HKDSE 2025 Maths Paper II 題解

$$\begin{align*}
&\ \frac{(27x)^5}{(3x^{-2})^4}\\[3pt] =&\ \frac{(3^3x)^5}{3^4x^{-8}}\\[3pt] =&\ \frac{3^{15}x^5}{3^4x^{-8}}\\[3pt] =&\ 3^{15-4}x^{5-(-8)}\\[2pt] =&\ 3^{11}x^{13}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ 36 -(3m +4n)^2\\[2pt] =&\ 6^2 -(3m +4n)^2\\[2pt] =&\ \big(6 +(3m +4n)\big)\big(6 -(3m +4n)\big)\\[2pt] =&\ (6 +3m +4n)(6 -3m -4n)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\text{LHS 左方} &= (x+8)(x+a)+b\\
&= x^2 +ax +8x +8a +b\\
&= x^2 \color{red}{+(a+8)x} \color{blue}{+8a +b}\\\\
\text{RHS 右方} &=x^2 +5a(x+3)\\
&= x^2 \color{red}{+5ax} \color{blue}{+15a}
\end{align*}$$

Comparing the coefficients,
比較係數，
$$\begin{cases}
a+8 = 5a\\
8a+b = 15a
\end{cases}$$

解聯立方程，
Solving the equations,

$$\begin{align*}
(3c +1)(d -4) &= 2d(5c -1)\\[2pt] 3cd -12c +d -4 &= 10cd -2d\\[2pt] d -4 +2d &= 10cd -3cd +12c\\[2pt] 3d -4 &= 7cd +12c\\[2pt] 3d -4 &= c(7d +12)\\[2pt] c &=\frac{3d -4}{7d +12}
\end{align*}$$

方法一:
$$\begin{align*}
x^2 +4x &= k^2 -2k -3\\
x^2 +4x \color{blue}{+4} &= k^2 -2k -3 \color{blue}{+4}\\
x^2 +4x +2^2 &= k^2 -2k +1\\
(x +2)^2 &= (k -1)^2\\[8pt] x +2 = k-1\ \ &\text{or}\ \ x+2 =-(k -1)\\
x = k -3\ \ &\text{or}\ \ x = -k -1
\end{align*}$$

方法二：
把各選項中的解代入方程，如果左方和右方相等，該解為正確。

當 x = k − 3 $$\begin{align*}
\text{左方 LHS} &= (k -3)^2 +4(k -3)\\
&= k^2 -6k +9 +4k -12\\
&= k^2 -2k -3\\
&=\text{右方 RHS}
\end{align*}$$

因此 x = k − 3 為方程的解，並可排除選項 C 及 D。

當 x = −k − 1

$$\begin{align*}
\text{左方 LHS} &= (-k -1)^2 +4(-k -1)\\
&= k^2 +2k +1 -4k -4\\
&= k^2 -2k -3\\
&=\text{右方 RHS}
\end{align*}$$

因此 x = −k − 1 為方程的解，即是答案為 A。

Maximum Absolute Error ##= 0.01 \div 2 = 0.005##
最大絕對誤差 ##= 0.01 \div 2 = 0.005##

當捨入至兩個小數位，5.675 會變成 5.68，所以 x 的範圍並不包括 5.675。

##\therefore 5.665 \le x \lt 5.675##

相關文章：量度結果的最大值是什麼?

$$
\begin{align*}
4y +1 &\lt 5y -3 & \text{and}&\ & 5y -3 &\le 8y -9\\
1+3 &\lt 5y -4y & \text{and}&\ & -3 +9 &\le 8y -5y\\
4 &\lt y & \text{and}&\ & 6 &\le 3y\\
y &\gt 4 & \text{and}&\ & y &\ge 2\\
\end{align*}\\
\ \\
\therefore y \gt 4$$

$$\begin{align*}
f(4)+f(-4) &= 38\\
4^2 +7 \times 4 +k +(-4)^2 +7 \times (-4) +k &= 38\\
16 +28 +k +16 -28 +k &= 38\\
32 +2k &= 38\\
2k &= 6\\
k &= 3
\end{align*}$$

(x + 3) 是 p(x)的因式。 即是 p(−3) = 0 
(x + 3) is a factor of p(x). i.e. p(−3) = 0 

$$\begin{align*}
p(-3)&=0\\
n(-3)^3 -3n(-3) +36 &= 0\\
-27n +9n &= -36\\
-18n &= -36\\
n &= 2
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
p(3) &= 2(3^3) -3(2)(3) +36\\
&= 54 -18 +36\\
&= 72
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Amount 本利和}\\
=&\ 40000 \times \Big(1+\frac{3\%}{2}\Big)^{5 \times 2}\\[2pt] \approx &\ $46422
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{\alpha +2\beta}{\beta + 2\gamma} &= \frac{4}{9}\\[2pt] 9\alpha +18\beta &=4\beta +8\gamma\\
9\alpha +14\beta &= 8\gamma\ ..(1)
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{\beta +2\gamma}{\gamma +2\alpha} &= \frac{9}{5}\\[2pt] 5\beta +10\gamma &= 9\gamma +18\alpha\\
5\beta +\gamma &= 18\alpha\\
\gamma &= 18\alpha- 5\beta
\end{align*}$$

