二次函數的圖像及係數之關係

已知某二次函數 (quadratic function) y =ax²+bx+c及其圖像，我們懂得從其圖像判斷係數(coefficient) a 及 c 之正負，但係數 b 的正負呢? 我們的課本並無清晰交代。

例子:

下圖展示某二次函數的圖像。

由於拋物線開口向下(open downward)，所以係數 a 必定是負數。從圖像得知 y截距 (y-intercept) 是正數，所以係數 c 必定是正數。

那麼係數 b 的正負又怎樣判斷?

頂點的 x 坐標

首先說明一些背景知識，就是頂點的 x 坐標和係數之間的關係。

要找二次函數的頂點 vertex 的坐標，課程教我們用配方法 completing the square，但其實有更簡單的方法。

假設該函數的根是 α 及 β，由拋物線的對稱性質可推斷，頂點的 x 坐標就在α 及 β的正中間。即是

根據中點公式 (mid-point formula)，
$$\begin{align*}
\therefore 頂點的\ x\ 坐標&=\frac{\alpha + \beta}{2}\\
&=\frac{-\frac{b}{a}}{2}\ \ \ \ (\because \alpha + \beta = -\frac{b}{a})\\
&=-\frac{b}{2a}
\end{align*}$$

頂點的 x 坐標= ##\large – \frac{b}{2a}##

應用1: 求頂點坐標

其實根本不需要配方法，只要運用以上結果，我們便能找到頂點的 x 坐標。要求頂點的 y 坐標，就只要把頂點的 x 坐標代入其二次函數，找出對應的 y 值。

例子: 求 ##y=2x^2 +4x -1## 的頂點坐標

$$\begin{align*}
頂點的\ x\ 坐標&=-\frac{4}{(2)(2)}\\
&=-1\\
\\
頂點的\ y\ 坐標&=2(-1)^2+4(-1)-1\\
&=2-4-1\\
&=-3
\end{align*}$$

##\therefore 頂點坐標=(-1,-3)##

既然這麼簡單就能求頂點坐標，我們還要學配方法嗎? 答案是須要，因為公開試題目會指定運用配方法，不可用其他方法求頂點坐標。

應用2: 從圖像求係數 b 的正負

回到最初的問題，從圖像得知，頂點的 x 坐標是負數，而由於

$$頂點的\ x\ 坐標 = -\frac{b}{2a}$$

我們已知 係數 a 是負數，所以係數 b 必定要是負數，等式的右方才可得到負值。所以，從其圖像我們可判斷各係數的正負，即是:

總結

頂點的 x 坐標 = ##\large -\frac{b}{2a}## 這結果很有用，可快捷地求頂點的坐標。再者，只要知道二次函數的圖像，我們便可判斷各係數的正負。

思考題

下圖為 ##y=x^2 + kx +12## 的圖像，已知 AB = 1，求 k 的值。
提示: k 的值只有一個。

標籤: completing the square, quadratic function, vertex, 二次函數, 配方法, 頂點

分類: 代數及百分數