二次函數的極值 Optimum Value of Quadratic Functions
課本告訴我們，f(x)=a(x − h)²+k 的頂點是(h,k)，但背後的原理大家是否明白? 「死記」絕對不是高明的溫習方法，我們要盡力去理解各理論背後的原理，成績才會有進步。
先說明一些基礎理論。某變數 x 的最大值和最小值是什麼? 答案是無從判斷，又或者是 +∞ 和 -∞。但 ##x^2## 的最小值卻能判斷，就是 0。原因很簡單，任何實數平方後必定大於或等於零，所以其最小值就是0。
再回到 f(x)=a(x − h)²+k，為方便說明，先假設 a 為正數。把該函數展開後，得到 ##x^2##的係數就是 a，所以其拋物線是開口向上，亦即是該函數只存在最小值。那麼該函數的最小值是什麼?
先把該函數改寫成:
f(x)=k + a(x − h)²大家試想想，a(x − h)² 這部分必定大於或等於零。換句話說， f(x)的值等於 k 再加上一個正數或者零。若該數字是正數，結果必定大於 k，所以f(x)的最小值就是 k。
因此要令 f(x) 的值最小，a(x − h)² 必須等於零。即是
$$\begin{align*}
a(x-h)^2&=0\\
x-h&=0\\
x&=h
\end{align*}$$
總而言之，要令 f(x) 的值最小， x 的值須要等於 h，而 f(x) 值將會是 k。因此 f(x)=a(x − h)²+k 的頂點是(h,k)。
而當 a 為負數時的推論並無分別。
思考題
##y = 3(2x – 5)^2+6## 的頂點是什麼?
分類: 代數及百分數
應該係 f(x)= a(x-h)^2 + h