把 ##\gamma = 18\alpha- 5\beta## 代入 (1)
Sub. ##\gamma = 18\alpha- 5\beta## into (1)

$$\begin{align*}
9\alpha +14\beta &= 8(18\alpha- 5\beta)\\
9\alpha +14\beta &= 144\alpha- 40\beta\\
14\beta +40\beta &= 144\alpha- 9\alpha\\
54\beta &= 135\alpha\\
\frac{54}{135} &=\frac{\alpha}{\beta}\\[2pt] \frac{\alpha}{\beta} &= \frac{2}{5}\\[2pt] \alpha:\beta &= 2:5
\end{align*}$$

$$z = \frac{kx^3}{y^2}$$

代入 ##x=3, y=6, z=3## 
$$\begin{align*}
3 &= \frac{k \times 3^3}{6^2}\\[2pt] 3 &= \frac{27k}{36}\\[2pt] k &= 4
\end{align*}$$

當 ##x=5\text{ 及 }y=2## 
$$\begin{align*}
z &= \frac{4 \times 5^3}{2^2}\\[2pt] &= 125
\end{align*}$$

當  n = 6,
$$a_6 = 2a_5 +a_4$$

如此類推，得到
$$\begin{cases}
a_5 = 2a_4 +a_3\\
a_4 = 2a_3 +a_2
\end{cases}$$

已知 ##a_2 =3, a_5 =41##,

$$\begin{cases}
41 = 2a_4 +a_3\\
a_4 = 2a_3 +3
\end{cases}$$ 移項後，得到
$$\begin{cases}
a_3 +2a_4 = 41\\
-2a_3 +a_4 = 3
\end{cases}$$

解聯立方程，
Solving the equations,
$$a_3 =7, a_4 = 17$$

$$\begin{align*}
a_6 &= 2a_5 +a_4\\
&= 2 \times 41 + 17\\
&=99
\end{align*}$$

先求直線的 x-截距及 y-截距。
Find the x-intercept and y-intercept.

$$x\text{-intercept }x\text{-截距} = \frac{7}{p}\\
y\text{-intercept }y\text{-截距} = \frac{7}{q}\\$$

由於 x-截距及 y-截距皆為正數，可判斷 p 及 q都是正數。
Since x-intercept and y-intercept are positive, it can be determined that both p and q are positive.

I) 從圖像得知，x-截距 x-intercept < 1
$$\begin{align*}
\frac{7}{p} &\lt 1\\[2pt] 7 &\lt p\ \ (\because p\gt0)\\[2pt] p &\gt 7
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II) 從圖像得知，y-截距 y-intercept > 1
$$\begin{align*}
\frac{7}{q} &\gt 1\\[2pt] 7 &\gt q\ \ (\because q\gt0)\\[2pt] q &\lt 7
\end{align*}$$

因此選項 II 錯誤。

III) ##p \gt 7 \gt q##

因此選項 III 錯誤。

$$\overset{\displaystyle\frown}{MN} = 12\pi -3\pi -3\pi =6\pi$$

I) 先求圓心角 θ 

Arc Length 弧長 = ##2\pi r \times \large \frac{\theta}{360\deg}##
Area of Sector 扇形面積 = ##\pi r^2 \times \large \frac{\theta}{360\deg}##

$$\begin{align*}
6\pi &= 2\pi(3\pi) \times \frac{\theta}{360\deg}\\
\theta &= \frac{360\deg}{\pi}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{面積 Area}\\
=&\ \pi r^2 \times \frac{\theta}{360\deg}\\[2pt] =&\ \pi (3\pi)^2 \times \frac{\frac{360\deg}{\pi}}{360\deg}\\[2pt] =&\ 9 \pi^3 \times \frac{1}{\pi}\\[2pt] =&\ 9 \pi^2\text{ cm}^2
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II) 先求 MN 
$$\begin{align*}
\sin\frac{\theta}{2} &= \frac{\frac{MN}{2}}{ON}\\[2pt] \sin\Big(\frac{\frac{360\deg}{\pi}}{2}\Big) &= \frac{MN}{2(3\pi)}\\[2pt] MN &= 6\pi \times \sin\Big(\frac{180\deg}{\pi}\Big)\\[2pt] MN &= 15.861\text{cm}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{周界 Perimeter}\\
=&\ 15.861 + 3\pi +3\pi\\
\approx&\ 34.7\text{cm}
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)
$$\theta = \frac{360\deg}{\pi} \approx 115\deg$$

因此選項 III 正確。

圓柱體總表面面積 Total Surface Area of cylinder = ##2\pi r^2 +2\pi rh##

圓柱體總表面面積
Total Surface Area of cylinder
= ##2\pi r^2 +2\pi rh##

$$\begin{align*}
492\pi &= 2\pi r^2 +2\pi r(35)\\
492 &= 2r^2 + 70r\\
2r^2 +70r -492 &=0\\[2pt] r^2 +35r -246 &=0\\[2pt] r = 6\ \ \text{or}\ \ r&=-41 \text{ (rej. 捨去)}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{體積 Volume}\\
=&\ \frac{4}{3}\pi r^3\\[2pt] =&\ \frac{4}{3}\pi (6)^3\\[2pt] =&\ 288\pi\text{ cm}^3
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
BE &= 3AE\\
\frac{BE}{AE} &= \frac{3}{1}\\[2pt] BE:AE &= 3:1
\end{align*}$$

如此類推，得到以下線段的長度比。
$$BE:AE=3:1\\
DF:AF=3:2\\
DG:CG=2:1$$

設 ##DC = AB = 12k##，得到
$$DG=12k \times \frac{2}{2+1} = 8k\\
CG=12k \times \frac{1}{2+1}=4k\\
AE=12k \times \frac{1}{3+1}=3k\\
BE=12k \times \frac{3}{3+1}=9k$$

