HKDSE 2023 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
\frac{a +5b}{7a +2b} &= \frac{1}{b +3}\\[2pt] (a+5b)(b+3) &= 1 \times (7a +2b)\\
ab +3a +5b^2 +15b &= 7a +2b\\
ab +3a -7a &= 2b -5b^2 -15b\\
ab -4a &= -5b^2 -13b\\
a(b -4) &= -(5b^2 +13b)\\
a &= \frac{-(5b^2 +13b)}{b -4}\\[2pt] a &= \frac{5b^2 +13b}{4 -b}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\frac{2}{5 -4x} -\frac{1}{5 +4x}\\[2pt] =&\frac{2(5+4x) -1(5 -4x)}{(5 +4x)(5 -4x)}\\[2pt] =&\frac{10 +8x -5 +4x}{5^2 -(4x)^2}\\[2pt] =&\frac{5 +12x}{25 -16x^2}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ 4^{n +2}3^{2n +4}\\
=&\ \big(2^2\big)^{n +2}3^{2n +4}\\
=&\ 2^{2n +4}3^{2n +4}\\
=&\ (2 \times 3)^{2n +4}\\
=&\ 6^{2n +4}
\end{align*}$$

方法一：
$$\begin{align*}
&\ 2x^2 +xy -y^2 +4x +4y\\
=&\ (2x^2 +xy -y^2) +(4x +4y)\\
=&\ (2x -y)(x +y) +4(x +y)\\
=&\ (x +y)(2x -y +4)
\end{align*}$$

方法二：
如果不懂得把 ##2x^2 +xy -y^2## 因式分解，可以展開各選項的代數式，判斷哪一個選項和問題的代數式相同。
If you are unable to factorize ##2x^2 +xy -y^2##, you may expand the expressions in all options. Then, determine which one is equivalent to the expression in the question.

A)

B)

因此選項 B 為正確答案。因為已確定答案，無須測試其餘選項。

方法一: 比較係數 Comparing Coefficients
$$\begin{align*}
(x +2)(x +c) +12 &\equiv x(x +d) +6c(x +1)\\
x^2 +cx +2x +2c +12 &\equiv x^2 +dx +6cx +6c\\
x^2 \color{red}{+(c+2)x} \color{green}{+2c +12} &\equiv x^2 \color{red}{+(6c +d)x} \color{green}{+6c}
\end{align*}$$

比較同類項係數，
Comparing the coefficient of like terms,
$$\begin{cases}
c +2 = 6c +d\\
2c +12 = 6c
\end{cases}$$

Solving 解聯立方程，

$$c = 3, d = -13$$

方法二:
對於恆等式，x 是任何數值，該等式均成立。
Since it is an identity, the equality is always true regardless of values of x.

代 ##x = 0##，

代 ##x = 1, c= 3##

$$\begin{align*}
x -3 &\lt -5 & \text{or}&\ & \frac{6 -x}{4} &\lt 2\\
x &\lt -2 & \text{or}&\ & 6 -x &\lt 8\\
x &\lt -2 & \text{or}&\ & -x &\lt 2\\
x &\lt -2 & \text{or}&\ & x &\gt -2
\end{align*}\\
\ \\
\therefore x \neq -2$$

Maximum Absolute Error ##= 0.1 \div 2 = 0.05##
最大絕對誤差 ##= 0.1 \div 2 = 0.05##

Upper Limit 上限 ##= 73.8 +0.05 = 73.85##
Lower Limit 下限 ##= 73.8 -0.05 = 73.75##

至於選項 C 和 D 之分別，大家要記住:「下限包括等於而上限則不包」。所以正確答案是 C。

$$\begin{align*}
&\ g(1 -3\alpha)\\
=&\ 13 -5(1 -3\alpha)^2\\
=&\ 13 -5(1 -6\alpha +9\alpha^2)\\
=&\ 13 -5 +30\alpha -45\alpha^2\\
=&\ 8 +30\alpha -45\alpha^2
\end{align*}$$

∵ h(x) is divisible by 2x−3.
   h(x) 可被 2x−3 整除。$$\begin{align*}
\therefore h\Big(\frac{3}{2}\Big) &= 0\\
a\Big(\frac{3}{2}\Big)^6 +16\Big(\frac{3}{2}\Big)^3 +b &= 0\\
\frac{729}{64}a +54 +b &= 0\\
\frac{729}{64}a +b &= -54
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{remainder 餘式}\\
=&\ h\Big(\frac{-3}{2}\Big)\\
=&\ a\Big(\frac{-3}{2}\Big)^6 +16\Big(\frac{-3}{2}\Big)^3 +b\\
=&\ \frac{729}{64}a -54 +b\\
=&\ \color{red}{\frac{729}{64}a +b} -54\\
=&\ \color{red}{-54} -54\\
=&\ -108
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
y &= 5 +(x -3)^2\\
&= 5 +(x^2 -6x +9)\\
&= x^2 -6x +14
\end{align*}$$

A)
##x^2## 的係數為正數，即是圖像開口向上。
The coefficient of ##x^2## is positive. Thus,the graph opens upwards.

