揭開餘式定理 Remainder Theorem 的真面目

課本上所教授的餘式定理只談及它的表面意思。要應付所有餘式、因式等問題，我們必須先學習餘式定理的真面目。

餘式定理的來源

先看看以下整數除法。

從此可見到， 17 = 3 × 5 + 2。其實這關係適用於任何除法。亦即是

被除數 = 除數 × 商 + 餘數

假設某多項式 (Polynomial) f(x) 除以 ax + b 時的商和餘式分別是Q(x) 及 R。 因此

$$f(x) \equiv (ax+b)Q(x) + R$$

此等式是恆等式 (Identity)，亦即是 x 是任何數值等式都成立。 當 ##x = -\frac{b}{a}##，

$$\begin{align*}
f\Big(-\frac{b}{a}\Big) &= \Big(a(-\frac{b}{a}) + b\Big)Q\Big(-\frac{b}{a}\Big) + R\\
f\Big(-\frac{b}{a}\Big) &= (-b+b)Q\Big(-\frac{b}{a}\Big) + R\\
f\Big(-\frac{b}{a}\Big) &= R\\
R &= f\Big(-\frac{b}{a}\Big)
\end{align*}$$

∴ 餘式 remainder = ##f\big(-\frac{b}{a}\big)##

這就是餘式定理的來源。

餘式定理的真面目

以上推斷出來的結果雖然簡單，但並不能解決所有問題。有部份題目必須回到
「被除數 ≡ 除數 × 商 + 餘數」這最基本的恆等式才能找到答案。

例如:

Let f(x) be a polynomial. If f(x) is divisible by x + 2, which of the following must be a factor of f(3x + 1)?
設 f(x) 為一多頂式。若 f(x) 可被 x + 2 整除，則下列何者必為 f(3x + 1) 的因式?

A. x + 1
B. x + 2
C. 3x + 1
D. 3x – 1

Let the quotient be Q(x) when f(x) is divided by x + 2.
設 f(x) 除以 x + 2 時的商為 Q(x)。

$$\begin{align*}
f(x) &= (x\ +\ 2)\cdot Q(x)\\
\\
f(3x + 1) &= (3x + 1\ + 2)\cdot Q(3x+1)\\
f(3x + 1) &= (3x+3)\cdot Q(3x+1)\\
f(3x + 1) &= 3(x+1)\cdot Q(3x+1)\\
\end{align*}$$

因此 x + 1 必定是 f(3x + 1) 的因式。答案是 A。

HKCEE 2007 Paper II Q40 和以上例題非常相似，而該題答對百分比只有 19%，所以大家必須加倍留意！

總結

「被除數 ≡ 除數 × 商 + 餘數」 才是餘式定理的真面目

思考題

It is given that f(x) = 2x³ – 5x² + 4x – 8. Find the remainder when f(x + 3) is divided by x² + 2x – 3.
已知 f(x) = 2x³ – 5x² + 4x – 8. 求當 f(x + 3) 除以 x² + 2x – 3 時的餘式.

顯示題解

標籤: factor theorem, remainder theorem, 因式定理, 餘式定理

分類: 代數及百分數