1) 求 BCGE 面積

##\large\frac{A_1}{A_2}=\Big(\frac{l_1}{l_2}\Big)^2##

$$\begin{align*}
\frac{16}{A_1+16} &= \Big(\frac{4k}{9k}\Big)^2\\[2pt] \frac{16}{A_1+16} &= \frac{16}{81}\\[2pt] A_1+16 &= 81\\[2pt] A_1 &= 65\text{ cm}^2
\end{align*}$$

2) 求 hk 的值
設平行四邊形 ABCD 的高為 h。
Let the height of parallelogram ABCD be h.

$$\begin{align*}
\frac{(4k+9k)\times h}{2} &= 65\\[2pt] 13k \times h &= 130\\
hk &= 10
\end{align*}$$

3) 求 ΔADE 及 ΔDEG 面積

$$\begin{align*}
A_2 &= \frac{(3k)(h)}{2}\\[2pt] &= \frac{3(hk)}{2}\\[2pt] &= \frac{(3)(10)}{2}\\[2pt] &= 15\text{ cm}^2\\\\
A_3 &= \frac{(8k)(h)}{2}\\[2pt] &= \frac{8(hk)}{2}\\[2pt] &= \frac{(8)(10)}{2}\\[2pt] &= 40\text{ cm}^2
\end{align*}$$

4) 求 ΔDEF 面積

$$\because DF:AF = 3:2\\
\begin{align*}
\triangle DEF\text{ 面積} &= 15 \times \frac{3}{3+2}\\
&=9\text{ cm}^2
\end{align*}$$

∴ DFEG 面積 = 40+9 = 49 cm²

留意 ∠XZW = 90°，證明如下。
$$\begin{align*}
WZ^2 + XZ^2 &= 25^2 + 60^2\\
&= 4225\\
&= 65^2\\
&= XW^2
\end{align*}$$

方法一：

1) 證明 ΔWXY = 90°

留意 ΔWYX ~ ΔXYZ，證明如下。
$$\frac{WY}{XY}=\frac{XY}{YZ}\text{ (已知 Given)}\\
\angle WYX = \angle XYZ\text{ (公共角 Common Angle)}$$

因此 ∠WXY = ∠XZY = 90°

2) 求 XY 
設 ∠XWZ = θ，並得到以下圖像。

從而推斷 ΔWYX ~ ΔXYZ ~ ΔWXZ

$$\because \triangle WYX \sim \triangle WXZ\\[3pt] \begin{align*}
\therefore \frac{WX}{WZ} &= \frac{XY}{XZ}\\[2pt] \frac{65}{25} &= \frac{XY}{60}\\[2pt] XY &= \frac{65 \times 60}{25}\\[2pt] XY &= 156\text{ cm}
\end{align*}$$

參考文章：文憑試實戰篇 #9 這兩個圖形有什麼性質須要留意?

方法二：
設 ##XY=a\text{ cm}##，從而得到 ##YZ=\sqrt{a^2 -60^2}##

$$\begin{align*}
\frac{WY}{XY} &= \frac{XY}{YZ}\\[2pt] \frac{\sqrt{a^2 -60^2}+25}{a} &= \frac{a}{\sqrt{a^2 -60^2}}\\[2pt] a^2 &= \sqrt{a^2 -60^2}\big(\sqrt{a^2 -60^2}+25\big)\\
a^2 &= a^2 -60^2 +25\sqrt{a^2 -60^2}\\
60^2 &= 25\sqrt{a^2 -60^2}\\
\sqrt{a^2 -60^2} &= 144\\
a^2 -60^2 &= 144^2\\
a^2 &= 24336\\
a &= 156
\end{align*}$$

菱形亦即是4條邊長度相同的平行四邊形。下圖表示已知資料。所有藍色線段的長度相同。
A rhombus is a parallelogram with four equal sides. The figure below shows all the known information. All blue line segments have the same length.

I)

1) 證明 BF = DF。
下圖中所有紅色角均是 22.5°。
In the figure below, all the red angles are 22.5°.

$$\text{In }\triangle CDF, CD = CF\\
\therefore \angle CFD = \angle CDF\\[6pt] \because \angle CFD + \angle CDF = \angle ACD = 45\deg\\
\therefore \angle CFD = \angle CDF = 22.5\deg
$$

用同一方法，可證明 ##\angle CFB = \angle CBF = 22.5\deg## 

從而推斷，##\triangle CBF \cong \triangle CDF\ (AAS)## 

##\therefore BF = DF##

2) 證明 BF = FG。

$$\because AF // BG\\
\therefore \color{red}{\angle CFB} = \color{green}{\angle FBG}$$

$$\begin{align*}
\color{blue}{\angle BGF} + \color{green}{\angle FBG} &= \angle BFD \text{ (Ext. }\angle\text{ of }\triangle 外角)\\
\color{blue}{\angle BGF} + \color{green}{\angle FBG} &= 2 \times \color{red}{\angle CFB}\\
\color{blue}{\angle BGF} + \color{red}{\angle CFB} &= 2 \times \color{red}{\angle CFB}\\
\color{blue}{\angle BGF} &= \color{red}{\angle CFB}\\[6pt] \therefore \color{blue}{\angle BGF} = \color{green}{\angle FBG} &= \color{red}{\angle CFB}
\end{align*}$$

$$\because \color{blue}{\angle BGF} = \color{green}{\angle FBG}\\
\therefore BF = FG = DF$$

因此選項 I 正確。

II)
菱形對角線平分內角。因此下圖中所有紅色均是 22.5°。
The diagonals of a rhombus bisect its interior angles. In the figures below, all red angles are 22.5°.

