三角形內切圓 (Inscribed Circle) 的半徑

Thomas 解答同學的留言，解釋怎樣求三角形內切圓 (Inscribed Circle) 的半徑，並把其結果運用在一條會考題目之上。

內切圓半徑

參考下圖，三角形的邊長為 a, b 及 c。K 點為三角形的內心 (incentre)。而內切圓 (Inscribed Circle) 的半徑為 r。

##r \times \Large \frac{a+b+c}{2} \normalsize = \text{Area of }\triangle##

證明

參考上圖，圖中的虛線把三角形分割成三個小三角形。它們的底邊長度分別是 a,b 和 c。而高同樣是 r。大三角形面積等於三個小三角形面積之和，即是：

$$\begin{align*}
\frac{a \cdot r}{2} +\frac{b \cdot r}{2} +\frac{c \cdot r}{2} &= \text{Area of }\triangle\\[3pt] r \times \frac{a+b+c}{2} &= \text{Area of }\triangle
\end{align*}$$

與希羅公式 (Heron's Formula) 結合

留意 ##\large \frac{a+b+c}{2}## 這部份就是運用希羅公式 (Heron's Formula) 時 s 的值。而等式的右邊正是三角形的面積，因此兩者可結合起來。

Let ##s = \Large \frac{a+b+c}{2}##

$$\begin{align*}
r \times \frac{a+b+c}{2} &= \text{Area of }\triangle\\
r \times s &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\[4pt] r &= \frac{1}{\sqrt{s^2}} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\
r &= \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{s^2}}\\
r &= \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}
\end{align*}$$

標籤: incenter, incentre, Inscribed Circle, 內切圓, 內心

分類: 幾何、坐標及三角學