68+18= \color{red}{86}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{The required ratio 所求的比}\\
=&\ 3\pi r^2 : 6\pi r^2\\
=&\ 1:2
\end{align*}$$

題目要求的面積為圖中橙色部份。

先求下圖中藍色部份的面積。

$$\begin{align*}
\cos \theta &= \frac{5^2 +5^2 -8^2}{2 \times 5 \times 5}\\[2pt] \cos \theta &= \frac{-7}{25}\\[2pt] \theta &= 106.26\deg
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\ \text{藍色部份的面積}\\
=&\ \pi \times 5^2 \times \frac{106.26\deg}{360\deg} -\frac{1}{2}(5)(5)\sin 106.26\deg\\
=&\ 11.18\text{ cm}^2
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\ \text{所需面積}\\
=&\ \pi \times 5^2 -11.18\\
=&\ 67.36\\
\approx&\ 67\text{ cm}^2
\end{align*}$$

相關文章:弓形面積計算 Area of circular segments

留意 ##\triangle ABE \sim \triangle BCF##，證明如下。
$$\angle AEB = \angle BFC = 90\deg\\
\\
\begin{align*}
\text{let}\ \angle ABE &= \theta\\
\angle CBF &= 180\deg -90\deg- \theta\\
&= 90\deg -\theta\\
\angle BCF &= 180\deg -90\deg -(90\deg -\theta)\\
&= \theta\\
&= \angle ABE\\
\end{align*}\\
\\
\therefore \triangle ABE \sim \triangle BCF (AA)$$ $$\begin{align*}
AB &= 170 \div 2 -34\\
AB &= 51\\[6pt] EB^2 &= AB^2 -AE^2\\
EB^2 &= 51^2 – 24^2\\
EB &= 45
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\frac{BF}{AE} &= \frac{BC}{AB}\\[2pt] \frac{BF}{24} &= \frac{34}{51}\\[2pt] BF &= 16
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
EF &= EB + BF\\
&= 45 +16\\
&=61\ \text{cm}
\end{align*}$$

留意 ##\triangle AEC \cong \triangle BDA##，證明如下。
$$\begin{align*}
CE &= AD\ \text{(已知)}\\
AC &= AB\ \text{(等邊三角形)}\\
\angle ACE &= \angle BAD = 60\deg\ \text{(等邊三角形)}\\[6pt] \therefore \triangle AEC &\cong \triangle BDA\ \text{(SAS)}
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\color{red}{\angle EAC} &= \color{red}{\angle DBA}\\
&= 60\deg -38\deg\\
&= 22\deg\\[10pt] \color{blue}{\angle AEB} &= \color{red}{\angle EAC} + \color{purple}{\angle ACE}\\
&= 22\deg +60\deg\\
&= 82\deg
\end{align*}$$

I) 很明顯這選項必定正確。

II)

如果 ##b +c = 360\deg##，得到
$$\begin{cases}
b +c = 360\deg\\
b -c = -180\deg
\end{cases}$$

解聯立方程 Solving the equations,
$$b= 90\deg, c=270\deg$$

但 ##b## 並非必定等於 ##90\deg##，因此選項 II 並非必定正確。

III) 參考圖像，

因此選項 III 必定正確。

$$\begin{align*}
\angle BAC &=\ \frac{164\deg}{2}\ (\angle\text{ at centre twice }\angle\text{ at }⊙^{ce}\ \text{圓心角兩倍於圓周角})\\
&=\ 82\deg\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\text{Reflex 反角}\ \angle BOC &=\ 360\deg – 164\deg\\
&=\ 196\deg
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\theta +82\deg +196\deg +36\deg &=360\deg\\
\theta &= 46\deg
\end{align*}$$

$$\because ABED\ \text{是圓內接四邊形 Cyclic Quadrilateral}\\
\begin{align*}
\therefore \angle ABE + \angle ADE &= 180\deg\\
\angle ADE &= 180\deg -90\deg\\
\angle ADE &= 90\deg
\end{align*}$$