$$\therefore \triangle BFG \sim \triangle DEF\ (AA)$$

因此選項 II 正確。

III)
由於上圖中所有紅色角均是 22.5°。

$$\angle ABG = 90\deg + 22.5\deg + 22.5\deg = 135\deg\\
\angle BFD = 22.5\deg + 22.5\deg = 45\deg\\[6pt] \therefore \angle ABG + \angle BFD = 135\deg +45\deg = 180\deg$$

因此選項 III 正確。

下圖為題目所提供的資料。

參考下圖，

$$\begin{align*}
\cos 60\deg &= \frac{x}{41}\\[2pt] \frac{1}{2} &= \frac{x}{41}\\[2pt] x &= \frac{41}{2}\\[8pt] \sin 60\deg &= \frac{h}{41}\\[2pt] \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{h}{41}\\[2pt] h &= \frac{41\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 30\deg &= \frac{h}{y}\\[2pt] y &= h \times \frac{1}{\tan 30\deg}\\[2pt] y & = \frac{41\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{1}\\[2pt] y &= \frac{123}{2}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
PQ &= \frac{41}{2} + 53 + \frac{123}{2}\\[2pt] &= 135\text{ cm}^2
\end{align*}$$

下圖為題目所提供的資料。而題目所問的距離為圖中紅色線段的長度。
The required distance is the length of the red line segment.

參考下圖，

$$\begin{align*}
\frac{(20)(DE)}{2} &= 150\\[2pt] DE &= 15\text{ cm}\\[8pt] AD^2 &= AE^2 + DE^2\\
AD^2 &= 20^2 + 15^2\\
AD &= 25\text{ cm}\\[8pt] \frac{(AD)(h)}{2} &= 150\\[2pt] \frac{(25)(h)}{2} &= 150\\[2pt] h & = 12\\[8pt] h^2 + x^2 &= DE^2\\
12^2 + x^2 &= 15^2\\
x^2 &= 15^2 – 12^2\\
x &= 9\text{ cm}
\end{align*}$$

設 ∠RUT = x, ∠URT = ∠TRS = y

$$\because RT\ //\ VU\\
\angle RUV = \angle TRU = y$$

$$\text{In }UTRV,\\[2pt] \begin{align*}
\angle TUV + \angle TRV &= 180\deg\ (opp. \angle s, cyclic\ quad.\ \text{圓內接四邊形對角})\\
(x +y) +(y +33\deg) &= 180\deg\\
x +2y &= 147\deg\ …(1)
\end{align*}$$

$$\text{In }UTSR,\\[2pt] \begin{align*}
\angle TUR + \angle TSR &= 180\deg\ (opp. \angle s, cyclic\ quad.\ \text{圓內接四邊形對角})\\
x + \angle TSR &= 180\deg\\
\angle TSR &= \color{blue}{180\deg – x}
\end{align*}$$

$$\text{In }\triangle RST,\\[2pt] \begin{align*}
\angle TSR +\angle SRT +\angle STR &= 180\deg\\
(180\deg – x) +y +33\deg &= 180\deg\\
-x +y +33\deg &= 0\deg\\
x -y &= 33\deg\ …(2)
\end{align*}$$

解聯立方程 (1)及(2) 
Solving equations (1) and (2),

$$x = 71\deg, y=38\deg$$

設 ∠ADC = θ 
$$\begin{align*}
\angle ABC + \angle ADC &= 90\deg\\
\angle ABC + \theta &= 90\deg\\
\angle ABC &= 90\deg -\theta\\[8pt] \angle ACB &= 180\deg\ -90\deg -(90 -\theta)\\
\angle ACB &= \theta
\end{align*}$$

留意 AC 為 ΔACD 及 ΔACB 的公共邊。
Please note that AC is the common side of ΔACD and ΔACB.

$$\begin{align*}
\sin \theta &= \frac{AC}{AD}\\[2pt] AC &= AD\sin \theta\\[6pt] \cos \theta &= \frac{AC}{BC}\\[2pt] AC &= BC\cos \theta\\
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\therefore AD\sin \theta &= BC\cos \theta\\
\frac{\sin \theta}{\cos \theta} &= \frac{BC}{AD}\\[2pt] \tan \theta &= \frac{BC}{AD}
\end{align*}$$

下圖為題目所提供的資料。

1) 求 XY 及 ∠OXY 

$$\begin{align*}
\cos \angle XOY &= \frac{OX^2 +OY^2 -XY^2}{2(OX)(OY)}\\[2pt] \cos (80\deg -20\deg) &= \frac{1^2 +2^2 -XY^2}{2(1)(2)}\\[2pt] \frac{1}{2} &= \frac{5 -XY^2}{4}\\[2pt] 2 &= 5 -XY^2\\
XY^2 &= 3\\
XY &= \sqrt{3}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\frac{\sin \angle XOY}{XY} &= \frac{\sin \angle OXY}{OY}\\[2pt] \frac{\sin 60\deg}{\sqrt{3}} &= \frac{\sin \angle OXY}{2}\\[2pt] \sin \angle OXY &= \frac{2 \sin 60\deg}{\sqrt{3}}\\
\sin \angle OXY &= 1\\
\angle OXY &= 90\deg
\end{align*}$$

2) 求 r 

$$\text{In }\triangle OXZ,\\
\begin{align*}
\cos (90\deg +60\deg) &= \frac{1^2 +(\sqrt{3})^2 -r^2}{2(1)(\sqrt{3})}\\[2pt] \cos 150\deg &= \frac{1 +3 -r^2}{2\sqrt{3}}\\[2pt] -3 &= 4 -r^2\\
r^2 &= 7\\
r &= \sqrt{7}
\end{align*}$$

O 點和 A 點都是一固定點，所以 OA 的距離是常數。
Point O and Point A are fixed points. Thus, OA is a constant.

