秒解 2012年 MC 第42題

有同學以電郵詢問，有什麼方法可秒解 2012年 MC 第42題。根據此題目所提供的選項，要做到真正秒解是無可能的，但仍有方法可以較快地找到答案。

選項 C 及 D 無可能是正確答案

大家細心觀察的話， k 是該直線的 y-intercept (y截距)。選項 C 及 D 均指出 k 的值無上限，換句話說 k 可以是無限大。如果該直線的 y-intercept 是非常大的數字，甚至乎是無限大，該直線又怎會和該圓形相交? 所以我們可以排除選項 C 及 D。

是 A 還是 B?

那麼答案是 A 還是 B? 確實沒有一眼便能找到答案的方法。相對簡單的方法是我們把 k 設為某一個實數，再去驗證那一個是正確答案。例如：我們可以設 k = 5，由於只有選項 B 的範圍是包含 5 這數字。如果當 k = 5 時直線和圓相交，B必定是正確答案。否則 A 是正確答案。

$$\begin{cases}
x^2+y^2+2x-4y-13=0\\[3pt] x-y+5=0
\end{cases}$$

運用代入法，得到

\begin{align*}
x^2+(x+5)^2+2x-4(x+5)-13=0\\
x^2+x^2+10x+25+2x-4x-20-13=0\\
2x^2+8x-8=0
\end{align*}

用計數機去驗證，發現該方程有兩個 real roots(實數解)。因此 B 是正確答案。

附註

• 我們選擇 k的數值時要非常小心，如果我們選擇 k = 2，由於 選項 A 和 B 的範圍皆包含數字 2，所以根本無法得出結論。
• 此題目在 2013年「翻炒」，而該題卻能做到真正秒解，大家不妨思考一下。

詳細題解

詳細而又合乎規範的題解如下:

$$\begin{cases}
x^2+y^2+2x-4y-13=0&…(1)\\[3pt] x-y+k=0&…(2)
\end{cases}$$

From (2), ## x = y – k\ …(3)##

Sub. (3) into (1),
把 (3) 代入 (1)，

\begin{align*}
(y\ -\ k)^2 + y^2 +2(y-k) -4y – 13 &= 0\\
y^2 -2ky +k^2 + y^2 +2y -2k -4y – 13 &=0\\
2y^2 -2ky -2y + k^2 -2k -13 &=0
\end{align*}

$$\begin{align*}
\Delta & > 0\\
(-2k\ -\ 2)^2 -4 (2) (k^2 -2k -13) & \gt 0\\
4k^2 +8k +4 -8k^2 +16k +104 & \gt 0\\
-4k^2 +24k +108 & \gt 0\\
k^2 -6k -27 & \lt 0\\
(k+3) (k-9) & \lt 0\\
-3 \lt k &\lt 9
\end{align*}$$

相關試題

• 2013/II/Q42

標籤: 歷屆試題

分類: 計數機應用及歷屆試題