Step 1) 求 DE。
$$\begin{align*}
AB^2 +BE^2 &= AE^2\\
660^2 +275^2 &= AE^2\\
AE &= 715\\[6pt] AD^2 +DE^2 &= AE^2\\
572^2 +DE^2 &= 715^2\\
DE &= 429
\end{align*}$$

Step 2) 求 CD。
留意 ##\triangle CED \sim \triangle CAB##，證明如下。
$$\begin{align*}
\angle CDE &= \angle CBA = 90\deg\\
\angle ECD &= \angle ACB\ \text{(common angle 公共角)}\\
\therefore \triangle CED &\sim \triangle CAB\ \text{(AA)}
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\frac{CE}{AC} &= \frac{DE}{AB} = \frac{CD}{BC}\\[2pt] \frac{CE}{CD+572} &= \frac{429}{660} =\frac{CD}{CE +275}\\[2pt] \frac{CE}{CD+572} &= \frac{13}{20} =\frac{CD}{CE +275}
\end{align*}$$
由此建立兩條聯立方程，
$$\begin{align*}
\frac{CE}{CD+572} &= \frac{13}{20}\\[2pt] 20CE &= 13CD +7436\\[2pt] -13CD +20CE &= 7436\ …(1)\\[8pt] \frac{CD}{CE+275} &= \frac{13}{20}\\[2pt] 20CD &= 13CE +3575\\[2pt] 20CD -13CE &= 3575\ …(2)
\end{align*}$$

解聯立方程 Solving the equations,
$$CD = 728\ \text{cm}, CE= 845\ \text{cm}$$

以下是問題所提供的資料。

留意菱形亦即是4條邊長度相同的平行四邊形，運用簡單幾何，可證明下圖所示的4隻角相同。
A rhombus is a parallelogram with four equal sides.　With simple geometry, it can be proved that all four angles shown below are equal.

$$\begin{align*}
\cos \theta &= \frac{\color{red}{PT}}{\color{blue}{PQ}}\\[2pt] PQ &= \frac{PT}{\cos \theta}\\[10pt] \tan \theta &= \frac{\color{green}{ST}}{\color{red}{PT}}\\[2pt] ST &= PT\tan \theta\\[10pt] \frac{PQ}{ST} &=\frac{\frac{PT}{\cos \theta}}{PT\tan \theta}\\[2pt] &=\frac{1}{\cos\theta\tan\theta}\\[2pt] &=\frac{\cos\theta}{\cos\theta\sin\theta}\\[2pt] &=\frac{1}{\sin\theta}
\end{align*}$$

先求直線的 x-截距、y-截距及斜率。
Find the x-intercept, y-intercept and slope.

$$x\text{-intercept}\ x\text{-截距} = \frac{3}{m}\\[2pt] y\text{-intercept}\ y\text{-截距} = \frac{3}{n}\\[2pt] \text{slope 斜率} = \frac{-m}{n}$$

I) 從圖像得知， x-截距 x-intercept 是負數。由此可推斷， m 是負數，即是 ##m\lt 0##。因此選項 I 正確。

II) 從圖像得知， y-截距 y-intercept 是正數。由此可推斷， n 是正數。同時，y-截距 y-intercept 小於 +1。
$$\begin{align*}
\frac{3}{n} &\lt 1\\
3 &\lt n\ \ (\because n\gt 0)\\
n &\gt 3
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)

參考圖像，藍色線通過 (0,+1) 及 (−1,0)，其斜率是 +1，而題目中的直線的傾角明顯較小，即是其斜率小於 +1。
Referring to the figure, the blue line passes through (0,+1) and (−1,0). Its slope is +1. The inclination of the line as shown in the question is less than that of the blue line. Thus, the slope is less than +1.
$$\begin{align*}
\frac{-m}{n} &\lt 1\\
-m &\lt n\ \ (\because n\gt 0)\\
0 &\lt m +n\\
m +n &\gt 0
\end{align*}$$