AP = OA = 常數 Constant

由於 P 點與 A 點保持固定距離，所以 P 點的軌跡是圓形。
The distance between Point P and Point A is a constant. Thus, the locus of P is a circle.

相關文章：常見軌跡 Common Loci

先從 L₁ 及 L₂ 的方程入手。

$$L_1:\\
x\text{-intercept}\ x\text{-截距} = \frac{20}{3}\\[2pt] \text{slope 斜率} = \frac{-3}{4}\\[12pt] L_2:\\
x\text{-intercept}\ x\text{-截距} = \frac{20}{m}\\[2pt] \text{slope 斜率} = \frac{-m}{n}\\[8pt]$$

Since L₁ and L₂ are perpendicular to each other,
由於 L₁ 及 L₂ 互相垂直，

$$L_2\text{ 的斜率 slope of }L_2 =\frac{-1}{\frac{-3}{4}}=\frac{4}{3}$$

從而得到，

參考下圖，

留意 ##\triangle BDC \sim \triangle BCA##。
$$\begin{align*}
\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{BC} &= L_2\text{ 的斜率 slope of }L_2\\[2pt] \frac{AC}{BC} &= \frac{4}{3}\\[2pt] AC &= \frac{4}{3}BC
\end{align*}$$ $$
\begin{align*}
\frac{AC \times BC}{2} &= 6\\
\frac{4}{3}BC \times BC &= 12\\[2pt] BC^2 &= 9\\
BC &= 3\\[6pt] AC &= \frac{4}{3} \times 3\\[2pt] AC &= 4
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
AB^2 &= AC^2 +BC^2\\
AB^2 &= 3^4 +4^2\\
AB &= 5
\end{align*}$$

$$\therefore B=\Big(\frac{20}{3}-5, 0\Big) = \Big(\frac{5}{3},0\Big)$$

從 L₂ 的 x–截距。
From the x–intercept of L₂, $$\begin{align*}
\frac{20}{m} &= \frac{5}{3}\\[2pt] 5m &= 60\\
m &=12
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
\because -3m &= 4n\\
-3 \times 12 &= 4n\\
4n &= -36\\
n &= -9
\end{align*}$$

設 M 為 PQ 的中點。
Let M be the mid-point of PQ.

參考下圖，O點及 r 分別為圓的圓心及半徑。
Refer to the figure below, Point O and r are the centre and radius of the circle respectively.

$$\begin{align*}
MQ &= \frac{PQ}{2}\\[2pt] MQ &= \frac{24}{2}\\[2pt] MQ &= 12\\[8pt] r^2 &= 5^2 + 12^2\\
r^2 &= 169\\
r & = 13
\end{align*}$$

設圓形方程為 ##x^2 +y^2 +DX +Ey +F = 0## 
Let the equation of the circle be ##x^2 +y^2 +DX +Ey +F = 0##.
$$\begin{align*}
\Big(\frac{-D}{2},\frac{-E}{2} \Big) &= (7, -5)\\[2pt] \therefore D = -14, E &= 10
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
r = \sqrt{7^2 +5^2 -F} &= 13\\
74 -F&= 169\\
F &= -95
\end{align*}$$

∴ 圓形方程是 ##x^2 +y^2 -14x +10y -95 = 0## 

$$P(2) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[2pt] P(3) = \frac{1}{6}\\[2pt] P(4) = \frac{1}{6}\\[2pt] P(5) = \frac{1}{6}$$

$$\begin{align*}
&\ \text{Expected Value 期望值}\\
=&\ 10\times \frac{1}{2} +15\times \frac{1}{6} +25 \times \frac{1}{6} + 50 \times \frac{1}{6}\\
=&\ 20
\end{align*}$$

總共有 22 個數據，分成兩組，每組 11 個。再從當中找到 Q₁ 位於第 6 個數據，Q₃ 位於第 17 個數據。
Q₁=6^th datum, Q₃=17^th datum

從題目的棒形圖得到，
From the bar chart,
$$Q_1 = 4\\
Q_3 = 5\\[6pt] \begin{align*}
\text{IQR 四分位數間距} =&\ Q_3 -Q_1\\
=&\ 5 -4\\
=&\ 1
\end{align*}$$

在不失一般性下，設 α ≥ β。
Without loss of generality, assume α ≥ β.

$$\begin{align*}
\text{平均數 mean} &= 0\\
\frac{\alpha +\beta -4 -3 +1 +1 +1 +4}{8} &= 0\\[2pt] \alpha +\beta &= 0\\
\alpha &= -\beta
\end{align*}$$

考慮分佈域 = 10。
Consider range = 10.

假設最大值 = 4，最小值 = 4−10 = −6。
即是 β = −6，而 α = 6 
由於 α = 6 與最大值 = 4 產生矛盾。即是此情況不可能發生。
同樣，最小值亦不可能是 −4。

Assume max. value = 4, min. value = 4−10 = −6。
i.e. β = −6 and α = 6 
Since α = 6 contradicts to the max. value being 4, this case is not possible.
Similarly, the min. value cannot be  −4.

因此最大值 = α，最小值 = β。
Thus, max. value = α and min. value = β.