因此選項 A 錯誤。

B)
方程 ##x^2 -6x +14 = 0## 沒有實數解，因此沒有 x-截距
The equation ##x^2 -6x +14 = 0## has no real roots. Thus, there is no x-intercept.

因此選項 B 錯誤。

C)
y-截距 = 14 
y-intercept = 14 

因此選項 C 錯誤。

D)
把 (3, 5)代入 ##y = 5 +(x -3)^2##
Put (3, 5) into ##y = 5 +(x -3)^2##

$$\begin{align*}
\text{RHS 右方} &= 5 +(3 -3)^2\\
&= 5\\
&= \text{LHS 左方}
\end{align*}$$

因此選項 D 為正確答案。

$$\text{設 }x\text{ 為成本。}\\
\ \\
\begin{align*}
\text{標價} &= \text{成本} \times (1 +60\%)\\
&= 1.6x\\[8pt] \text{售價} &= \text{標價} \times (1 -25\%)\\
&= 1.6x \times 0.75\\
&= 1.2x\\[8pt] \text{盈利} &= \text{售價} -\text{成本}\\
104 &= 1.2x -x\\
104 &= 0.2x\\
x &= 520
\end{align*}$$

$$\text{Let }x\text{ be the cost.}\\
\ \\
\begin{align*}
\text{Marked Price} &= \text{Cost} \times (1 +60\%)\\
&= 1.6x\\[8pt] \text{Selling Price} &= \text{Marked Price} \times (1 -25\%)\\
&= 1.6x \times 0.75\\
&= 1.2x\\[8pt] \text{Profit} &= \text{Selling Price} -\text{Cost}\\
104 &= 1.2x -x\\
104 &= 0.2x\\
x &= 520
\end{align*}$$

##\Large \Big(\frac{l_1}{l_2}\Big)^{\large 2}=\frac{A_1}{A_2}##

設 x 為機場在地圖上的面積。
Let x be the area of the airport on the map.

$$\begin{align*}
1\,\text{km} &= 1000\,\text{m}\\
&= 1000 \times 100\,\text{cm}\\
&= 100000\,\text{cm}\\[4pt] 1\,\text{km}^2 &= 100000^2\text{cm}^2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\Big(\frac{1}{50000}\Big)^2 &= \frac{x}{10\,\text{km}^2}\\[2pt] x &= \frac{10\,\text{km}^2}{50000^2}\\[2pt] x &= \frac{10 \times 100000^2\,\text{cm}^2}{50000^2}\\[2pt] x &= 40\,\text{cm}^2
\end{align*}$$

$$\text{設 Let } z = kx^2 \sqrt[^3]{y}\\
\ \\
\begin{align*}
z &= kx^2\sqrt[3]{y}\\
36 &= k(12)^2\sqrt[^3]{64}\\
36 &= k(144)(4)\\
k &= \frac{1}{16}\\
\ \\
z &= \frac{1}{16}(16)^2\sqrt[^3]{729}\\[2pt] z &= 144
\end{align*}$$

當 When n=8,
$$\begin{align*}
a_8 &= a_7 +a_6\\
60 &= a_7 +23\\
a_7 &= 37\\[6pt] a_{n+2} &= a_{n+1} +a_n\\
a_n &= a_{n+2} -a_{n+1}
\end{align*}$$

$$\begin{array} {ll}
a_5 = a_7 -a_6 = 37 -23 &= 14\\
a_4 = a_6 -a_5 = 23 -14 &= 9\\
a_3 = a_5 -a_4 = 14 -9 &= 5
\end{array}$$

$$\begin{cases}
\pi r^2 h = 60^3\ …(1)\\
2 \pi rh = 6 \times 60^2\ …(2)
\end{cases}$$

##(1) \div (2)##,
$$\begin{align*}
\frac{\pi r^2h}{2 \pi rh} &= \frac{60^3}{6 \times 60^2} \\[2pt] \frac{r}{2} &= 10\\[2pt] r &= 20
\end{align*}$$

留意：
• G點為細圓的圓心。
• E點並非大圓的圓心。
• 大圓直徑 ##= 30 +10 = 40\text{ cm}##
• 大圓半徑 ##=40 \div 2 = 20\text{ cm}##
• 小圓半徑 ##=BG = DG##
• ∵ ##BG = DG## ⇒ ∴ ##AG \perp BD##

Note that
• G is the centre of the small circle.
• E is not the centre of the large circle.
• Diameter of the large circle ##= 30 +10 = 40\text{ cm}##
• Radius of the large circle ##=40 \div 2 = 20\text{ cm}##
• Radius of the small circle ##=BG = DG##
• ∵ ##BG = DG## ⇒ ∴ ##AG \perp BD##