因此選項 III 錯誤。

相關文章：文憑試實戰篇#3 圖像和係數的關係

第一步) 運用計數機把 ##(4\sqrt{3},-4)## 轉換成極坐標，得到 (8,−30°)。
第二步) 順時針旋轉即是把極角減去 90°，得到 (8,−120°)。
第三步) 由於極角是負數，須要加上 360° 作修正，得到 (8,240°)。

Step 1) Using a calculator, convert ##(4\sqrt{3},-4)## into polar coordinates. The result is (8,−30°).
Step 2) Rotating clockwise means subtracting 90° from polar angle. The result is (8,−120°).
Step 3) Since the polar angle is negative, it is necessary to adjust the polar angle by adding 360°. The result is (8,240°).

相關文章：文憑試實戰篇#2 Polar Coordinates 極坐標

P 點的軌跡為 AB 的垂直平分線。
The locus of P is the perpendicular bisector of AB.

先求 A 和 B 點的坐標。
$$A = (5,0), B=(0,-12)$$

方法一：
設 M 點為 AB 的中點。
Let point M be the mid-point of AB.

$$\begin{align*} M&=\Big(\frac{5+0}{2},\frac{0+(-12)}{2}\Big)=(2.5,-6)\\[8pt] m_{AB} &= \frac{0-(-12)}{5-0}\\
&=\frac{12}{5}
\end{align*}$$

設 m 為垂直平分線的斜率。
Let m be the slope of the perpendicular bisector.

$$\begin{align*}
m \times m_{AB} & = -1\\[2pt] m \times \frac{12}{5} &= -1\\
m &= \frac{-5}{12}
\end{align*}$$

所求的方程

方法二 ：
設 P 點的坐標為 (x, y)。
Let the coordinates of point P be (x, y).

$$\begin{align*}
AP & = BP\\
\sqrt{(x -5)^2 +(y -0)^2} &= \sqrt{(x -0)^2 + (y +12)^2}\\
x^2 -10x +25 + y^2 &= x^2 +y^2 +24y +144\\
-10x +25 &= 24y +144\\
10x +24y + 119 &=0
\end{align*}$$

相關文章：常見軌跡 Common Loci

Let the equation of the circle be ##x^2 +y^2 +Dx +Ey+F=0##.
設圓形的方程為 ##x^2 +y^2 +Dx +Ey+F=0##。

把 (0, 0) 代入方程，

把 (10,−24) 及 (17,−7) 代入方程，

Solving the equations,
解聯立方程，
$$D=-10, E=24$$

圓形的方程：##x^2 +y^2 -10x +24y = 0## 

A)

兩者並不相同，因此選項 A 錯誤。

B)

因此選項 B 錯誤。

C)
方法一：
把 (16,−9) 代入圓形方程。
$$\begin{align*}
\text{RHS} &= 16^2 +(-9)^2 -10(16) +24(-9)\\
&= -39\\
&\lt 0
\end{align*}$$

即是 (16,−9) 在圓形之內，因此選項 C 正確。

方法二：
$$\begin{align*}
&(16,-9)\ \text{與圓心之距離}\\
=& \sqrt{(16 -5)^2 + (-9 +12)^2}\\
=& \sqrt{130}\\
\approx& 11.4\\
\lt& 13
\end{align*}$$

即是 (16,−9) 在圓形之內，因此選項 C 正確。

D)
把圓心坐標 (5,−12) 代入 ##5x +12y## 
$$\begin{align*}
5x +12y &= 5(5) +12(-12)\\
&= 25 -144\\
&= -119\\
&\neq 0
\end{align*}$$

即是該點並不在該直線之上，因此選項 D 錯誤。

 

該數字有可能是

502, 512, 522, 532, 542,
552, 562, 572, 582, 592 

當中只有 532 可被 7 整除 (532=76×7)。

$$\therefore P = \frac{1}{10}$$

Let x be the mean weight of actress.
設 x 為女演員的平均體重。
$$\begin{align*}
\frac{60 \times 63 + 40 \times x}{60+40} &= 57\\
3780 + 40x &= 5700\\
40x &= 1920\\
x &= 48
\end{align*}$$