得到，
$$\begin{cases}
\alpha +\beta = 0\\
\alpha -\beta = 10
\end{cases}$$

解聯立方程，
Solving the equations,
$$\alpha =5,\ \beta = -5$$

因此得到數據為

$$-5\ \ -4\ \ -3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 4\ \ \ 5$$

I)
s = mode 眾數 = 1

因此選項 I 正確。

II)
t = media 中位數 ##=\frac{1+1}{2} = 1##

因此選項 II 錯誤。

III)
已知 ##\alpha +\beta = 0##

因此選項 III 正確。

即是答案為 B

方法一：
$$\begin{align*}
&\ 3E000000000000_{16}\\
=&\ 3 \times 16^{13} +14 \times 16^{12}\\
=&\ \color{red}{1.74514 \times 10^{16}}
\end{align*}$$

然後計算各選項的數值
A) ##2^{16} +2^{15} +2^{14} +2^{13} +2^{12} = 126976##
B) ##2^{17} +2^{16} +2^{15} +2^{14} +2^{13} = 253952##
C) ##2^{52} +2^{51} +2^{50} +2^{49} +2^{48} = 8.7257 \times 10^{15}##
D) ##2^{53} +2^{52} +2^{51} +2^{50} +2^{49} = \color{red}{1.74514 \times 10^{16}}##

因此答案是 D。

方法二：
$$\begin{align*}
&\ 3_{16}\\
=&\ 11_2\\
=&\ 2^1 +2^0\\[8pt] &\ E_{16}\\
=&\ 1110_2\\
=&\ 2^3 +2^2 +2^1
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\ 3E000000000000_{16}\\
=&\ 3_{16} \times 16^{13} +E_{16} \times 16^{12}\\
=&\ (2^1 +2^0) \times \big(2^4\big)^{13} +(2^3 +2^2 +2^1) \times \big(2^4\big)^{12}\\
=&\ (2^1 +2^0) \times 2^{52} +(2^3 +2^2 +2^1) \times 2^{48}\\
=&\ 2^{53} +2^{52} +2^{51} +2^{50} +2^{49}
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #18 再談二進制和十六進制數字

$$\begin{eqnarray}
p^2 -4q^2 &= &(p +2q) &(p -2q) &\ \\
p^2 -8q^3 &= &\ &(p -2q) &(p^2 +2pq +4q^2)\\
(p +2q)(p^2 -4q^2) &= &(p +2q)^2 &(p -2q) &\ \\
\hline
\text{LCM} &= &(p +2q)^2 &(p -2q) &(p^2 +2pq +4q^2)
\end{eqnarray}$$

但選項中並沒有此代數式。
$$\begin{align*}
\text{LCM } = &\ (p +2q)^2\color{red}{(p -2q)(p^2 +2pq +4q^2)}\\
= &\ (p +2q)^2\color{red}{(p^3 -8q^3)}
\end{align*}$$

方法一：利用直線方程 Linear Equation

參考 y − y₁ = m(x − x₁) 

方法二：題目共給了兩個坐標，其意思如下：

從而得到

把 ##x=1, y=5^{12}## 代入 ##y = mx^n## 
Put ##x=1, y=5^{12}## into ##y = mx^n## 
$$\begin{align*}
y &= mx^n\\
5^{12} &= m(1)^n\\
m &=5^{12}
\end{align*}$$

把 ##x=625, y=1, m=5^{12}## 代入 ##y = mx^n## 
Put ##x=625, y=1, m=5^{12}## into ##y = mx^n## 
$$\begin{align*}
y &= mx^n\\
1 &= 5^{12} \times 625^n\\
5^{-12} &= 625^n\\
\log 5^{-12} &= \log 625^n\\
\log 5^{-12} &= n\log 625\\
n &= \frac{\log 5^{-12}}{\log 625}\\
n &= -3
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #16 對數(log)與直線圖像

此題具爭議性，以下題解只以考生的角度去選擇最佳答案。
This question is controversial. The solution below is from the point of view of candidates taking the examination to choose the best answer.

由於 ##\log_a 1 = 0##，所以 ##(1,0)## 必定在 ##y=\log_a x## 之上，亦即是 ##Q=(1,0)##。從而得到 ##OQ=1##。
Since ##\log_a 1 = 0##, ##(1,0)## must lie on the graph of ##y=\log_a x##. i.e. ##Q=(1,0)## and ##OQ=1##.

選項 II 是 ##OQ \gt a##，由於 ##OQ=1##，亦即是 ##1 \gt a##。與選項 I 完全相同。推論是選項 I 和 II 只可以同時正確，或是同時錯誤。因此可排除答案 B 及 C。
Statement II is ##OQ \gt a##. Since ##OQ=1##, it means ##1 \gt a##. It is exactly same as statement I. It implies statement I and II can only be both correct or both incorrect. So, answer B and C can be ruled out.

我們知道 ##y=\log_a x## 與 ##y = a^x## 的圖像是沿 ##y=x## 反射對稱。因此 P 點在直線 ##y=x## 之上，亦即是選項 III 正確。
It is known that ##y=\log_a x## and ##y = a^x## are symmetrical about the line ##y=x##. Thus, Point P must lie on the line ##y=x##. Thus, statement III is correct.