第一步：求小圓半徑
Step 1) Find the radius of the small circle

設 r 為小圓半徑，及 O點為大圓的圓心。
Let r be the radius of the small circle and point O be the centre of the large circle.

$$OG = AG -AO = 30 -20 =10\text{ cm}$$

$$\begin{align*}
10^2 + r^2 &= 20^2\\
r^2 &= 300\\
r &= \sqrt{300}\text{ cm}
\end{align*}$$

第二步：求弓形 DGBC 的面積
Step 2: Find the area of segment DGBC

$$\begin{align*}
\cos \frac{\theta}{2} &= \frac{10}{20}\\[2pt] \frac{\theta}{2} &= 30\deg\\[2pt] \theta &= 60\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Area of segment }DGBC\text{ 弓形面積}\\
=&\ \pi \times 20^2 \times \frac{120\deg}{360\deg} -\frac{1}{2} \times 10 \times 2\sqrt{300}\\
=&\ 245.67\text{ cm}^2
\end{align*}$$

第三步： 求陰影區域面積
Step 3: Find the area of the shaded region

$$\begin{align*}
&\ \text{Area 面積}\\
=&\ \pi \times 20^2 -\color{red}{\frac{1}{2}\pi \times {\sqrt{300}}^2} -\color{green}{245.67}\\
\approx&\ 540\text{ cm}^2
\end{align*}$$

相關文章：弓形面積計算 Area of circular segments

設 Let ##PX:SR = 1:k##

依照 《文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題》 所述的方法，得到

$$\begin{align*}
\text{Area of }\triangle PRS \text{ 面積} &= \text{Area of }\triangle PRQ \text{ 面積}\\
32k^2 +32k&= 32+58\\
32k^2 +32k -90 &= 0\\
k &= \frac{5}{4}\text{ or }\frac{-9}{4}\text{ (rej. 捨去)}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{Area of }\triangle RSY \text{ 面積} &= 32k^2\\
&= 32 \times \Big(\frac{5}{4}\Big)^2\\
&= 50\text{ cm}^2
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #6 破解在梯形內求面積的問題

I)
參考圖像，加上平行線。
Refer to the figure, construct a parallel line.

##\therefore \angle a +\angle b = 90\deg##

即是選項 I 必定正確。

II) 很明顯此選項必定正確。
Obviously, this option is true.

III)
已知選項 I 及 II 正確，如果選項 III 正確，
Option I and II are true. If option III is also true,

$$\begin{cases}
a +b = 90\deg\ …(1)\\
c +d = 180\deg\ …(2)\\
a +b +c =d\ …(3)
\end{cases}$$

(1)+(2)−(3)
$$\begin{align*}
a +b +c +d -(a +b +c) &= 90\deg +180\deg -d\\
2d &= 270\deg\\
d & =135\deg
\end{align*}$$

但 d 並非必定等於 135°，因此選項 III 並非必為正確。
Since d = 135° is not always true, option III is also not always true.

留意菱形亦即是4條邊長度相同的平行四邊形。其性質如下圖所示。
A rhombus is a parallelogram with four equal sides. The figure below shows its properties.

I)
AE 及 BE 並非必定相等。
AE=BE is not always true.

因此選項 I 並非必為正確。
Option I is not always true.

II)
$$AE = EC\\
BE = ED\\[6pt] \therefore \frac{AE}{AC} = \frac{BE}{BD} = \frac{1}{2}$$

因此選項 II 必為正確。
Option II must be true.

III)
$$\begin{align*}
AE^2 +BE^2 &= AB^2\\
AE^2 +BE^2 &= CD^2\ (\because AB = CD)
\end{align*}$$

因此選項 III 必為正確。
Option III must be true.

參考下圖，
Refer to the figure below,

$$\begin{align*}
90\deg + 108\deg +120\deg +\alpha &= 360\deg\\
\alpha &= 42\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\theta &= \frac{180\deg -42\deg}{2}\\
&= 69\deg
\end{align*}$$

選項 C 為正確答案，證明如下。
Option C is correct. The proof is as follows.

$$\angle PTS = \angle UQT =90\deg\\
\angle PST = \angle UTQ\ (\text{corr. }\angle \text{s 同位角} ,PS//QT)\\[10pt] \triangle PST \sim \triangle UTQ\ (AA)$$

設 Let ##\angle SUT = \angle UST = \alpha##

In ##\triangle SUV##,

In ##\triangle SUW##,

$$\begin{align*}
\because \angle RST + \angle RUT &= 180\deg\\
48\deg +\alpha +\alpha +32\deg + \alpha +\alpha &= 180\deg\\
4\alpha &= 100\deg\\
\alpha &= 25\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\color{green}{\angle RSU} &= 48\deg +\alpha\\
&= 48\deg + 25\deg\\
&= 73\deg
\end{align*}$$

$$\because AD//BC\\
\therefore \angle CED = 90\deg\\[6pt] \color{blue}{\angle AEB} = 90\deg -\alpha\\
\color{brown}{\angle BEC} = 90\deg -\color{blue}{(90\deg -\alpha)} =\alpha$$

