變分常數 Variation Constant 可以是負數嗎?

變分這課題雖然相對簡單，但大家有沒有留意變分常數 Variation Constant 可以是負數嗎?

要探討這課題，請先看看以下選擇題:

Given y varies directly as x, which of the following must be true?
已知 y 隨 x 而正變， 下列何者必定正確?

I) y increase with x.
y 隨 x 而增加
II) xy is non-negative.
xy 是非負數字
III) 3x – 2y varies directly as y – 2x.
3x – 2y 隨 y – 2x 而正變

A) None of above 以上皆非
B) I, II
C) I, III
D) I,II,III

這條題目驟眼一看，答案似乎是 D。但正確答案卻是 A！不妨先想想這題應如何作答，才繼續看下去。

常數 k 可以是負數嗎?

這題目的關鍵在於 k 這常數。 當遇到「已知 y 隨 x 而正變」 ( y varies directly as x ) 這句文字，同學便會立即寫下:

$$y = kx$$

問題是 k 可以是負數嗎? 要解答這問題，我們先看看課本是怎樣說的:

根據課本的內容，k 是非零常數 (non-zero constant)，亦即是容許負數。

題解

以下是上述選擇題的題解：

選項 (I) – y increase with x.

如果 k 是正數，這選項很明顯是正確。但如果 k 是負數，x 和 y 之圖像會如下:

當 x 增加時，y 值減少。所以此選項並非必定正確。

選項 (II) – xy is non-negative.

同樣，如果 k 是正數，這選項正確。當 k 是正數時，x 和 y 的正負號必定相同，所以把它們相乘後，無可能出現負數。

但如果 k 是負數，結果就剛好相反，xy 的值將是負數或零。所以此選項並非必定正確。

選項 (III) – 3x – 2y varies directly as y – 2x.

要測試兩變數是否屬於正變關係，做法是把它們相除，結果如果是一常數，它們便是正變關係。以此題為例:

設 ##y = kx##,

$$\begin{align*}
&\frac{x-2y}{y\ –\ 2x}\\[4pt] =&\frac{x-2(kx)}{kx-2x}\\[4pt] =&\frac{x(1-2k)}{x(k-2)}\\[4pt] =&\frac{1-2k}{k-2}
\end{align*}$$

##\frac{1-2k}{k-2}## 中並沒有任何變數，所以它是一常數。似乎選項(III)是正確。但仍要考慮一個特殊情況，就是 ##k=\frac{1}{2}##時，分子的值是零。亦即是

$$ x-2y = (0)(y-2x)$$

由於變分常數 Variation Constant 不可以是零，所以當 ##k=\frac{1}{2}##時，選項(III)並不正確。

總結

變分 Variation 在整個課程中是相對簡單的課題，但同學大都忽略了常數 k 有什麼准則。大家要緊記 k 是一非零常數，亦即是 k 可以是負數。同學亦要留意判斷兩變數是否屬正變關係時的一些特殊情況。

標籤: variation, 正變, 變分

分類: 代數及百分數