先從題目的資料尋求 x 的可能值。

$$\begin{align*}
\text{平均值 mean} &= 6\\
\frac{2+5+6+6+3x+y}{8} &= 6\\[2pt] 19 +3x +y &= 48\\
y &= 29 -3x
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\because y \gt 0\\
29 -3x \gt 0\\
3x \lt 29\\
x \lt \frac{29}{3}\\
x \lt 9.67
\end{align*}$$

由於 x 是正整數，因此可判斷 ##1\le x \le 9##。

假設 ##x \le 5##，
$$\begin{align*}
x &\le 5\\
-3x &\ge -15\\
29 -3x &\ge -15 +29\\
y &\ge 14
\end{align*}$$

把這些數字由小至大排列，會得到

2 x x x 5 6 6 y or
x x x 2 5 6 6 y 

在這兩種情況下，中位數 Median 都不可能等於 6，因此 x 的可能值收窄至 ##6 \le x \le 9##。

計算 x 及 y 的可能值，並把這些數字由小至大排列。

當 ##x = 7, y= 8##，中位數 Median 不等於 6，因此可把它排除。 最後計算在這三個可能情況下的眾數 mode、分佈域 range 及方差 variance。

$$\begin{array} {c|c|c|c|c|c}
\ & \ &\ &\text{眾數} &\text{分佈域} &\text{方差}\\
x & y &\text{Data} &\text{mode} &\text{range} &\text{variance}\\
\hline 6 & 11 & 2\ 5\ 6\ 6\ 6\ 6\ 6\ 11 & 6 & 9 & 5.25\\
8 & 5 & 2\ 5\ 5\ 6\ 6\ 8\ 8\ 8 & 8 &6 &3.75\\
9 & 2 & 2\ 2\ 5\ 6\ 6\ 9\ 9\ 9 & 9 &7 & 7.5
\end{array}$$

I) 當 x = 8 或 x = 9，眾數 mode 並不等於 6，因此選項 I 並非必定正確。

II) 從以上列表，分佈域 range 的最小值是 6，因此選項 II 正確。

III) 從以上列表，方差 variance 的最大值是 7.5，因此選項 III 並非必定正確。。

如果 0 < a < b，則 log a < log b。

因此只須把各數取 log，然後比較其結果，便可分辨這些數字的大小。

留意選項 A，由於指數 768 是偶數，因此##(-345)^{768}##是正數，即是 ##(-345)^{768} = (345)^{768}##。

A) ##\log (345)^{768} = 768 \times \log 345 \approx 1949## 

B) ##\log (453)^{-786} = -786 \times \log 453 \approx -2087.7## 

C) ##\log \big(\frac{1}{435}\big)^{867} = 867 \times \log \big(\frac{1}{435}\big) \approx \color{red}{-2287.6}## 

D) ##\log \big(\frac{2}{543}\big)^{876} = 876 \times \log\big(\frac{2}{543}\big) \approx -2132.0## 

取 log 後選項 C 的數值最小，所以選項 C 是正確答案。

題目的意思如下圖所示。

方法一：利用直線方程

參考 y=mx+c，
$$\begin{align*}
\log_a y &= \frac{0-6}{3-0} \cdot x + 6\\
\log_a y &= -2x+6\\
y &= a^{-2x+6}\\
y &= a^{-2x} \cdot a^6\\
y &= a^6 \cdot (a^{-2})^x
\end{align*}$$

已知 ##y=mn^x##，所以 ##m=a^6, n=a^{-2}=\frac{1}{a^2}##。

I)

因此選項 I 正確。

II)

因此選項 II 錯誤。

III)

因此選項 III 正確。

方法二：
題目共給了兩個截距，其意思如下：
$$\begin{cases}
x = 3\\
\log_a y = 0
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
x = 0\\
\log_a y = 6
\end{cases}$$