參考下圖，設 ##AE = DE =1##
Refer to the figure, Let ##AE = DE =1##

$$\text{In }\triangle ABE,\\[3pt] \begin{align*}
\sin \alpha &= \frac{BE}{AE}\\[2pt] \sin \alpha &= \frac{BE}{1}\\[2pt] BE &= \sin \alpha
\end{align*}$$

$$\text{In }\triangle BCE,\\[3pt] \begin{align*}
\cos \alpha &= \frac{CE}{BE}\\[2pt] \cos \alpha &= \frac{CE}{\sin \alpha}\\[2pt] CE &= \sin \alpha \cos \alpha
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \frac{CE}{DE}\\[2pt] =&\ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{1}\\[2pt] =&\ \sin \alpha \cos \alpha
\end{align*}$$

第一步) 運用計數機把 ##(\sqrt{2},-\sqrt{2})## 轉換成極坐標，得到 (2, −45°)。
第二步) 逆時針旋轉即是把極角加上 90°，得到 (2, 45°)。

Step 1) Using a calculator, convert ##(\sqrt{2},-\sqrt{2})## into polar coordinates. The result is (2, −45°).
Step 2) Rotating anticlockwise means adding 90° to the polar angle. The result is (2, 45°).

相關文章：文憑試實戰篇#2 Polar Coordinates 極坐標

方法一：
先求各直線的斜率。
Find the slopes of the lines.

$$\begin{align*}
2x +(a +3)y -5 &= 0\\
(a +3)y &= -2x +5\\
y &= \frac{-2}{a +3}x +\frac{5}{a +3}\\[6pt] m_1 &= \frac{-2}{a +3}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
ax -4y +1 &= 0\\
-4y &= -ax -1\\
y &= \frac{a}{4}x +\frac{1}{4}\\[6pt] m_2 &= \frac{a}{4}
\end{align*}$$

由於它們互相垂直，因此斜率的積 =−1。
Since they are perpendicular, the product of the slopes =−1.

$$\begin{align*}
m_1 \times m_2 &= -1\\
\frac{-2}{a +3} \times \frac{a}{4} &=-1\\
\frac{-2a}{4a +12} &= -1\\
-2a &= -4a -12\\
2a &= -12\\
a &= -6
\end{align*}$$

方法二：
運用 《兩直線互相垂直小貼士》 所述的公式，直接得到：

$$\begin{align*}
2a &= -(a +3)(-4)\\
2a &= 4a +12\\
-2a &= 12\\
a &= -6
\end{align*}$$

相關文章：兩直線互相垂直小貼士

求 A 及 B 的坐標。
Find the coordinates of A and B.

$$\begin{align*}
9x +12y -37 &= 0\\
9x +12(0) -37 &= 0\\
x &=\frac{37}{9}\\[4pt] \therefore A =\Big(\frac{37}{9}, 0\Big)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
12x +16y +85 &= 0\\
12(0) +16y +85 &= 0\\
y &= -\frac{85}{16}\\[4pt] \therefore B =\Big(0, -\frac{85}{16}\Big)
\end{align*}$$

求 l 的 y-截距、l 及 L 的斜率
Find the y-intercept of l and the slopes of l and L $$\begin{align*}
9x +12y -37 &= 0\\
12y &= -9x +37\\
y &= -\frac{3}{4} +\frac{37}{12}\\[6pt] m_l &= -\frac{3}{4}\\[6pt] c_l &= \frac{37}{12}\\[6pt] 12x +16y +85 &= 0\\
16y &= -12x -85\\
y &= -\frac{3}{4}x -\frac{85}{16}\\[6pt] m_L &= -\frac{3}{4}
\end{align*}\\$$

I)
留意 l 及 L 的斜率相同，亦即是它們平行。Γ 的軌跡如下圖所示。
Note that the slopes of l and L are the same. Thus, they are parallel. The locus of Γ is as follows.

因此選項 I 正確。

II)
$$\begin{align*}
m_{AB} &= \frac{0-(-\frac{85}{16})}{\frac{37}{9}-0}\\
&= \frac{765}{592}
\end{align*}$$

$$m_\Gamma = m_l = -\frac{3}{4}\\[6pt] \begin{align*}
&\ m_\Gamma \times m_{AB}\\[2pt] =&\ -\frac{3}{4} \times \frac{765}{592}\\
=&\ -\frac{2295}{2368}\\
\neq&\ -1
\end{align*}$$

因此選項 II 錯誤。

III)
方法一：
設 K 點為 AB 及 Γ 的交點。
Let point K be the intersection of AB and Γ.