因此答案是 D。

##\begin{align*}
i^1 &= i\\
i^2 &= -1\\
i^3 &= -i\\
i^4 &=1
\end{align*}##

之後不斷重複循環。

先計算項數 Find number of terms
$$\begin{align*}
T(n) &= a +(n -1)d\\
999 &= 9 +(n -1)(1)\\
n -1 &= 990\\
n &= 991
\end{align*}$$

留意當 991 除以 4, 商 = 247, 餘數 = 3
Note that when 991 is divided by 4, quotient = 247, remainder = 3.
$$\begin{align*}
\therefore i^{991} &=\ i^{247\times4+3}\\
&=\ i^{247\times 4} \times i^3\\
&=\ 1 \times i^3\\
&=\ – i
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
S(n) &=\ \frac{a(r^n -1)}{r -1}\\[2pt] &=\ \frac{i^9 (i^{991}-1)}{i -1}\\[2pt] &=\ \frac{i(-i -1)}{i -1}\\[2pt] &=\ -1
\end{align*}$$

透過直線的截距來作圖。

運用代數技巧，求 P點及Q點坐標。
Find the coordinates of point P and point Q.
$$P=(1,3)\\
Q=\Big(11,\frac{44}{3}\Big)$$

然後把各點代入 ##8x -6y +11## 

$$P: 8(1) -6(3) +11 = 1\\
Q: 8(11) -6\Big(\frac{44}{3}\Big) + 11 = \color{red}{11}$$

因此答案是 B

如果 ##\frac{b}{a} = \frac{c}{b}##, a, b, c 必定是等比數列。
If ##\frac{b}{a} = \frac{c}{b}##, a, b, c must be a geometric sequence

p, q, r 是等差數列，設 d 為公差 (d ≠ 0)。
p, q, r is a arithmetic sequence. Let d be the common difference (d ≠ 0).
$$q = p +d\\
r = p +2d$$

I)
$$\begin{align*}
\frac{3^q}{3^p} &= \frac{3^{p +d}}{3^p}\\
&= 3^{p +d -p}\\
&= 3^d\\[6pt] \frac{3^r}{3^q} &= \frac{3^{p +2d}}{3^{p+d}}\\
&= 3^{p +2d -p -d}\\
&= 3^d\end{align*}$$ $$
\therefore \frac{3^q}{3^p} = \frac{3^r}{3^q} $$

因此選項 I 正確。

II)
$$\begin{align*}
\frac{\frac{5}{q}}{\frac{5}{p}} &= \frac{p}{q}\\
&= \frac{p}{p +d}\\
\frac{\frac{5}{r}}{\frac{5}{q}} &= \frac{q}{r}\\
&= \frac{p +d}{p +2d}\\
\end{align*}$$ $$
\frac{p}{p +d} \ne \frac{p +d}{p +2d}\text{ if }d \ne 0 $$

因此選項 II 錯誤。

III)
$$\begin{align*}
p -q &= p -(p +d)\\
&= p -p -d\\
&=-d\\[6pt] q -r &= (p +d) -(p +2d)\\
&= p +d -p -2d\\
&= -d\\[6pt] r -p &= (p +2d) -p\\
&= 2d
\end{align*}$$

−d, −d, 2d 好明顯並非等比數列 (Arithmetic sequence)。

因此選項 III 錯誤。

連接 AD。由於 AC 是圓形的直徑，所以 ∠ADC = 90°。
Join AD. Since AC is the diameter, ∠ADC = 90°.

運用交錯弓形的圓周角 ∠ in alt. segment

$$\text{In }\triangle ACD,\\
\begin{align*}
41\deg +90\deg + \color{blue}{\angle ACD} &= 180\deg\\
\color{blue}{\angle ACD} &= \color{blue}{49\deg}
\end{align*}$$ $$\text{In }\triangle CDE,\\
\begin{align*}
\color{green}{\angle BEC} &= \angle CDE +\color{blue}{\angle ECD}\\
\color{green}{96 \deg} &= \angle CDE + \color{blue}{49\deg}\\
\angle CDE &= \color{green}{96\deg} -\color{blue}{49\deg}\\
\angle CDE &= 47\deg
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\tan^3 \theta -2\tan \theta &= 0\\
\tan \theta(\tan^2 \theta -2) &= 0\\
\tan \theta = 0\ \text{ or }\ \tan^2 \theta &= 2\\
\tan \theta = 0\ \text{ or }\ \tan \theta &= +\sqrt{2}\ \text{ or }\ \tan \theta =-\sqrt{2}\\
\theta = 180\deg\ \text{ or }\ \theta &= 180\deg -54.7\deg\ \text{ or }\ \theta = 180\deg +54.7\deg\\
\theta = 180\deg\ \text{ or }\ \theta &= 125.3\deg\ \text{ or }\ \theta = 234.7\deg
\end{align*}$$

所求的角是 ∠PQO。
The required angle is ∠PQO.

方法一：運用公式

設正四面體的邊長為 a。
Consider a regular tetrahedron with edge length a.
##\text{height 高}= \large{\frac{\sqrt{6}}{3}}a##

$$\begin{align*}
\sin \angle PQO &= \frac{PO}{PQ}\\[2pt] \sin \angle PQO &= \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}a}{a}\\[2pt] \sin \angle PQO &= \frac{\sqrt{6}}{3}\\[2pt] \angle PQO &\approx 55\deg
\end{align*}$$

方法二：
設正四面體的邊長為 a。
Let the edge length of the regular tetrahedron be a.