從而得到
$$\begin{cases}
x = 3\\
y = a^0 = 1
\end{cases}\text{ and }
\begin{cases}
x = 0\\
y = a^6
\end{cases}$$

I) 把 ##x=0, y=a^6## 代入 ##y=mn^x##。
$$\begin{align*}
a^6 &= m \times n^0\\
m &= a^6
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\because 0 \lt a &\lt 1\\
\therefore a^6 &\lt 1\\
m &\lt 1
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II) 把 ##x=3, y= 1, m=a^6## 代入 ##y=mn^x##。
$$\begin{align*}
1 &= a^6 \times n^3\\
n^3 &= \frac{1}{a^6}\\
n &= \frac{1}{a^2}
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\because 0 \lt a &\lt 1\\
\therefore 0 \lt a^2 &\lt 1\\
\frac{1}{a^2} &\gt 1\\
n &\gt 1
\end{align*}$$

因此選項 II 錯誤。

III)

因此選項 III 正確。

相關文章：HKDSE 2018 數學科 Paper II Q33 題解

$$
\begin{cases}
\log_4 y\ = 2x -1\\
(\log_4 y)^2 = 20x -31
\end{cases}$$ $$\begin{align*}
(2x -1)^2 &= 20x -31\\
4x^2 -4x +1 &= 20x -31\\
4x^2 -24x +32 &= 0\\
x = 2\ \text{or}\ x &= 4
\end{align*}$$

When x = 2,
$$\begin{align*}
\log_4 y&=2(2) -1\\
\log_4 y&= 3\\
\log_4 y &= 3\\
y &= 4^3
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\log_2 y &= \frac{\log y}{\log 2}\\
&= \frac{\log 4^3}{\log 2}\\
&= \frac{3\log 2^2}{\log 2}\\
&= \frac{6\log 2}{\log 2}\\
&= 6
\end{align*}$$

When x = 4,
$$\begin{align*}
\log_4 y&=2(4) -1\\
\log_4 y&= 7\\
\log_4 y &= 7\\
y &= 4^7
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\log_2 y &= \frac{\log y}{\log 2}\\
&= \frac{\log 4^7}{\log 2}\\
&= \frac{7\log 2^2}{\log 2}\\
&= \frac{14\log 2}{\log 2}\\
&= 14
\end{align*}$$

方法一：
$$\begin{align*}
&\ \text{12B00CD000000E}_{16}\\
=&\ \text{12B}_{16}\times 16^{11} +\text{CD}_{16}\times 16^7 +\text{E}_{16}\\
=&\ 299\times 16^{11} +205\times 16^7 + 14\\
=&\ 299\times \big(4^2\big)^{11} +205 \times \big(4^2\big)^7 +14\\
=&\ 299\times 4^{22} +205 \times 4^{14} +14
\end{align*}$$

方法二：借助計數機

$$\begin{align*}
&\ \text{12B00CD000000E}_{16}\\
=&\ \color{green}{1\times 16^{13} +2\times 16^{12} +11\times 16^{11} +12 \times 16^8 +13\times 16^7} \color{blue}{+14}\\
=&\ \color{green}{5.2601 \times 10^{15}} \color{blue}{+14}
\end{align*}$$

A)

因此選項 A 為正確答案。

B)

因此選項 B 錯誤。

C)

因此選項 C 錯誤。

D)

因此選項 D 錯誤。

相關文章：文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

之後不斷重複循環，由此可得知

 

$$\begin{align*}
\because \text{real part 實部} &= \text{imaginary part 虛部}\\
2k -1 &= k +6\\
k &=7
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\ \text{real part 實部}\\
=&\ 2k -1\\
=&\ 2(7) -1\\
=&\ 13
\end{align*}$$

透過直線的截距來作圖。

$$2x +y =8\\
x\text{-intercept} = 4, y\text{-intercept} = 8\\[12pt] 2x +3y = 16\\
x\text{-intercept} = 8, y\text{-intercept} = \frac{16}{3} \approx 5.3\\[12pt] 4x +3y = 22\\
x\text{-intercept} = 5.5, y\text{-intercept} = \frac{22}{3} \approx 7.3
$$