參考下圖，運用截線定理，得到 AK = BK。因此 K 點亦是AB的中點。
Refer to the figure below, using intercept theorem, AK = BK can be deduced. Thus, point K is the mid-point of AB.

 

方法二：
   AB 的中點 mid-point of AB $$= \Big(\frac{\frac{37}{9}}{2}, \frac{0+(-\frac{85}{16})}{2}\Big)\\
=\Big(\frac{37}{18},-\frac{85}{32}\Big)$$

Γ 的方程 Equation of Γ

把 ##\Big(\frac{37}{18},-\frac{85}{32}\Big)## 代入 Γ 的方程
Put ##\Big(\frac{37}{18},-\frac{85}{32}\Big)## into the equation of Γ

$$\begin{align*}
\text{RHS 右方} &= -\frac{3}{4} \times \frac{37}{18} -\frac{107}{96}\\[2pt] &= -\frac{85}{32}\\[2pt] &= \text{LHS 左方}
\end{align*}$$

因此選項 III 正確。

相關文章：常見軌跡 Common Loci

求 ##G_1, G_2## 及圓形的半徑。
Find ##G_1, G_2## and the radii.

$$x^2 +y^2 +7x -4y +15 =0\\
G_1 = \Big(\frac{-7}{2},\frac{+4}{2}\Big) = (-3.5, 2)\\
\ \\
r_1 = \sqrt{(3.5)^2 +2^2 -15} = \sqrt{1.25}$$

$$\begin{align*}
2x^2 +2y^2 -2x -16y +17 &=0\\
x^2 + y^2 -x -8y +\frac{17}{2} &=0
\end{align*}$$

$$G_2 = \Big(\frac{+1}{2},\frac{+8}{2}\Big) = (0.5, 4)\\
\ \\
r_2 = \sqrt{(0.5)^2 + 4^2 +8.5} = \sqrt{24.75}$$

I)
$$OG_1 = \sqrt{(-3.5-0)^2 +(2-0)^2} = \sqrt{16.25}\\
OG_2 = \sqrt{(0.5-0)^2 +(4-0)^2}= \sqrt{16.25}\\
G_1G_2 = \sqrt{(-3.5-0.5)^2 +(2-4)^2}= \sqrt{20}$$

因此選項 I 錯誤。

II)
$$r_2 = \sqrt{24.75}\\[6pt] OG_2 = \sqrt{16.25} \lt r_2$$∴ O 點在 C₂ 以內。
  Point O lies inside C₂.

$$G_1G_2 = \sqrt{20} \lt r_2$$∴ G₁ 點在 C₂ 以內。
  Point G₁ lies inside C₂.

O 及 G₁ 都在 C₂ 以內　
Both point O and G₁ lie inside C₂.

因此選項 II 正確。

III)
$$G_1G_2 = \sqrt{20} = 4.47\\
r_2 +r_1 = \sqrt{24.75} +\sqrt{1.25} = 6.09\\
r_2 -r_1 = \sqrt{24.75} -\sqrt{1.25} = 3.85$$

##\because r_2-r_1 \lt G_1G_2 \lt r_2+r_1##
∴ 共有兩個交點。

因此選項 III 正確。

 

相關文章：兩圓形的交點數目

共有 9 種可能情況。
There are 9 possible cases.

1×8 = 8
2×6 = 12
2×8 = 16
3×8 = 24
4×6 = 24
4×7 = 28
4×8 = 32
4×9 = 36
5×8 = 40

$$\begin{align*}
P &= \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times 9\\[2pt] &= \frac{9}{20}
\end{align*}$$

從圖像可直接獲得上四分位數(Upper Quartile) 為 60。

$$\begin{align*}
&\ \frac{14 \times 31530 +56 \times 21525}{14+56}\\[2pt] =&\ 23526
\end{align*}$$

方法一：
$$\begin{align*}&\ 1011001011001011_2\\
=&\ 2^{15}+2^{13}+2^{12}+2^9+2^7+2^6 +2^3+2^1+2^0\\
=&\ \color{red}{45771}\end{align*}$$

然後計算各選項的數值
A) ##11 \times 2^{11} +11 \times 2^5 +11 = 22891##
B) ##11 \times 2^{12} +11 \times 2^6 +11 = \color{red}{45771}##
C) ##11 \times 2^{13} +11 \times 2^7 +11 = 91531##
D) ##11 \times 2^{14} +11 \times 2^8 +11 = 183051##

