角平分線(Angle Bisector)的秘密

在三角形內的角平分線有一個鮮為人知的性質。而這性質可幫助我們找到角平分線的方程。

參考下圖，CD 是 ∠C 的角平分線 Angle Bisector。而它亦把對邊 AB 分成兩段，即是 AD 和 DB。問題是這兩段線的長度之比是什麼?

而答案非常簡單， AD:DB = AC:CB。亦即是旁邊兩條邊長的比。

證明

證明並不複雜，主要用上正弦公式 sine formula。

In ΔADC,

$$\begin{align*}
\frac{\sin \theta}{AD} &= \frac{\sin \alpha}{AC}\\[4pt] \frac{\sin \theta}{\sin \alpha} &= \frac{AD}{AC}
\end{align*}$$

In ΔDBC,

$$\begin{align*}
\frac{\sin \theta}{DB} &= \frac{\sin(180^{\circ}-\alpha)}{BC}\\[4pt] \frac{\sin \theta}{DB} &= \frac{\sin \alpha}{BC}\ \ \ (\because\ \sin(180^{\circ}-\alpha) = \sin \alpha)\\[4pt] \frac{\sin \theta}{\sin \alpha} &= \frac{DB}{BC}
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
\therefore\frac{\sin \theta}{\sin \alpha} = \frac{AD}{AC} &= \frac{DB}{BC}\\[4pt] \frac{AD}{DB} &= \frac{AC}{BC}\\[4pt] AD:DB &= AC:BC
\end{align*}$$

應用

這性質可幫助我們找到角平分線 angle bisector 的方程。

例子:

Given three points A(1,2), B(4,6) and C(9,-6), find the equation of the angle bisector of ∠ABC.
已知三點 A(1,2), B(4,6) 及 C(9,-6)，找 ∠ABC 的角平分線的方程。

Let D be the point at which the angle bisector and AC intersects.
設D點為角平分線及AC之交點

$$\begin{align*}
AB &= \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}\\
&= 5
\end{align*}$$

$$\begin{align*}
BC &= \sqrt{(9-4)^2 + (-6-6)^2}\\
&= 13\\
\end{align*}$$

$$\because AD:DC = AB:BC = 5:13\\[5pt] \begin{align*}
\therefore D &=\Big(\frac{5 \times 9 + 13 \times 1}{5+13},\frac{5 \times (-6) + 13 \times 2}{5+13}\Big)\\[4pt] &=\Big(\frac{29}{9},\frac{-2}{9}\Big)
\end{align*}$$

Equation of BD
BD 的方程

$$\begin{align*}
y-6 &= \frac{\frac{-2}{9}-6}{\frac{29}{9}-4}(x-4)\\[4pt] y-6 &= 8 (x-4)\\
y-6 &= 8x -32\\
y &= 8x\ -\ 26
\end{align*}$$

附註
在這例題中 AB 和 BC的長度都是整數，這是因為題目中的坐標都是經篩選得出來。在大多數情況下，邊長只能以根式 (surd form) 表示。因此最後得出來的直線方程的係數 (coefficient)亦只可以根式表示。

標籤: Angle Bisector, 角平分線

分類: 幾何、坐標及三角學