運用代數技巧，找到以下各點坐標。

A點:

B點:

C點:

然後把各點坐標代入 ##7x +6y## 
$$\begin{array}{rll}
(2, 4):& 7(2) +6(4) &= \color{red}{38}\\
\Big(3,\frac{10}{3}\Big):& 7(3) +6(\frac{10}{3}\big) &= 41\\
(1, 6):& 7(1) +6(6) &= 43
\end{array}$$

∴ 最小值 = 38 

$$\begin{align*}
r = \frac{a_2}{a_1} &= \frac{a_3}{a_2}\\
\frac{1}{8p^2} &= \frac{27p}{1}\\
216p^3 &= 1\\
p^3 &= \frac{1}{216}\\
p &= \frac{1}{6}\\[8pt] r &= \frac{27p}{1}\\[2pt] r &=27 \times \frac{1}{6}\\
r &= \frac{9}{2}
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
a_4 &= a_3 \times r\\
&= 27p \times r\\
&=27 \times \frac{1}{6} \times \frac{9}{2}\\
&= \frac{81}{4}
\end{align*}$$

建議把兩條切線 Tangent 延長，並加上 AC 及 BD 兩線段。

運用交錯弓形的圓周角 Angles in the Alternate Segment，可找到

$$\color{red}{\angle BDC = \angle CBQ =39\deg}\\
\color{blue}{\angle ACD = \angle DAP = 42\deg}$$

然後運用同弓形內的圓周角 Angles in the Same Segment，求 ##\angle ACB##。

$$\begin{align*}
\color{brown}{\angle ACB} =&\ \color{brown}{\angle ADB}\\
=&\ 79\deg -39\deg\\
=&\ 40\deg
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\angle BCD =&\ 42\deg +40\deg\\
=&\ 82\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\sin^2 x&= 6\cos^2 x\\
\sin^2 x&= 6(1 -\sin^2 x)\\
\sin^2 x&= 6 -6\sin^2 x\\
7\sin^2 x &= 6\\
\sin^2 x &= \frac{6}{7}\\
\sin x &= \pm \sqrt{\frac{6}{7}}
\end{align*}$$

When ##\sin x = +\sqrt{\frac{6}{7}}##,

When ##\sin x = -\sqrt{\frac{6}{7}}##,

∴ 共有4個解。

先辨別 α 的位置。參考上圖，左側是題目的圖像，把它旋轉後得到右側的圖像。綠色及藍色三角形分別是##\color{green}{\triangle AFG}## 及 ##\color{blue}{\triangle AFH}##。 而 ##AF## 則是它們的交線 line of intersection。 ##FH## 及 ##FG## 均與 ##AF## 垂直，所以 α 位於 ##\color{red}{\angle GFH}##。

FH 是正方形的對角線， 因此 α = 45° 

至於 β，上圖左側為該圖像的實物模型，藍色和紅色三角形分別為 ##\color{blue}{\triangle AFH}## 及 ##\color{red}{\triangle FGH}##。從圖片右側可見兩個平面互相垂直，即是 β = 90°。

已知 ##\alpha = 45\deg, \beta = 90\deg##，因此答案是 A。

For right-angled triangle, the circumcentre is at the mid-point of hypotenuse.
對於直角三角形，外心位於斜邊的中點。

$$\begin{align*}
M &=\Big(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\Big)\\
&=\Big(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\Big)
\end{align*}$$

把 ##\big(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\big)## 代入 ##4x +16y = 17a## 
$$\begin{align*}
4\times\frac{a}{2} +16\times\frac{b}{2} &= 17a\\
2a + 8b &= 17a\\
8b &= 15a\\
\frac{a}{b} &= \frac{8}{15}\\[2pt] \therefore a:b &= 8:15
\end{align*}$$