因此答案是 B。

方法二：
$$\begin{align*}
&\ 1011001011001011_2\\
=&\ 1011000000000000_2 +1011000000_2 +1011_2\\
=&\ 1011_2 \times 2^{12} +1011_2 \times 2^6 +1011_2\\
=&\ 11 \times 2^{12} + 11 \times 2^6 +11
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

$$\begin{eqnarray}
& a^\color{red}{4} & b^2 & c \\
& a^3 & b^4 & c \\
& a^2 & b^\color{red}{5} & c^\color{red}{2} \\
\hline
\text{LCM}\ =\ & a^4 & b^5 & c^2
\end{eqnarray}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #17 代數式的 HCF 及 LCM

方法一：利用直線方程 Linear Equation

參考 y − y₁ = m(x − x₁) 

方法二：題目共給了兩個坐標，其意思如下：

從而得到

只要把這兩組數代入各選項中，若兩組數字同時成立，該選項為正確答案。

A) 當 ##x=64, y=1## 
$$\begin{align*}
x^5y^2 &= 64^5 \times 1^2\\
&= 1073741824\\
&= 8^{10}
\end{align*}$$

當 ##x=1, y=32768## 
$$\begin{align*}
x^5y^2 &= 1^5 \times 32768^2\\
&= 1073741824\\
&= 8^{10}
\end{align*}$$

兩組數字同時成立，因此選項 A 正確。

B) 當 ##x=64, y=1## 
$$\begin{align*}
x^6y^5 &= 64^6 \times 1^5\\
&= 6.871947674 \times 10^{10}\\
&\neq 8^{20}
\end{align*}$$

因此選項 B 錯誤。

C) 當 ##x=64, y=1## 
$$\begin{align*}
x^{10}y^3 &= 64^{10} \times 1^3\\
&= 1.152921505 \times 10^{18}\\
&= 8^{20}
\end{align*}$$

當 ##x=1, y=32768## 
$$\begin{align*}
x^{10}y^3 &= 1^{10} \times 32768^3\\
&= 3.518437209 \times 10^{13}\\
&\neq 8^{20}
\end{align*}$$

因此選項 C 錯誤。

D) 當 ##x=64, y=1## 
$$\begin{align*}
x^9y^{10} &= 64^9 \times 1^{10}\\
&= 1.801439851 \times 10^{16}\\
&\neq 8^{30}
\end{align*}$$

因此選項 D 錯誤。

相關文章：文憑試實戰篇 #16 對數(log)與直線圖像

$$\begin{align*}
&\ \frac{i}{k -i} +\frac{2}{k +i}\\[2pt] =&\ \frac{i(k +i) +2(k -i)}{(k -i)(k +i)}\\[2pt] =&\ \frac{ki +i^2 +2k -2i}{k^2 -i^2}\\[2pt] =&\ \frac{ki -1 +2k -2i}{k^2 +1}\\[2pt] =&\ \frac{2k -1 +ki -2i}{k^2 +1}\\[2pt] =&\ \color{red}{\frac{2k -1}{k^2 +1}} +\frac{k -2}{k^2 +1}i
\end{align*}$$

∴ 實部 real part ##=\frac{2k -1}{k^2 +1}## 

$$\begin{align*}
y &= -f(3x)\\
&= -\big(3(3x)^2 +18m(3x) +22m^2\big)\\
&= -27x^2 -54mx -22m^2
\end{align*}$$

方法一: 配方法 Method of completing the square

$$\begin{align*}
y &= -27x^2 -54mx -22m^2\\
&= -27(x^2 +2mx) -22m^2\\
&= -27(x^2 +2mx +m^2 -m^2) -22m^2\\
&= -27\big((x +m)^2 -m^2\big) -22m^2\\
&= -27(x +m)^2 +27m^2 -22m^2\\
&= -27(x +m)^2 +5m^2
\end{align*}\\[12pt] \therefore \text{Vertex 頂點}= (-m, 5m^2)$$

由此可判斷選項 I 錯誤，而選項 II 和 III 正確。
Thus, option I is wrong and option II and III are correct.

方法二: 運用公式

對於 y = ax²+bx+c， 頂點 x坐標 = ##\large \frac{-b}{2a}##
For y = ax²+bx+c, x-coordinate of vertex = ##\large \frac{-b}{2a}##

對於 y = ax²+bx+c， 頂點 x坐標 = ##\large \frac{-b}{2a}##
For y = ax²+bx+c,
x-coordinate of vertex = ##\large \frac{-b}{2a}##

  頂點 x坐標 x-coordinate of vertex

把 ##x = -m## 代入 ##y = -27x^2 -54mx -22m^2##。
Put ##x = -m## into ##y = -27x^2 -54mx -22m^2##。
$$\begin{align*}
y &= -27x^2 -54mx -22m^2\\
&= -27(-m)^2 -54m(-m) -22m^2\\
&= -27m^2 +54m^2 -22m^2\\
&= 5m^2
\end{align*}\\[12pt] \therefore \text{Vertex 頂點}= (-m, 5m^2)$$

由此可判斷選項 I 錯誤，而選項 II 和 III 正確。
Thus, option I is wrong and option II and III are correct.