1) Find OQ.

$$\text{In }\triangle OQR,\\
\begin{align*}
\cos 120\deg &= \frac{OQ^2 +OR^2 -QR^2}{2(OQ)(OR)}\\[2pt] \cos 120\deg &= \frac{OQ^2 +OQ^2 -QR^2}{2(OQ)(OQ)}\ \because(OQ = OR)\\[2pt] \frac{-1}{2} &= \frac{2OQ^2 -a^2}{2OQ^2}\\[2pt] -OQ^2 &= 2OQ^2 -a^2\\[2pt] a^2 &= 3OQ^2\\[2pt] OQ^2 &= \frac{a^2}{3}\\[2pt] OQ &= \frac{a}{\sqrt{3}}
\end{align*}$$

2) Find ∠PQO $$\text{In }\triangle OPQ,\\
\begin{align*}
\cos \angle PQO &= \frac{OQ}{PQ}\\[2pt] \cos \angle PQO &= \frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a}\\[2pt] \cos \angle PQO &= \frac{1}{\sqrt{3}}\\[2pt] \angle PQO &\approx 55\deg
\end{align*}$$

相關文章：正四面體 regular tetrahedron 的高和邊長的關係

參考下圖，I 點為三角形內心。∠VOU = 90°， 所以內心在直線 y = x 之上。即是 I = (6, 6)。
Refer to the figure below, point I is the in-centre of the triangle. ∠VOU = 90°. So, in-centre lies on the line y = x. i.e. I = (6, 6) 

方法一：

$$\text{In }\triangle ISU,\\
\begin{align*}
\tan \alpha &= \frac{\color{red}{IS}}{\color{green}{SU}}\\[2pt] \tan \alpha &=\frac{6}{20 -6}\\[2pt] \alpha &= 23.1986\deg
\end{align*}$$ $$\text{In }\triangle OUV,\\
\begin{align*}
\tan 2\alpha &= \frac{OV}{OU}\\[2pt] \tan (2 \times 23.1986\deg) &= \frac{OV}{20}\\[2pt] OV &= 21
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\ \text{面積 Area}\\[2pt] =&\ \frac{21\times20}{2}\\[2pt] =&\ 210
\end{align*}$$

方法二：
設 OV = v 

$$\text{In }\triangle OUV,\\
\begin{align*}
OU^2 +OV^2 &= UV^2\\
20^2 +v^2 &= (v-6 +14)^2\\
400 +v^2 &= (v +8)^2\\
400 +v^2 &= v^2 +16v +64\\
336 &= 16v\\
v &= 21
\end{align*}$$ $$\begin{align*}
&\ \text{面積 Area}\\[2pt] =&\ \frac{21\times20}{2}\\[2pt] =&\ 210
\end{align*}$$

相關文章：文憑試實戰篇 #20 直角三角形的內心

$$\begin{align*}
&\ C_1^2 \times C_6^{16} + C_2^2 \times C_5^{16}\\[2pt] =&\ 20384
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
P(\text{Grape}\le 3) &=\ 1 -P(\text{Grape} \gt 3)\\[2pt] &=\ 1 -P(\text{Grape}=4)\\
&=\ 1- \frac{C_4^4 \times C_2^9}{C_6^{13}}\\
&=\ 1- \frac{3}{143}\\
&=\ \frac{140}{143}
\end{align*}$$

$$\text{standard score 標準分 }z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$##z## = standard score 標準分
##\mu## = mean 平均值
##\sigma## = standard deviation 標準差

$$\begin{align*}
z &= \frac{x -\mu}{\sigma}\\[2pt] x &= \mu + z\sigma
\end{align*}$$

 
情況 1： 男生分數 > 女生分數
$$\begin{align*}
(\mu -4) -(\mu +2z) &= 6\\
\mu -4 -\mu -2z &= 6\\
-2z & =10\\
z &= -5
\end{align*}$$

情況 2： 女生分數 > 男生分數
$$\begin{align*}
(\mu +2z) -(\mu -4) &= 6\\
\mu +2z -\mu +4 &= 6\\
2z & =2\\
z &= 1
\end{align*}$$

$$\therefore z = -5\ \text{or}\ 1$$

I) 在每個數據加上相同的常數 h。
  Mean 平均值同樣增加 h 
  range 分佈域維持不變 
  Variance 方差維持不變 

II) 在每個數據乘上相同的常數 k。
  Mean 平均值為原來的 k倍 
  range 分佈域為原來的 k倍 
  Variance 方差為原來的 k²倍。

$$m_2 = 2m_1\\
r_2 = 2r_1\\
v_2 = v_1 \times 2^2 = 4v_1\\
\ \\
m_3 = m_1 +3\\
r_3 = r_1\\
v_3 = v_1$$

I)
$$\begin{align*}
&\ m_1 +m_3\\
=&\ m_1 + m_1 +3\\
=&\ 2m_1 +3\\
=&\ m_2 +3\\
\gt&\ m_2
\end{align*}$$

因此選項 I 正確。

II)
$$\begin{align*}
&\ r_1 +r_3\\
=&\ r_1 +r_1\\
=&\ 2r_1\\
=&\ r_2
\end{align*}$$

因此選項 II 正確。

III)
$$\begin{align*}
&\ v_1 +v_3\\
=&\ 2v_1\\
=&\ 2\times \frac{v_2}{4}\\
=&\ \frac{1}{2}v_2\\
\lt&\ v_2\ (\because v_2\gt 0)
\end{align*}$$

因此選項 III 正確。

如果 a, b, c, d 的值相同，則 v₁ = v₂ = v₃=0。選項 III 將會錯誤。但題目已表明a, b, c, d 的值並不相同，因此不會出現此情況。
If the values of a, b, c, d are the same, v₁ = v₂ = v₃=0. Statement III becomes incorrect. But it is given that a, b, c, d are four distinct real numbers. This situation would not happen.