相關文章：三角形四心筆記

$$\begin{align*}&\ 5! \times 2!\\
=&\ 240\end{align*}$$

方法一：
女生第一次抽到白色 ##=\frac{3}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{49}## 
女生第二次抽到白色 ##=\frac{3}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{9}{49} \times \frac{6}{49}## 
女生第三次抽到白色 ##=(\frac{3}{7} \times \frac{3}{7})^2 \times \frac{3}{7} \times \frac{2}{7} = (\frac{9}{49})^2 \times \frac{6}{49}## 
如此類推…
$$\begin{align*}
&\text{The required probability 所求概率}\\
=&\frac{6}{49} +\frac{9}{49}\times\frac{6}{49} + \Big(\frac{9}{49}\Big)^2\times\frac{6}{49} + …\\
=&\frac{\frac{6}{49}}{1-\frac{9}{49}}\\
=&\frac{3}{20}\\
\end{align*}$$

方法二：
當男生和女生都抽到紅色，該遊戲從新開始。
因此可判斷女生抽到白色球的條件為:

• 在第一回合，女生抽到白色球 或
• 在第一回合，雙方都抽到紅色球。在遊戲從新開始後，女生抽到白色球

When both the boy and the girl draw a red ball, the game starts over.
Thus, we can determine the condition that the girl draws a white ball is:

• The girl draws the white ball at round 1. OR
• Both draw a red ball at round 1. After starting over, the girl draws the white ball.

由此可得到以下方程。
Thus, the following equation can be derived.

設 P 為所求概率。
Let P be the required probability.

相關文章：HKDSE 2022 數學科 Paper II Q43 題解

I) 在每個數據加上相同的常數 h。
  Mean 平均值同樣增加 h 
  Median 中位數同樣增加 h 
  Standard Deviation 標準差維持不變 

II) 在每個數據乘上相同的常數 k。
  Mean 平均值為原來的 k倍 
  Median 中位數為原來的 k倍 
  Standard Deviation 標準差為原來的 k倍。

而題目的意思是把每一個數據都乘上 (1+50%)，即是 1.5，然後加上 8。新的中位數亦是原來的乘上 1.5，再加 8。

$$\begin{align*}
\therefore x &= 30 \times 1.5 + 8\\
&= 53
\end{align*}$$

Let the mark of the student, mean and standard deviation be a, μ and σ respectively.
設該學生的分數，平均值及標準差分別為 a, μ and σ。

$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x -\mu}{\sigma}$$##x## = raw value 原始值
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$z=\frac{x -\mu}{\sigma}$$##z## = standard score 標準分
##x## = raw value 原始值
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$\therefore \frac{a -\mu}{\sigma} = -2$$

After score adjustment 分數調整後，
New mark 新的分數 = ##1.5a +8## 
New mean 新的平均值 = ##1.5\mu +8## 
New standard deviation 新的標準差 = ##1.5\sigma## 

$$\begin{align*}
z &=\ \frac{(1.5a +8) -(1.5\mu +8)}{1.5\sigma}\\
&=\ \frac{1.5(a -\mu)}{1.5\sigma}\\
&=\ \frac{a -\mu}{\sigma}\\
&=\ -2
\end{align*}$$

方法一：

I)

##d -1## 不可能等於 ##d +1##，因此選項 I 錯誤。

II)

$$\text{standard deviation 標準差}\ \sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i -\mu)^2}{N}}$$

##\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i -\mu)^2}{N}}##

兩者相同，因此選項 II 正確。

III)

∵ 兩者相同，所以選項 III 正確。

註：判斷選項 I 和選項 III 相對容易，只要知道選項 I 錯誤而選項 III 正確，已經足以確定答案是 D。

方法二：不在此詳細說明，有興趣的同學可自行研究。

只要把 ##S_1## 的每一個數據乘上 (-1)，然後再加上 ##2d##，就會變成 ##S_2##，由此可判斷標準差 standard deviation 及四分位數間距 inter-quartile range 不變。

至於平均值需要用上述方法作判斷。