相關文章：被忽視的配方法 Completing the square

$$\begin{align*}
T(11) &= 83\\
a +10d &= 83\ …(1)\\
\ \\
T(25) +T(30) &= 463\\
a +24d + a +29d &= 463\\
2a +53d &= 463\ …(2)
\end{align*}$$

解方程 Solving (1) and (2),
$$a = -7, d=9$$

$$\begin{align*}
T(1) +T(2) +T(3)+ \cdot\cdot\cdot +T(k) \gt& 4 \times 10^5\\
\frac{n}{2}\big(2a +(n -1)d\big) \gt& 4 \times 10^5\\
\frac{k}{2}\big(2(-7) +(k -1)(9)\big) \gt& 4 \times 10^5\\
k(-14 +9k -9) \gt& 8 \times 10^5\\[2pt] 9k^2 -23k -800000 \gt& 0\\[2pt] k\lt-296.86\ \ \text{or}\ \ k \gt& 299.42
\end{align*}$$

∴ k 的最小值 = 300 

先用代數技巧，求以下三點直線的交點。
Find the intersections of the three lines.

$$x +3 = 0\\
2x +3y -12 = 0\\
5x -3y +12 =0$$

得到 ##(-3, 6), (-3, -1), (0, 4)##。

 
然後把各點代入 ##\beta x +6y \le 24## 以求取 ##\beta## 的可能範圍。
Put each point into ##\beta x +6y \le 24## in order to find the possible range of ##\beta##.

(i) ##(-3 ,6)## 
$$\begin{align*}
\beta (-3) +6(6) &\le 24\\
-3\beta &\le 24 -36\\
\beta &\ge 4
\end{align*}$$

(ii) ##(-3 ,-1)## 
$$\begin{align*}
\beta (-3) +6(-1) &\le 24\\
-3\beta &\le 24 +6\\
\beta &\ge -10
\end{align*}$$

(iii) ##(0 ,4)## 
$$\begin{align*}
\beta (0) +6(4) &\le 24\\
24 &\le 24\\
\end{align*}$$

此不等式必定正確，亦即是在 (0, 4) 此點，不論 ##\beta## 的數值，##\beta x +6y \le 24## 必定正確。換句話說，不等式的解是所有實數。
This inequality is always true. Thus, ##\beta x +6y \le 24## is always true regardless of the values of ##\beta##. In other words, the solution of the inequality is all real numbers.

在這三個頂點， ##\beta x +6y \le 24## 都成立時，在區域 D 內的所有點，##\beta x +6y \le 24## 均成立。
When ##\beta x +6y \le 24## is true at all three vertices, ##\beta x +6y \le 24## is true at all points inside region D.

即是 ##\beta## 的範圍須同時滿足以下三個條件。
i.e. The range of ##\beta## must meet all three conditions.
$$\begin{cases}
\beta \ge 4\\
\beta \ge -10\\
\text{all real numbers 所有實數}
\end{cases}$$

得到 ##\beta \ge 4##

參考下圖，留意 SR = SP。
Refer to the figure, note that SR = SP.

$$\begin{align*}
\alpha &= \frac{180\deg -34\deg}{2}\\
\alpha &= 73\deg
\end{align*}$$

運用交錯弓形的圓周角 ∠ in alt. segment

$$\text{In }\triangle PRV,\\
\begin{align*}
\angle RPS &= \angle PRV +\angle PVQ\ \text{(Ext. }\angle\text{ of }\triangle\text{ 三角形外角)}\\
73\deg &= 46\deg +\angle PVQ\\
\angle PVQ &= 27\deg
\end{align*}$$

(1, 0)必定於直線 hx +ky = 6 之上。
(1, 0) must lie on the line hx +ky = 6.

把 (1, 0) 代入 hx +ky = 6 
Put (1, 0) into hx +ky = 6 
$$\begin{align*}
h(1) +k(0) &= 6\\
h &= 6
\end{align*}$$

參考下圖，HK 與直線互相垂直
Refer to the figure below, HK is perpendicular to the line.

 

$$H = \Big(\frac{-8}{-2}, \frac{-4}{2}\Big) = (4,2)\\[10pt] m_{HK}= \frac{2 -0}{4 -1} = \frac{2}{3}\\[10pt] \begin{align*}
6x +ky &= 6\\
ky &= -6x +6\\
y&= \frac{-6}{k}x +\frac{6}{k}\\[6pt] \therefore m &= \frac{-6}{k}
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
m \times m_{HK} &= -1\\
\frac{-6}{k} \times \frac{2}{3} &= -1\\
-12 &= -3k\\
k & =4
\end{align*}$$

θ 為圖中兩條藍色線段的夾角。
θ is the angle between the two blue line segment.

求 AK 及 BK。
Find AK and BK.

