變分與百分數變化 Variation and Percentage Change

變分與百分數變化是公開試常見題目，差不多隔年便出一次。但可惜答對率只是徘徊50-55%。但只要掌握當中竅門，這類題目絕對毫無難度。

先參考以下題目:

It is given that y ∝ x². Find the percentage change in y when x decreases by 10%.
已知 y ∝ x²。當 x 減少10%，求 y 的百分數變化。

這類題目如果是選擇題的話，可以用捷徑的方法去解答。大家要留意，題目只給我們很少的資料，就連 x 及 y 的初始值亦沒有提供。其實 x 及 y 的初始值以及變分常數 k 的值與答案無關。換句話說，它們無論等於什麼數值，答案都是相同。既然是這樣，我們便可把它們假設為某一數字。

最簡單的方法就是把所有變數及變分常數 k 的值均假設為 1。以此題為例，我們假設 k 為 1，而 x 的初始值亦假設為 1。 由於 y = kx²，所以 y 的初始值亦為 1。 即是 x 和 y 的初始值以及 k 都是 1，而 x 和 y 的關係是

$$y=x^2$$

下步便是求 y 的新值。題目說 x 減少10%，所以

之後計算 y 的新值。

由於 y 的新值和初始值分別為 0.81 及 1。它們的百分數變化是

##\begin{align*}
百分數變化 &= \frac{0.81-1}{1} \times 100\%\\
&= -19\%
\end{align*}##

如果大家心水清的話，當得到 y 的新值為 0.81後，一眼便看出答案是 -19%。

題目詳解

如果這題目是長題目的話，步驟便複雜很多。題解如下:

##\because y \propto x^2##
##\therefore y = kx^2 \text{ where }k \text{ is a non-zero constant}##

##\text{Let }x_0 \text{ and } y_0 \text{ be the original values of } x \text{ and } y \text{ respectively.}##

##y_0 = kx_0^2##

##\because\ x \text{ decreases by 10%}##

##\begin{align*}
\therefore \text{ new value of } y &= k(0.9x_0)^2 \\
&= 0.81kx_0^2\\
&= 0.81y_0
\end{align*}##

##\begin{align*}
\text {percentage change}&= \frac{0.81y_0-y_0}{y_0}\times 100\%\\
&= \frac{-0.19y_0}{y_0}\times 100\%\\
&= -19\%
\end{align*}##

標籤: percentage change, variation, 百分數變化, 變分

分類: 代數及百分數