很明顯， AK = BK，而它們的長度可透過三角形面積找到。
Obviously, AK = BK. Their lengths can be found from the area of the triangle.

$$\text{設 Let } s = \frac{4+4+5}{2} = 6.5\\[10pt] \begin{align*}
&\ \text{area of }\triangle \text{ 面積}\\
=&\ \sqrt{6.5 (6.5 -4)(6.5 -4)(6.5 -5)}\\
=&\ \sqrt{\frac{975}{16}}\\
=&\ \frac{5\sqrt{39}}{4}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{1}{2} AK \times VB &= \text{area of }\triangle \text{ 面積}\\
\frac{1}{2} AK \times 4 &= \frac{5\sqrt{39}}{4}\\
AK &= \frac{5\sqrt{39}}{8}
\end{align*}$$

求 AC 及 cos θ。
Find AC and cos θ.

AC 為正方形 ABCD 的對角線。
AC is the diagonal of the square ABCD.
$$\begin{align*}
AC^2 &= AB^2 +BC^2\\
AC^2 &= 5^2 +5^2\\
AC &= \sqrt{50}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\cos \theta =& \frac{AK^2 +CK^2 -AC^2}{2(AK)(CK)}\\[2pt] =& \frac{\big(\frac{5\sqrt{39}}{8}\big)^2 +\big(\frac{5\sqrt{39}}{8}\big)^2 -\sqrt{50}^2}{2\big(\frac{5\sqrt{39}}{8}\big)\big(\frac{5\sqrt{39}}{8}\big)}\\[2pt] =& \frac{-\frac{625}{32}}{\frac{975}{32}}\\[2pt] =& \frac{-25}{39}
\end{align*}$$

先求 L₁ 及 L₂ 的截距以作圖
Find the intercepts of L₁ 及 L₂ to draft the graph.

L₁:
x-intercept x-截距 ##=\frac{-k}{3}##
y-intercept y-截距 ##=\frac{k}{4}##

L₂:
x-intercept x-截距 ##=\frac{k}{4}##
y-intercept y-截距 ##=\frac{k}{3}##

設 L₃為通過 P 及 R 的直線。
Let L₃ be the line passing through P and R.

 

$$m_1 = \frac{3}{4}\\
m_3 = -m_1 = \frac{-3}{4}$$

L₃ 的方程
Equation of L₃ 

R 為 L₂ 及 L₃ 的交點。
Point R is the intersection of L₂ and L₃.

Solving 解聯立方程，
$$x = k$$

$$\begin{align*}
&\ C_1^{15} \times C_4^{14}\\
=&\ 15015
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{P(最少2次)}\\[2pt] =&\ 1 -\text{P(零次)} -\text{P(一次)}\\[2pt] =&\ 1 -(1-0.6)^4 -4 \times (0.6)(1-0.6)^3\\
=&\ 0.8208
\end{align*}$$

$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x -\mu}{\sigma}$$##x## = raw value 原始值
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$z=\frac{x -\mu}{\sigma}$$##z## = standard score 標準分
##x## = raw value 原始值
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$\begin{align*}
-3 &= \frac{46 -\mu}{\sigma}\\[2pt] \mu -3\sigma &= 46\ …(1)\\[8pt] 2 &= \frac{86 -\mu}{\sigma}\\[2pt] \mu + 2\sigma &= 86\ …(2)
\end{align*}$$

解方程 Solving (1) and (2),
$$\mu = 70,\sigma = 8$$

$$\begin{align*}
1 &= \frac{x -70}{8}\\[2pt] x &= 70 +8\\
x &= 78
\end{align*}$$

I)
方法一：

在每個數據加上相同的常數。
  標準差及方差維持不變 

Adding a common constant to each datum,
  Standard Deviation and Variance remain unchanged.

題目中的數據只是在 {1, 3, 4, 5, 7} 再加上 −9n，因此其標準差不變。運用計數機，得到標準差 = 2。
The data in the question can be obtained by adding −9n to {1, 3, 4, 5, 7}. Thus, its standard deviation does not change. Using a calculator, the standard deviation = 2.

方法二：

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i -\mu)^2}{N}}$$

$$\begin{align*}
\text{平均值 }\mu &= \frac{1 -9n +3 -9n +4 -9n +5 -9n +7 -n}{5}\\[2pt] &= \frac{20 -45n}{5}\\[2pt] &= 4 -9n
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II) 留意 ##1 -9n \lt 3 -9n \lt 4 -9n \lt 5 -9n \lt 7 -9n##。

∴ 中位數 medium =4 − 9n

由於 n 可以是任何整數，因此無法判斷中位數是否小於 4。
Since n can be any integer, we cannot determine whether medium is smaller than 4.

因此選項 II 並非必為正確。

III)
最大值 = 7 − 9n 
最小值 =  1− 9n

range 分佈域 = 7−9n − (1−9n) = 6

因此選項 III 錯誤。